专题六 计算长方体和正方体的表面积-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（西师大版）.rbm

《九章算术》第五章“商功”主要讲述土石工程(筑城、挖沟、修渠等)、体积计算;除了给 出各种立体体积公式之外,还给出了工程分配方法。 采蜜角 31 专题六 计算长方体和正方体的表面积 在计算长方体、正方体表面积的实际问题中,常常会遇到以下类型的题目:把长方体(或正 方体)切割成几部分或将若干个长方体(或正方体)拼到一起,表面积发生了变化。把一个长方 体或正方体切成两部分,新增加的表面积等于切面面积的2倍;把长方体或正方体增加(或截 取)一部分,表面积会增加(或减少),增加(或减少)的面积等于增加(或截取)部分的4个侧面 的面积和。 类型一 求切割(或拼组)图形的表面积 问题 例1 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米, 5厘米和4厘米。若把它切割成三个体积相 等的小长方体,则三个小长方体表面积的和最 大是多少平方厘米? 点拨:要使切割后的三个小长方体表面积的和 最大,应该以原来长方体面积最大的面为横截 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 面 􀪍 进行切割(如下图),这样表面积就会增加 4个原来长方体的最大面的面积􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,由此求出三 个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米。 解答: 解决切割(或拼组)后物体的 表面积之和最大(最小)问题的方法 要使切割后物体的表面积之和最大,应以物 体的最大面为横截面进行切割;要使切割后物体 的表面积之和最小,应以物体的最小面为横截面 进行切割。拼组图形的表面积与之类似。 类型二 求稍复杂的表面积问题 例2 如图,一个长方体长40cm,横截面是正 方形,如果将它的长增加5cm,那么它的表面 积就增加80cm2。原来这个长方体的表面积 是多少平方厘米? 点拨:长方体的长增加5cm,就相当于拼接上 了一个和原来长方体等宽、等高 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的长方体。新 长方体的表面积比原来的长方体增加了 􀪍􀪍􀪍􀪍 小长 方体上、下、前、后4个相同的面的面积􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,由于 横截面是正方形,可先求出小长方体1个侧面 的面积,再除以5cm得到它的宽,它的宽就等 于原来长方体的宽和高 􀪍􀪍􀪍􀪍 。据此即可求出原来 这个长方体的表面积。 解答: 通过面积的变化求表面积 将长方体或正方体增加(或截取)一部分,表 面积增加(或减少)的部分等于增加(或截取)部分 的4个侧面的面积之和。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆32 1. 有两个同样大小的长方体,长方体的长、宽、高分别是5厘米,4厘米,3厘米,把它们拼成一个 大长方体。拼成的大长方体的表面积最大是多少平方厘米? 2. 一个长方体,如果长增加2厘米,那么体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,那么体积增 加90立方厘米;如果高增加4厘米,那么体积增加96立方厘米。原来长方体的表面积是多少 平方厘米? 3. 一个长方体,长14厘米,宽10厘米,如果长方体的长和宽不变,那么当高增加几厘米时,长方 体的表面积增加144平方厘米? 4. 一个长方体,如果高增加3厘米,那么它就变成了一个正方体,此时表面积增加了48平方厘 米。原来长方体的表面积是多少平方厘米? 5. 有4个棱长都是2分米的正方体礼品盒,现在把它们用包装纸包装好,有下面两种方案(如 图)。哪种方案比较节省包装纸? 至少需要多少平方分米的包装纸? (损耗忽略不计) 数学(西师版)五年级 83 5. 12和8的公倍数有24,48,72,96,120,144,…因为 五年级学生超过100人,且不足140人,按每组12人 或8人分组,都多3人,所以该小学五年级学生有 120+3=123(人) 专题五 分数基本性质的应用 [例题导引] 例1 解答:5×[(12+36)÷12]-5=15 分子应加 上15 例2 解答:23+19=42 1+5=6 42÷6=7 1×7 5×7= 7 35 7 35-19= 7 16 原来的分数是7 16 [提优训练] 一、 1. 15 20 6 10 2. 10 3. 3 解析:分子减去一个自然数,分母加上这个自然 数,所以在约分前,分子与分母的和不变,是8+22= 30。根据“约分后就变为15 ”,可知此时分数的分母是 分子的5倍,由此求出约分前的分子和分母各是多 少,进而求得该自然数是多少。 4. 7 46 5. 9 二、 1. 2×2×5×5 7×2×5×5= 100 350 原来的分数是100 350 2. 84÷(2+5)=12 12×2=24 这个分数的分子 是24 3. (27-3)÷(1+2)=8 1×82×8= 8 16 8+3 16 = 11 16 原来的分数是11 16 4. 12+1+3=16 16÷(5-3)=8 原来的分数的分 子是8×3+1=25 原来的分数的分母是8×5-3= 37 原来的分数是2537 专题六 计算长方体和正方体的表面积 [例题导引] 例1 解答:原来长方体的表面积是(6×5+6×4+ 5×4)×2=148(平方厘米) 增加的最大面积是6× 5×4=120(平方厘米) 表面积的和最大是148+ 120=268(平方厘米) 例2 解答:80÷4=20(cm2) 20÷5=4(cm) 4×4×2+40×4×4=672(cm2) [提优训练] 1. 5×2=10(厘米) (10×4+10×3+4×3)×2= 164(平方厘米) 解析:根据题意,把两个同样大小的 长方体拼成一个大长方体,有三种不同的拼法。要求 拼成的大长方体的表面积最大,将最小面拼在一起, 然后根据长方体的表面积公式即可求解。 2. (40÷2+90÷3+96÷4)×2=148(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果长增加2厘 米,那么体积增加40立方厘米,即宽与高的乘积是 40÷2=20(平方厘米);如果宽增加3厘米,那么体积 增加90立方厘米,即长与高的乘积是90÷3=30(平 方厘米);如果高增加4厘米,那么体积增加96立方 厘米,即长与宽的乘积是96÷4=24(平方厘米)。最 后根据长方体的表面积公式进行解答。 3. (14+10)×2=48(厘米) 144÷48=3(厘米) 解析:根据题意可知,长方体的长和宽不变,要使原来 长方体的表面积增加144平方厘米,即表面积增加的 144平方厘米是长14厘米、宽10厘米的长方体的 4个侧面的面积之和,根据长方形的周长公式求出原 来长方体的底面周长,然后用增加的表面积除以底面 周长即可求出增加的高。 4. 48÷4=12(平方厘米) 12÷3=4(厘米) 4-3= 1(厘米) 4×1×4+4×4×2=48(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果高增加3厘 米,那么它就变成了一个正方体,说明长和宽相等,且 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 84 比高长3厘米,因此增加的48平方厘米是4个同样的 长方形的面积之和。可以先求出长方体的长(宽)是 48÷4÷3=4(厘米),再根据长(宽)比高长3厘米,故 高是4-3=1(厘米),从而可以求出长方体的表面积。 5. A方案:2×2=4(分米) (4×2+4×4+2×4)× 2=64(平方分米) B方案:2×4=8(分米) 8×2× 4+2×2×2=72(平方分米) 64<72 A方案比较 节省包装纸,至少需要64平方分米的包装纸 专题七 求长方体和正方体体积的技巧 [例题导引] 例1 解答:8×8×8÷(16×4)=8(cm) 例2 解答:168÷4÷6=7(cm) 7+6=13(cm) 7×7×13=637(cm3) [提优训练] 1. 6×6×6÷(6×5)=7.2(分米) 2. 20÷4×(2×3)=30(立方米) 解析:由题图可知, 将一个长方体平均截成3段,表面积增加了4个横截面 的面积,即增加了20平方米,由此求出1个横截面的面 积为20÷4=5(平方米)。根据每段的长是2米,可知 原来长方体的长是2×3=6(米),用1个横截面的面积 乘原来长方体的长即可求出原来长方体的体积。 3. 96÷6=16(m2) 16×(6×4)=384(m3) 4. 80÷4÷2=10(cm) 10×10×(10-2)= 800(cm3) 5. 8×4×4.5=144(立方分米) 144÷(6×4)=6(分 米) 解析:根据题意可知,无论横放还是竖放,玻璃 容器里水的体积不变,先求出玻璃容器里水的体积, 然后用水的体积除以竖放时玻璃容器的底面积,即可 求出竖放时玻璃容器里的水深。 专题八 分数加减法的巧算 [例题导引] 例1 解答:12+ 1 6+ 1 12+ 1 20+ …+190= 1- 1 2 + 1 2- 1 3 + 13-14 + 14-15 +…+ 19-110 = 1-110= 9 10 例2 解答:答案不唯一,如118= 1×(1+2+3) 18×(1+2+3)= 1+2+3 108 = 1 108+ 2 108+ 3 108= 1 108+ 1 54+ 1 36 A ,B,C 分别是108,54,36 [提优训练] 1. 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16+ … + 1256= 1- 1 2 + 1 2- 1 4 + 14-18 + 18-116 + … + 1 128- 1 256 =1- 1256=255256 2. 2 3+ 2 15+ 2 35+ …+ 2399= 1- 1 3 + 13-15 + 1 5- 1 7 +…+ 119-121 =1-121=2021 3. 5 6 - 7 12+ 9 20- 11 30= 1 2+ 1 3 - 13+14 + 1 4+ 1 5 - 15+16 =12+13-13-14+14+15- 1 5- 1 6= 1 2- 1 6= 1 3 4. 答案不唯一,如1 12= 1×(1+2+3) 12×(1+2+3)= 1+2+3 72 = 1 72+ 2 72+ 3 72= 1 72+ 1 36+ 1 24 这三个分数可能是1 72 , 1 36 和1 24 5. 4 15= 1 15+ 1 5= 1 60+ 1 4= 1 10+ 1 6 专题九 解 方 程 [例题导引] 例1 解答:(1) 21.5+32x-21.5=28.7-21.5 32x=7.2 32x÷32=7.2÷32 x=0.225 检验略 (2) 37x-12x=7.5+12x-12x 25x=7.5 25x÷ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(西师版)五年级