专题四 最小公倍数与最大公因数(2)-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（西师大版）.rbm

接天莲叶无穷碧,映日荷花别样红。———[宋]杨万里《晓出净慈寺送林子方》 采蜜角 27 专题四 最小公倍数与最大公因数(2) 最大公因数与最小公倍数是小学数学中非常重要的知识点,不仅要掌握最大公因数、最小 公倍数的概念,还要会找出几个数的最大公因数与最小公倍数,并能用相关的知识解决实际 问题。 类型一 用最大公因数解决问题 例1 有三根圆柱形木料,它们的长度分别为 27dm,36dm和63dm。现在要把它们都截成 相等的小段,且使每小段的长度最长,不能有 剩余。一共可以截成多少段? 点拨:要把长度不等的三根圆柱形木料截成相 等的小段,且不能有剩余,每小段的长度值必 须是 27,36,63的公因数􀪍􀪍􀪍 。题中还要求使每小 段的长度最长,所以每小段的长度值就是27, 36,63的最大公因数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,求出每小段的长度后就 可以算出一共可以截成的段数。 解答: 锯木料问题 把几根不同长度的木料截成相等长度的小 段,且不能有剩余,求每小段最长是多少,就是求 这几根木料长度值的最大公因数。 类型二 用最小公倍数解决稍复杂的问题 例2 有一个自然数,被10除余7,被7除余4, 被4除余1。这个自然数最小是多少? 点拨:根据已知条件,可知把这个自然数增加 􀪍􀪍 3 􀪍 ,所得的数就正好能被10,7和4这三个数整 除,即用10,7和4的最小公倍数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 减去3就能 得到所求的数了。 解答: 用最小公倍数求被除数 解决此类问题的关键在于观察数量之间的关 系。若每次除数和余数的差都相同,则用几个除 数的最小公倍数减去除数和余数的差即可求出这 个数;若每次除得的余数都相同,则用几个除数的 最小公倍数加上余数即可求出这个数。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆28 1. 一张长方形纸,长75厘米,宽6分米。现在要把它刚好裁成一些同样大小的小正方形纸片,并 且小正方形纸片的边长为整厘米数。要使裁得的小正方形纸片面积最大,那么这张长方形纸 可以裁成多少张小正方形纸片? 2. 有一个长80厘米、宽60厘米、高112厘米的长方体储冰容器,往里面装满大小相同的正方体 冰块(冰块的棱长是整厘米数),这个容器最少能装多少块冰块? (容器厚度忽略不计) 3. 如果把110本练习本平均分给五(1)班同学,那么多5本;如果把210本练习本平均分给这个 班同学,那么正好分完;如果把240本练习本平均分给这个班同学,那么还少5本。五(1)班最 多有多少名同学? 4. 甲、乙、丙为三个互相啮合的齿轮,当甲齿轮转6圈时,乙齿轮转7 圈,丙齿轮转2 圈,则这三个 齿轮的齿数最少分别是多少? 5. 已知某小学五年级学生超过100人,且不足140人。若将他们按每组12人分组,则多3人;若 将他们按每组8人分组,则也多3人。该小学五年级学生有多少人? 数学(西师版)五年级 82 差尽可能小,所以这两个质数分别是37和41。综上 可知,这三个质数分别是2,37和41,将这三个质数相 乘即可求出最大的积。 5. 第一组:169,33,14,75;第二组:143,39,30,35或 第一组:169,33,30,35;第二组:143,39,14,75 解析:先分解质因数,14=2×7,33=3×11,35=5× 7,30=2×3×5,75=3×5×5,39=3×13,143=11× 13,169=13×13。要使两组数的乘积相等,就要使两 组中的质因数一样,并且相同质因数的个数相同。所 以可分为169,33,14,75和143,39,30,35或169,33, 30,35和143,39,14,75。 专题三 最小公倍数与最大公因数(1) [例题导引] 例1 解答:(1) 10的倍数有10,20,30,40,50,60, 70,80,90,100,110,120,…;12的倍数有12,24,36, 48,60,72,84,96,108,120,…;20的倍数有20,40, 60,80,100,120,… 10,12和20的公倍数有60, 120,… 10,12和20的最小公倍数是60 (2) 30的 因数有1,2,3,5,6,10,15,30;24的因数有1,2,3,4, 6,8,12,24;42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42 30, 24和42的公因数有1,2,3,6,所以30,24和42的最 大公因数是6 例2 解答:168÷24=7 7=1+6=2+5=3+4 24×1=24 24×6=144 24×2=48 24×5=120 24×3=72 24×4=96 这两个自然数可能是24和 144,也可能是48和120,还可能是72和96 [提优训练] 1. 30 84 2. 8 12 3. 125÷25=5 5=1+4=2+3 25×1=25 25× 4=100 25×2=50 25×3=75 这两个自然数可 能是25和100,也可能是50和75 4. 70÷7=10 10=1+9=3+7 1×7=7 9×7= 63 63-7=56 3×7=21 7×7=49 49-21=28 这两个自然数的差可能是56,也可能是28 5. 设这两个不同自然数分别为31a,31b(a 与b只有 公因数1)。根据题意,得31a×31b=5766,所以a× b=6 6=1×6=2×3 31×1=31 31×6=186 31×2=62 31×3=93 这两个自然数可能是31和 186,也可能是62和93 专题四 最小公倍数与最大公因数(2) [例题导引] 例1 解答:方法一,27,36,63的最大公因数是9,所 以每小段的长度最长是9dm 27÷9=3(段) 36÷ 9=4(段) 63÷9=7(段) 3+4+7=14(段) 方法 二,如下图,求多个数的最大公因数用短除法更简便, 而且将短除法的三个商相加即可求出总段数 一共可以截成3+4+7=14(段) 例2 解答:10,7和4的最小公倍数是140 140- 3=137 这个自然数最小是137 [提优训练] 1. 6分米=60厘米 75和60的最大公因数是15,所 以小正方形纸片的边长是15厘米 (75÷15)× (60÷15)=20(张) 2. 80,60和112的最大公因数是4 80÷4=20 60÷4=15 112÷4=28 20×15×28=8400(块) 3. 110-5=105(本) 240+5=245(本) 105,210 和245的最大公因数是35 五(1)班最多有35名 同学 4. 6,7和2的最小公倍数是42 甲齿轮的齿数最少 是42÷6=7,乙齿轮的齿数最少是42÷7=6,丙齿轮 的齿数最少是42÷2=21 解析:由题意可知,甲齿 轮、乙齿轮、丙齿轮转动圈数的最小公倍数是42。42 是甲齿轮转动圈数的7倍,是乙齿轮转动圈数的 6倍,是丙齿轮转动圈数的21倍。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(西师版)五年级 83 5. 12和8的公倍数有24,48,72,96,120,144,…因为 五年级学生超过100人,且不足140人,按每组12人 或8人分组,都多3人,所以该小学五年级学生有 120+3=123(人) 专题五 分数基本性质的应用 [例题导引] 例1 解答:5×[(12+36)÷12]-5=15 分子应加 上15 例2 解答:23+19=42 1+5=6 42÷6=7 1×7 5×7= 7 35 7 35-19= 7 16 原来的分数是7 16 [提优训练] 一、 1. 15 20 6 10 2. 10 3. 3 解析:分子减去一个自然数,分母加上这个自然 数,所以在约分前,分子与分母的和不变,是8+22= 30。根据“约分后就变为15 ”,可知此时分数的分母是 分子的5倍,由此求出约分前的分子和分母各是多 少,进而求得该自然数是多少。 4. 7 46 5. 9 二、 1. 2×2×5×5 7×2×5×5= 100 350 原来的分数是100 350 2. 84÷(2+5)=12 12×2=24 这个分数的分子 是24 3. (27-3)÷(1+2)=8 1×82×8= 8 16 8+3 16 = 11 16 原来的分数是11 16 4. 12+1+3=16 16÷(5-3)=8 原来的分数的分 子是8×3+1=25 原来的分数的分母是8×5-3= 37 原来的分数是2537 专题六 计算长方体和正方体的表面积 [例题导引] 例1 解答:原来长方体的表面积是(6×5+6×4+ 5×4)×2=148(平方厘米) 增加的最大面积是6× 5×4=120(平方厘米) 表面积的和最大是148+ 120=268(平方厘米) 例2 解答:80÷4=20(cm2) 20÷5=4(cm) 4×4×2+40×4×4=672(cm2) [提优训练] 1. 5×2=10(厘米) (10×4+10×3+4×3)×2= 164(平方厘米) 解析:根据题意,把两个同样大小的 长方体拼成一个大长方体,有三种不同的拼法。要求 拼成的大长方体的表面积最大,将最小面拼在一起, 然后根据长方体的表面积公式即可求解。 2. (40÷2+90÷3+96÷4)×2=148(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果长增加2厘 米,那么体积增加40立方厘米,即宽与高的乘积是 40÷2=20(平方厘米);如果宽增加3厘米,那么体积 增加90立方厘米,即长与高的乘积是90÷3=30(平 方厘米);如果高增加4厘米,那么体积增加96立方 厘米,即长与宽的乘积是96÷4=24(平方厘米)。最 后根据长方体的表面积公式进行解答。 3. (14+10)×2=48(厘米) 144÷48=3(厘米) 解析:根据题意可知,长方体的长和宽不变,要使原来 长方体的表面积增加144平方厘米,即表面积增加的 144平方厘米是长14厘米、宽10厘米的长方体的 4个侧面的面积之和,根据长方形的周长公式求出原 来长方体的底面周长,然后用增加的表面积除以底面 周长即可求出增加的高。 4. 48÷4=12(平方厘米) 12÷3=4(厘米) 4-3= 1(厘米) 4×1×4+4×4×2=48(平方厘米) 解析:根据题意可知,一个长方体,如果高增加3厘 米,那么它就变成了一个正方体,说明长和宽相等,且 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析