专题七 求长方体和正方体体积的技巧-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（西师大版）.rbm

知者不惑,仁者不忧,勇者不惧。 采蜜角 33 专题七 求长方体和正方体体积的技巧 计算有关长方体和正方体的体积时,常常会遇到物体的形状发生变化,体积却不变的问 题,解决这类问题的关键是学会转化,利用体积不变的特性进行求解;也经常会遇到根据长方 体或正方体的表面积变化计算体积的问题,解决这类问题的关键是根据变化的表面积求出长 方体的长、宽、高或正方体的棱长。 类型一 体积相等问题 例1 手工制作课上,小明将一个棱长是8cm 的正方体橡皮泥捏成一个长 16cm、宽4cm的 长方体橡皮泥(如下图)。这个长方体橡皮泥 的高是多少厘米? (损耗忽略不计) 点拨:解决本题的关键在于明确将正方体橡皮 泥捏成长方体橡皮泥后,形状改变 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,体积不变 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。 因此要先求出正方体橡皮泥的体积,即长方体 橡皮泥的体积,再逆用体积公式 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 求出长方体橡 皮泥的高。 解答: 解决物体形状改变而体积不变问题的方法 解决此类问题时,要抓住题中的不变量“体 积”,先运用体积公式求出物体的体积,再逆用体 积公式求出物体形状变化后的量。 类型二 通过表面积的变化求体积 例2 一个长方体的高减少6cm后就变成一个 正方 体(如 下 图),表 面 积 比 原 来 减 少 了 168cm2。原来长方体的体积是多少立方 厘米? 点拨:由题意可知,原来长方体的上、下面是正 􀪍 方形 􀪍􀪍 ,即原来长方体的长和宽相等 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,前、后、左、 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 右4个面的面积也相等􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。所以表面积减少的 168cm2 相当于高是6cm的长方体的前、后、 左、右4个相同面的面积之和,由此可以求出 原来长方体的长和宽,进而求出长方体的高。 最后根据长方体的体积公式(体积=长×宽× 高)求出原来长方体的体积。 解答: 通过表面积的变化求物体的体积的方法 解决此类问题时,要抓住题中变化的量,即表 面积。增加(或减少)的表面积相当于长方体或正 方体增加(或截取)部分4个侧面的面积之和,据此 求出长方体的长、宽、高或正方体的棱长,进而求 出长方体或正方体的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆34 1. 将一个棱长是6分米的正方体容器装满水,再把容器里的水全部倒入一个长方体水箱中,从里 面量,水箱长6分米,宽5分米,高8.5分米,这时倒入水箱里面的水深是多少分米? 2. 如图,将一个长方体平均截成3段,每段的长是2米,表面积增加了20平方米。原来长方体的 体积是多少立方米? 3. 如图,将4个长均是6m的小长方体拼成一个大长方体,表面积减少了96m2。拼成的这个大 长方体的体积是多少立方米? 4. 一个长方体的高增加2cm后就变成了一个正方体(如下图),表面积比原来增加了80cm2。原 来长方体的体积是多少立方厘米? 5. 一个密封性良好的玻璃容器,从里面量玻璃容器长8分米,宽4分米,高6分米,现在玻璃容器 里水深4.5分米。如果将玻璃容器竖起来(如图),那么这时玻璃容器里水深几分米? 数学(西师版)五年级 84 比高长3厘米,因此增加的48平方厘米是4个同样的 长方形的面积之和。可以先求出长方体的长(宽)是 48÷4÷3=4(厘米),再根据长(宽)比高长3厘米,故 高是4-3=1(厘米),从而可以求出长方体的表面积。 5. A方案:2×2=4(分米) (4×2+4×4+2×4)× 2=64(平方分米) B方案:2×4=8(分米) 8×2× 4+2×2×2=72(平方分米) 64<72 A方案比较 节省包装纸,至少需要64平方分米的包装纸 专题七 求长方体和正方体体积的技巧 [例题导引] 例1 解答:8×8×8÷(16×4)=8(cm) 例2 解答:168÷4÷6=7(cm) 7+6=13(cm) 7×7×13=637(cm3) [提优训练] 1. 6×6×6÷(6×5)=7.2(分米) 2. 20÷4×(2×3)=30(立方米) 解析:由题图可知, 将一个长方体平均截成3段,表面积增加了4个横截面 的面积,即增加了20平方米,由此求出1个横截面的面 积为20÷4=5(平方米)。根据每段的长是2米,可知 原来长方体的长是2×3=6(米),用1个横截面的面积 乘原来长方体的长即可求出原来长方体的体积。 3. 96÷6=16(m2) 16×(6×4)=384(m3) 4. 80÷4÷2=10(cm) 10×10×(10-2)= 800(cm3) 5. 8×4×4.5=144(立方分米) 144÷(6×4)=6(分 米) 解析:根据题意可知,无论横放还是竖放,玻璃 容器里水的体积不变,先求出玻璃容器里水的体积, 然后用水的体积除以竖放时玻璃容器的底面积,即可 求出竖放时玻璃容器里的水深。 专题八 分数加减法的巧算 [例题导引] 例1 解答:12+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ …+190= 1- 1 2 + 1 2- 1 3 + 13-14 + 14-15 +…+ 19-110 = 1-110= 9 10 例2 解答:答案不唯一,如118= 1×(1+2+3) 18×(1+2+3)= 1+2+3 108 = 1 108+ 2 108+ 3 108= 1 108+ 1 54+ 1 36 A ,B,C 分别是108,54,36 [提优训练] 1. 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16+ … + 1256= 1- 1 2 + 1 2- 1 4 + 14-18 + 18-116 + … + 1 128- 1 256 =1- 1256=255256 2. 2 3+ 2 15+ 2 35+ …+ 2399= 1- 1 3 + 13-15 + 1 5- 1 7 +…+ 119-121 =1-121=2021 3. 5 6 - 7 12+ 9 20- 11 30= 1 2+ 1 3 - 13+14 + 1 4+ 1 5 - 15+16 =12+13-13-14+14+15- 1 5- 1 6= 1 2- 1 6= 1 3 4. 答案不唯一,如1 12= 1×(1+2+3) 12×(1+2+3)= 1+2+3 72 = 1 72+ 2 72+ 3 72= 1 72+ 1 36+ 1 24 这三个分数可能是1 72 , 1 36 和1 24 5. 4 15= 1 15+ 1 5= 1 60+ 1 4= 1 10+ 1 6 专题九 解 方 程 [例题导引] 例1 解答:(1) 21.5+32x-21.5=28.7-21.5 32x=7.2 32x÷32=7.2÷32 x=0.225 检验略 (2) 37x-12x=7.5+12x-12x 25x=7.5 25x÷ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(西师版)五年级