专项巩固训练卷(3)乘法公式的的灵活运用&专项巩固训练卷(4)因式分解的常用方法-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版2024）

专项巩固训练卷(三) 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 学升 能径XLESHENGl 乘法公式的灵活运用 ?类型一 连用——连续使用公式 1.计算： (1)(3x-2y-1)2; (2)(a+2b-c)(a-2b-c)-(a-b-c)2. 2.用简便方法计算： (1)9.9×10.1; (2)1003×997; (3)972; (4)10.22. ?类型二 变用——需变形后运用 3.计算： (1)(3a-2b)(9a+6b); (2)(x+y+2z-4z)(x+y+2z+4z). 4.已知(x+y)2=18,(x-y)2=6,分别求下列式子的值： (1)x2+y2; (2)x2+3xy+y2; (3)x?+y?. ?类型三 逆用 5.计算：20252-4050×2024+20242. ?类型四 解决规律问题 6.新考向你能化简(m-1)·(m+m?+⋯+m+1)吗?遇到这样 的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些 方法. (1)分别化简下列各式： (m-1)(m+1)=_____; (m-1)(m2+m+1)=_____; (m-1)(m3+m2+m+1)=_____; (m-1)(m”+m"?1+m"?2+⋯+m+1)=______; (2)请你利用上面的结论计算：2??+2?+2?+⋯+2+1(写出计算 过程); (3)根据以上计算经验，直接写出3”+3”?1+3”?2+⋯+3+1的结 果：____. ?类型五 求最大或最小值 7.老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求 同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值?同学 们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=(x+2)2+1. ∵(x+2)2≥0, ∴(x+2)2+1≥1. 当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1, ∴x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：(x-1)2-2的最小值为____; (2)求出代数式x2-10x+33的最小值； (3)若-x2+7x+y+12=0,求x+y的最小值. 数学 华师版 八年级 上册 第 9 页 专项巩固训练卷(四) 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 学升 能径XLESHENGl 因式分解的常用方法 ?方法一 提公因式法 1.把下列各式分解因式： (1)9abc-6a2b2+12abc2; (2)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y). 2.用简便方法计算： 2024-5×22?23+6×2022+2025. ?方法二 公式法 3.把下列各式分解因式： (1)(x2+y2)2-4x2y2; (2)(x-1)+b2(1-x); (3)(x+3)(x+4)+(x2-9); (4)4x(y-x)-y2. ?方法三 分组分解法 4.把下列各式分解因式： (1)m3+2m2-3m-6; (2)9a2-4b2-6a+1. ?方法四 拆、添项法 5.把下列各式分解因式： (1)m2-4mn+3n2; (2)x2-y2-8x-4y+12. ?方法五 十字相乘法 6.新考向某些形如ax2+bx+c的二次三项式可利用十字相乘法分解 因式.十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上 角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下 角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.如：将式子x2+ 3x+2和2x2+x-3分解因式，如图，x2+3x+2=(x+1)(x+2);2x2 +x-3=(x-1)(2x+3). 1 12 23 1×2+1×1=3 -1×2+1×3=1 6题图 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)x2+5x+6; (2)2x2-7x+3; (3)x2+(2-m)x-2m. 数学 华师版 八年级 上册 第 10 页 ?方法六 换元法 7.阅读材料A:利用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,可以解决 很多的数学问题. 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：因为a+b=3,ab=1, 所以(a+b)2=9, 所以a2+b2+2ab=9, 所以a2+b2+2×1=9,得a2+b2=7. 材料B:在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一 个新的字母代替(即换元法),不仅可以简化要分解的多项式的结 构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小明同学用换 元法对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解的过程. 解：设x2-2x=y, 原式=(y-1)(y+3)+4(第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2(第三步) =(x2-2x+1)2.(第四步) (1)请根据材料A,解答问题：若x-y=4,x2+y2=40,求xy的值； (2)请根据材料B,解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请 你写出该因式分解的最后结果________; ②因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1; (3)综合运用： 若实数x满足(2024-x)2+(x-2025)2=50,求(2024- x)(x-2025)的值. 全程时习测试卷·数学·华师版·八年级·上册 (2)①∵a+b=6,a2-b2=24, ∴(a+b)(a-b)=24, ∴6(a-b)=24,∴a-b=4. ②原式=(1-去)×(1+去)×(1-号)×(1+号)× (1-4)×(1+4)×⋯×(1-2024)(1+2024)=2× 2×2×4×3×5×⋯×2024×2024-2×2024 2048 21.解：(1)20[解析]∵x-y=4,∴(x-y)2=x2+y2-2xy =16.∵xy=2,∴x2+y2=16+2xy=16+2×2=20. (2)∵x-y=6,∴.(x-y)2=x2+y2-2xy=36. ∵x2+y2=30,:30-2xy=36,解得xy=-3. (3)∵AB=10,∴. AC+BC=10, ∴AC2+BC2+2AC·BC=100. ∵四边形ACDE、FCBG是正方形，S?+S?=72, ∴AC2+BC2=72,BC=CF, ∴2AC·BC=100-72,即AC·BC=14, Sm=-AC·CF=2AC·CB=2×14=7 22.解：(1)x2-6x+12=x2-6x+9+3=(x-3)2+3. ∵(x-3)2≥0,:x2-6x+12的最小值是3. (2)1 大 -2 [解析]y=-x2+2x-3=-(x2- 2x)-3=-(x2-2x+1-1)-3=-(x2-2x+1)-2= -(x-1)2-2.∵-(x-1)2≤0,.当x=1时，y有最大 值，这个值是-2.故答案为1;大；-2. (3)x2+y2-4x+2y+6 =x2-4x+4+y2+2y+1+1 =(x-2)2+(y+1)2+1. ∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0, ∴(x-2)2+(y+1)2+1≥1, ∴无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2-4x+2y+6的 值总为正数. 23.解：(1)(a+b)2=a2+b2+2ab (2)设2024-m=a,m-2023=b, 则(2024-m)(m-2023)=ab,a+b=1. 由已知，得a2+b2=4047, (a+b)2=a2+b2+2ab, ∴I2=4047+2ab, ∴ab=-2023, ∴(2024-m)(m-2023)=-2023. (3)设正方形EFGH的边长为x,则PG=x-8,NG=32-x, 由题意可知S阴影=S正方形APGM+2S长方形PBNG+S正方形CQGN, ∴S阴影=(x-8)2+2(x-8)(32-x)+(32-x)2, ∴S阴影=[(x-8)+(32-x)]2=242=576. 24.解：(1)x3-xy2=x(x-y)(x+y), 当x=12,y=5时，x-y=07,x+y=17, 可得数字密码是120 717,也可以是121 707,171 207. (2)由题意，得{+y-=25 解得xy=12,而x3y+xy3=xy(x2+y2), ∴可得数字密码为1 225. (3)∵密码为2821, ∴当x=25时， x2+(m-3n)x-6n=(x+3)(x-4), 即x2+(m-3n)x-6n=x2-x-12, -=12,解得m=2 专项巩固训练卷(三) 乘法公式的灵活运用 1.解：(1)原式=[(3x-2y)-1]2 =(3x-2y)2-2(3x-2y)+1 =9x2-12xy+4y2-6x+4y+1. (2)原式=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]-[(a-c)-b]2 =(a-c)2-4b2-[(a-c)2-2b(a-c)+b2] =(a-c)2-4b2-(a-c)2+2b(a-c)-b2 =-5b2+2ab-2bc. 2.解：(1)原式=(10-0.1)×(10+0.1) =100-0.01=99.99. (2)原式=(1000+3)×(1000-3) =1000000-9=999991. (3)原式=(100-3)2 =1002-2×100×3+32 =9409. (4)原式=(10+0.2)2=102+2×10×0.2+0.22 =104.04. 3.解：(1)原式=3(3a-2b)(3a+2b) =3(9a2-4b2) =27a2-12b2. (2)原式=[(x+y+2z)-4z][(x+y+2z)+4z] =(x+y+2z)2-(4z)2 =x2+y2+4z2+2xy+4xz+4yz-16z2 =x2+y2-1222+2xy+4xz+4yz. 4.解：∵(x+y)2=18,(x-y)2=6, ∴x2+y2+2xy=18,x2+y2-2xy=6, ∴x2+y2=12,xy=3. (1)x2+y2=12. (2)x2+3xy+y2=12+3×3=21. (3)x?+y?=(x2+y2)2-2x2y2=122-2×32=126. 5.解：20252-4 050×2024+20242 =20252-2×2025×2024+20242 =(2025-2024)2=1. 6.解：(1)m2-1 m3-1 m?-1 m”+1-1 (2)∵(2-1)(2?+2?+2”+⋯+2+1)=2100-1, ∴2+2??+2?+⋯+2+1=2100-1. (3)3“21 [解析]∵(3-1)(3”+3”-1+3"?2+⋯+3+ 1)=3#+1-1, 3“+3“1+3“?2++3+1=32 7.解：(1)-2 (2)x2-10x+33=(x-5)2+8. ∵(x-5)2≥0,∴(x-5)2+8≥8, 则代数式x2-10x+33的最小值是8. ·4· 参考答案及解析 (3)∵-x2+7x+y+12=0, ∴y=x2-7x-12, ∴x+y=x2-6x-12=(x-3)2-21. ∵(x-3)2≥0,:(x-3)2-21≥-21, ∴x+y的最小值是-21. 专项巩固训练卷(四) 因式分解的常用方法 1.解：(1)原式=3ab(3c-2ab+4c2). (2)原式=(x-2y)(2x+3y)+2(x-2y)(5x-y) =(x-2y)[2x+3y+2(5x-y)] =(x-2y)(2x+3y+10x-2y) =(x-2y)(12x+y). 2.解：原式=22022×(22-5×2+6)+2025 =22?22×0+2025 =2025. 3.解：(1)原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2. (2)原式=(x-1)-b2(x-1) =(x-1)(1-b2) =(x-1)(1+b)(1-b). (3)原式=(x+3)(x+4)+(x+3)(x-3) =(x+3)[(x+4)+(x-3)] =(x+3)(2x+1). (4)原式=4xy-4x2-y2 =-(4x2-4xy+y2) =-(2x-y)2. 4.解：(1)原式=(m3+2m2)-3(m+2) =m2(m+2)-3(m+2) =(m2-3)(m+2). (2)原式=(9a2-6a+1)-4b2 =(3a-1)2-4b2 =(3a-1+2b)(3a-1-2b). 5.解：(1)原式=m2-4mn+4n2-n2 =(m-2n)2-n2 =(m-2n+n)(m-2n-n) =(m-n)(m-3n). (2)原式=x2-8x+16-y2-4y-4 =(x-4)2-(y+2)2 =(x+y-2)(x-y-6). 6.解：(1)如答图①. 由答图①可知x2+5x+6=(x+2)(x+3). (2)如答图② 由答图②可知2x2-7x+3=(2x-1)(x-3). (3)如答图③. 由答图③可知x2+(2-m)x-2m=(x+2)(x-m). 1、 ,2 3 3+2=5 6题答图① 2、 -1 1 -3 -1-6=-7 1 2 1 -m -m+2=2-m 6题答图② 6题答图③ 7.解：(1)∵x-y=4,x2+y2=40, ∴(x-y)2=42, ∴x2+y2-2xy=16, ∴40-2xy=16, 解得xy=12. (2)①(x-1)?[解析]设x2-2x=y,原式=(y-1)(y+ 3)+4=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=[(x- 1)2]2=(x-1)?.故答案为(x-1)?. ②(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2. (3)设2024-x=a,x-2025=b, ∴a+b=2024-x+x-2025=-1. ∵实数x满足(2024-x)2+(x-2025)2=50, ∴a2+b2=50. ∵(a+b)2=(-1)2, ∴a2+b2+2ab=1, 即50+2ab=1,2ab=-49, cb=-49, (2024-x)(x-2025)=-42 第12章 全等三角形 基础过关检测卷 1.D 2.A 3.D 4.B 5.B [解析]添加条件AB=DC,AC=DB,结合条件 BC= CB,可以利用“SSS”证明△ABC≌△DCB,故A不符合题 意；添加条件AB=DC,∠ACB=∠DBC,结合条件BC=CB, 不能证明△ABC≌△DCB,故B符合题意；添加条件BO= CO,∠A=∠D,可得∠DBC=∠ACB,结合条件BC=CB,可 以利用“AAS”证明△ABC≌△DCB,故C不符合题意；添加 条件AB=DC,∠A=∠D,结合∠AOB= ∠DOC,可利用 “AAS”证明△AOB≌△DOC得到OB=OC,同C选项可证 明△ABC≌△DCB,故D不符合题意.故选B. 6.B [解析]等腰三角形的一个外角是100°,则有一个内角 是80°.①当这个角为底角时，此三角形顶角为180°-2× 80°=20°;②当这个角为顶角时，顶角为80°,所以其顶角 为80°或20°.故选B. 7.C 8.A 9.在同一个三角形中，等角对等边 10.BC=ED(答案不唯一) 11.AO=DO(或AB=CD) 12.80 13.20° 14.①③④ [解析]∵ OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB, ∴PA=PB,故①正确；直线OP是对称轴，故②错误；在 Rt△AOP和 Rt △BOP中， PA=PBRt △AOP≌ Rt△BOP(HL),∴∠APO=∠BPO,即PO平分∠APB,故 ③正确；∵ PA⊥OA,PB⊥OB,∴∠OAP=∠OBP=90°, ∴∠AOB+∠BPA=360°-180°=180°,故④正确.综上所 述，正确的是①③④.故答案为①③④. 15.证明：∵AB//DE,∴ ∠A=∠D. ∵AF=DC,∴.AF-CF=DC-CF, 即AC=DF.在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS). ·5·