专题二 巧用质因数-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（西师大版）.rbm

81 [提优训练] 1. 这列数的排列规律是每三个数为一组,其中前两个 数是奇数,后一个数是偶数。100÷3=33(组)…… 1(个),所以在前100个数中,有33×2+1=67(个)奇 数 解析:根据“奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇 数”及这列数的组成规律可知,这列数中各数的奇偶 性依次为奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶……即每三 个数为一组,其中前两个数是奇数,后一个数是偶数。 最后按照周期问题的解题方法求解即可。 2. 三个整数的奇偶情况可能是三个奇;两奇一偶;两 偶一奇;三个偶。无论哪种情况,都满足至少有两个 整数之和是偶数 3. 不会 理由:由题意可知,最前面的四个数依次是 奇数,奇数,偶数,奇数,判断四个数相加的和是奇数 还是偶数,只要看其中奇数的个数就可以了。根据 “奇数个奇数的和为奇数,偶数个奇数的和为偶数”及 这串数的组成规律可知,接下去的数是“奇数,奇数, 奇数,偶数,奇数”重复出现的,没有两个连续的偶数 相邻,所以不可能出现1,9,8,8这四个数。 4. 如果30道题都答对,那么一共可以得30×5= 150(分),150是一个偶数。答错一道题相当于扣5+ 3=8(分),不答题相当于扣5-3=2(分),8和2均是 偶数,不管有多少道题不答或答错,150减偶数,差仍 然是一个偶数。所以该班每名同学的得分都是偶数。 根据任意多个偶数的和是偶数,可知该班同学得分的 总和一定是偶数 5. 因为3,5,7是奇数,按照规则第一次换数后,将三 个数的奇偶性改变为一偶两奇,以后的换数不论怎样 进行,三个数的奇偶性将永远是一偶两奇,而46,74, 120是三个偶数,所以原来写的三个自然数不可能是 3,5,7 解析:如果按照任意擦去一个数换成其他两 数之和的规则去检验3,5,7能否得到46,74,120,显 然不太容易。可以用整数的和与差的奇偶性来考虑。 因为3,5,7是奇数,按照规则第一次换数后,将三个 数的奇偶性改变为一偶两奇,这是因为“奇数+奇 数=偶数”,这时若再擦去的数是偶数,换上去的数是 另外两个奇数的和,仍是偶数,这三个数继续保持一 偶两奇的特点;若擦去的数是奇数,换上去的数是一 奇一偶的和,因为“奇数+偶数=奇数”,所以这三个 数继续保持一偶两奇的特点。即在第一次换数后,之 后的每次换数不论怎样进行,三个数的奇偶性将永远 保持一偶两奇的特点。而46,74,120是三个偶数,所 以3,5,7换数后得到46,74,120这种情况不会出现。 专题二 巧用质因数 [例题导引] 例1 解答:2910=2×3×5×97=2×15×97 笑笑 的哥哥在这次数学竞赛中的名次是第2名,得分是 97分 例2 解答:设聪聪家的固定电话号码是abcabc0,因 为abcabc0=abc×1001×10=abc×7×11×13×2× 5,最小的质数是2,所以这8个连续的质数分别是2, 3,5,7,11,13,17,19。所以abc=3×17×19=969,所 以聪聪家的固定电话号码是9699690 [提优训练] 1. 210=2×3×5×7=6×5×7 这三个小朋友的年 龄分别是5岁、6岁、7岁 2. 2004=2×2×3×167=12×167=1×12×167 这三个数分别是1,12,167 3. 1998=2×3×3×3×37 2×3=6 3×3=9 6+ 9+37=52(厘米) 这个长方体的长、宽、高的和最小 是52厘米 解析:把1998分解质因数,即1998=2× 3×3×3×37,再将其变为三个数相乘(长×宽×高)。 为了使这三个数的和最小,这三个数应该尽可能接 近,即差最小,和最小应该是6+9+37=52。 4. 积最大是2×37×41=3034 解析:三个质数的和 是偶数,必定有一个质数是2,所以剩下两个质数的和 是80-2=78,要使它们的积最大,应使这两个质数的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 82 差尽可能小,所以这两个质数分别是37和41。综上 可知,这三个质数分别是2,37和41,将这三个质数相 乘即可求出最大的积。 5. 第一组:169,33,14,75;第二组:143,39,30,35或 第一组:169,33,30,35;第二组:143,39,14,75 解析:先分解质因数,14=2×7,33=3×11,35=5× 7,30=2×3×5,75=3×5×5,39=3×13,143=11× 13,169=13×13。要使两组数的乘积相等,就要使两 组中的质因数一样,并且相同质因数的个数相同。所 以可分为169,33,14,75和143,39,30,35或169,33, 30,35和143,39,14,75。 专题三 最小公倍数与最大公因数(1) [例题导引] 例1 解答:(1) 10的倍数有10,20,30,40,50,60, 70,80,90,100,110,120,…;12的倍数有12,24,36, 48,60,72,84,96,108,120,…;20的倍数有20,40, 60,80,100,120,… 10,12和20的公倍数有60, 120,… 10,12和20的最小公倍数是60 (2) 30的 因数有1,2,3,5,6,10,15,30;24的因数有1,2,3,4, 6,8,12,24;42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42 30, 24和42的公因数有1,2,3,6,所以30,24和42的最 大公因数是6 例2 解答:168÷24=7 7=1+6=2+5=3+4 24×1=24 24×6=144 24×2=48 24×5=120 24×3=72 24×4=96 这两个自然数可能是24和 144,也可能是48和120,还可能是72和96 [提优训练] 1. 30 84 2. 8 12 3. 125÷25=5 5=1+4=2+3 25×1=25 25× 4=100 25×2=50 25×3=75 这两个自然数可 能是25和100,也可能是50和75 4. 70÷7=10 10=1+9=3+7 1×7=7 9×7= 63 63-7=56 3×7=21 7×7=49 49-21=28 这两个自然数的差可能是56,也可能是28 5. 设这两个不同自然数分别为31a,31b(a 与b只有 公因数1)。根据题意,得31a×31b=5766,所以a× b=6 6=1×6=2×3 31×1=31 31×6=186 31×2=62 31×3=93 这两个自然数可能是31和 186,也可能是62和93 专题四 最小公倍数与最大公因数(2) [例题导引] 例1 解答:方法一,27,36,63的最大公因数是9,所 以每小段的长度最长是9dm 27÷9=3(段) 36÷ 9=4(段) 63÷9=7(段) 3+4+7=14(段) 方法 二,如下图,求多个数的最大公因数用短除法更简便, 而且将短除法的三个商相加即可求出总段数 一共可以截成3+4+7=14(段) 例2 解答:10,7和4的最小公倍数是140 140- 3=137 这个自然数最小是137 [提优训练] 1. 6分米=60厘米 75和60的最大公因数是15,所 以小正方形纸片的边长是15厘米 (75÷15)× (60÷15)=20(张) 2. 80,60和112的最大公因数是4 80÷4=20 60÷4=15 112÷4=28 20×15×28=8400(块) 3. 110-5=105(本) 240+5=245(本) 105,210 和245的最大公因数是35 五(1)班最多有35名 同学 4. 6,7和2的最小公倍数是42 甲齿轮的齿数最少 是42÷6=7,乙齿轮的齿数最少是42÷7=6,丙齿轮 的齿数最少是42÷2=21 解析:由题意可知,甲齿 轮、乙齿轮、丙齿轮转动圈数的最小公倍数是42。42 是甲齿轮转动圈数的7倍,是乙齿轮转动圈数的 6倍,是丙齿轮转动圈数的21倍。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(西师版)五年级 十拿九稳(表示信心十足) 采蜜角 23 专题二 巧用质因数 在数学学习中,有许多与乘积有关的题目看起来很复杂,对于这类题目,我们可以用分解 质因数的方法来解答。把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。灵活 运用分解质因数的知识,能帮助我们解决许多用常规方法无法解决的与乘积有关的问题。 类型一 乘积已知的问题 例1 笑笑的哥哥参加了中学生数学竞赛,成 绩公布后,笑笑问哥哥:“这次数学竞赛你得了 多少分? 是第几名?”哥哥说:“我的名次数和 我的岁数以及我的分数的乘积是2910,你知 道我的名次和得分分别是多少吗?”请算出笑 笑的哥哥在这次数学竞赛中的名次和得分。 点拨:已知笑笑的哥哥的名次数和他的岁数以 及他的分数的乘积 􀪍􀪍 ,求他的名次和得分,可以 将乘积2910分解质因数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,进而把2910写成 3个数的乘积􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的形式,再结合生活实际 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 即可得 出笑笑的哥哥在这次数学竞赛中的名次和 得分。 解答: 用分解质因数法解决问题 解决此类问题时,要先将所给的数分解质因 数,再根据实际情况,判断哪些情况是符合实际 的,从而得到最合理的答案。 类型二 乘积未知的问题 例2 聪聪家的固定电话号码是七位数,它恰好 是8个连续质数的乘积,这个积的后四位数字 组成的数是前三位数字组成的数的10倍。聪 聪家的固定电话号码是多少? 点拨:先由所求七位数的后四位 􀪍􀪍􀪍 数字组成的数 是前三位 􀪍􀪍􀪍 数字组成的数的10倍,得出这个七 位数个位 􀪍􀪍 上的数字是0 􀪍 ,即这个七位数能够被 􀪍 10整除􀪍􀪍􀪍􀪍 。从而假设聪聪家的固定电话号码是 abcabc0􀪍􀪍􀪍􀪍 ,通过分解质因数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,求出abc􀪍􀪍 是多少即 可求出固定电话号码。 解答: 解决几个连续质数乘积的问题 解决此类问题的关键是能够根据条件得出所 求数是从几开始的连续质数的乘积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆24 1. 三个小朋友的年龄正好是三个连续的自然数,且他们的年龄之积是210,这三个小朋友的年龄 分别是多少? 2. 有三个数,分别是一位数、两位数、三位数,这三个数的乘积正好是2004,这三个数分别是 多少? 3. 一个长方体的长、宽、高都是整厘米数,它的体积是1998立方厘米,那么它的长、宽、高的和最 小是多少厘米? 4. 三个质数的和是80,这三个质数的积最大是多少? 5. 将14,33,35,30,75,39,143,169这八个数分成两组,每组四个数,并且每组四个数的乘积相 等,应该怎样分? 数学(西师版)五年级