1.4.1充分条件与必要条件（导学案）数学人教A版2019必修第一册

1.4.1 充分条件与必要条件 导学案 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义。 2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法。 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 教学重点：充分条件与必要条件概念的理解；判断充分条件、必要条件、充要条件的方法。教学难点：必要条件的理解；充分条件、必要条件的判断方法。 一、自主学习——温故知新 知识梳理 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． （一）情景引入 从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。”他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢？”没有接受邻居的好心劝告。第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。这位牧民很后悔没有认真接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固。从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过。从这个小故事咱们发现一个问题，在有狼的情况下，要想不丢羊，修理好羊圈是必要条件。 导入情境：今天早上，小明迟到了。老师问小明：“你为什么迟到？”小明回答：“因为闹钟没响。”老师又问：“闹钟没响一定会迟到吗？”小明想了想，说：“也不一定，如果我早起，或者妈妈叫醒我，也可能不会迟到。”老师接着问：“那迟到的原因一定是闹钟没响吗？”小明说：“也不一定，可能是路上堵车，或者我起床晚了。” 【设计意图】通过贴近学生生活实际的情境，引出“充分条件”和“必要条件”的概念，帮助学生初步理解这两个概念在生活中的含义，为后续的数学概念学习奠定基础。 【教学建议】教师在导入时，可以引导学生思考“闹钟没响”与“迟到”之间的关系，让学生尝试用自己的语言描述这种关系，从而自然地引出充分条件和必要条件的概念。 （二）温故知新 回顾上节课知识： 什么是命题？命题的真假如何判断？ 命题的条件和结论分别是什么？ 【设计意图】通过复习上节课的知识，帮助学生巩固命题的概念和命题的真假判断，为本节课学习充分条件与必要条件做好铺垫。 【教学建议】教师可以通过提问的方式，让学生回答这些问题，检查学生对上节课知识的掌握情况，并及时纠正学生的错误理解。 知识点1：充分条件与必要条件 思考：下列“若,则”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; (3)若,则; (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 在命题(1)(4)中,由条件通过推理可以得出结论,所以它们是真命题.在命题(2)(3)中,由条件不能得出结论,所以它们是假命题. 一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作并且说,是的充分条件(sufficientcondition),是的必要条件(necessarycondition). 如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件. 上述命题(1)(4)中的是的充分条件,是的必要条件,而命题(2)(3)中的不是的充分条件,不是的必要条件. 【设计意图】通过具体的命题实例，引导学生理解充分条件和必要条件的定义，帮助学生初步掌握判断充分条件和必要条件的方法。 【教学建议】教师在讲解时，可以结合具体的命题实例，引导学生分析条件和结论之间的关系，帮助学生理解“推出关系”和“条件关系”的含义。 知识点2　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 定理关系： 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件。 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件。 【设计意图】通过定理关系的讲解，帮助学生理解充分条件和必要条件在数学中的应用，为后续的学习做好铺垫。 【教学建议】教师可以通过举例的方式，让学生理解判定定理和性质定理分别与充分条件和必要条件的关系。 （2） 典例分析 例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直； （4）若，则； （5）若，则； （6）若x，y为无理数，则为无理数. 【解析】 （1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理，，所以p是q的充分条件. （4）由于，但，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件 （6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件. 变式1：下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 【解析】 ①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． 反思感悟　充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 【设计意图】通过具体的命题实例，引导学生掌握判断充分条件的方法，帮助学生理解充分条件的定义。 【教学建议】教师在讲解时，可以引导学生分析每个命题的条件和结论之间的关系，帮助学生掌握判断充分条件的方法。 思考 例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 我们说是的充分条件,是指由条件可以推出结论,但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论.一般来说,对给定结论,使得成立的条件是不唯一的.例如,我们知道,下列命题均为真命题: (1)若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形; (3)若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形.所以,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 事实上,例1中命题(1)及上述命题(1)(2)(3)均是平行四边形的判定定理.所以,平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地,平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件,例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”.一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 【设计意图】通过变式练习，进一步巩固学生对充分条件判断方法的理解，帮助学生掌握如何通过具体条件和结论之间的逻辑关系判断充分条件。 【教学建议】教师可以引导学生总结判断充分条件的方法：先明确条件p和结论q，然后判断是否能从p推出q。如果能推出，则p是q的充分条件；否则不是。 反思感悟： 判断p是否是q的充分条件，关键在于判断“若p，则q”是否为真命题。 除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断。若p构成的集合为A，q构成的集合为B，且，则p是q的充分条件。 【设计意图】通过反思感悟，帮助学生总结判断充分条件的方法，提升学生的逻辑思维能力。 【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生总结判断充分条件的方法，并强调集合关系与充分条件之间的联系。 例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 【解析】 （1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件. （4）显然，，所以，q是p必要条件. （5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件. （6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件. 【设计意图】通过具体的命题实例，引导学生掌握判断必要条件的方法，帮助学生理解必要条件的定义。 【教学建议】教师在讲解时，可以引导学生分析每个命题的条件和结论之间的关系，帮助学生掌握判断必要条件的方法。 一般地,要判断“若,则”形式的命题中是否为的必要条件,只需判断是否有“”,即“若,则”是否为真命题. 变式2：指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 【解析】 ①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． ②因为p⇒q，所以q是p的必要条件． ③因为p⇏q，所以q不是p的必要条件． 思考 例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗?如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗? 我们说是的必要条件,是指以为条件可以推出结论,但这并不意味着由条件只能推出结论.一般来说,给定条件,由可以推出的结论是不唯一的.例如,下列命题都是真命题: (1)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等; (2)若四边形是平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等;(3)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两条对角线互相平分. 这表明,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件. 我们知道,例2中命题(1)及上述命题(1)(2)(3)均为平行四边形的性质定理.所以,平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.类似地,平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件,例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,也就是说,如果同位角不相等,那么就不可能有“两直线平行”. 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 反思感悟　(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 反思感悟： 判断p是否是q的必要条件，关键在于判断“若q，则p”是否为真命题。 也可以利用集合间的关系判断。若p构成的集合为A，q构成的集合为B，且，则q是p的必要条件。 【设计意图】通过反思感悟，帮助学生总结判断必要条件的方法，提升学生的逻辑思维能力。 【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生总结判断必要条件的方法，并强调集合关系与必要条件之间的联系。    1.设命题，，则（　　） A．命题是命题的充分必要条件 B．命题是命题的充分条件但不是必要条件 C．命题是命题的必要条件但不是充分条件 D．命题既不是命题的充分条件也不是命题的必要条件 【答案】C 【分析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解方程，解得或， ，因此，命题是命题的必要条件但不是充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的必要不充分条件，考查了集合包含关系的应用，属于基础题. 2.设则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】等价于或，利用充分条件于必要条件的定义判断即可. 【详解】因为等价于或， 所以能推出，不能推出， 则“”是“”的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试，对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3.设，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用特殊值来得出“”与“”的充分必要性关系． 【详解】若，则，但不成立； 若，，成立，但不成立． 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，常用集合的包含关系来进行判断，也可以利用特殊值以及逻辑推证法来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题． 4.“”是“”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】试题分析：由可得到，反之由可得到，所以“”是“”的充分非必要条件 考点：充分条件与必要条件 5.设,则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】由可得，则或 ∴当时，成立 当时，不一定成立 ∴“”是“”的充分不必要条件 故选A 6.若为实数，则“”是“”的（    ）. A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先由解得或，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】解：若，则，即“”是“”的充分条件； 但是当时，可得或，即由不能推出， 所以“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 7.下列哪一项是“”的必要条件 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要条件的定义可知：“”能推出的范围是“”的必要条件，再根据 “小推大”的原则去判断. 【详解】由题意，“选项”是“”的必要条件，表示“”推出“选项”，所以正确选项为D. 【点睛】推出关系能满足的时候，一定是小范围推出大范围，也就是“小推大”. 8.（多选题）设,则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． E． 【答案】BC 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要不充分条件的定义,对选项逐个分析可得出答案. 【详解】对于选项A,,,故是的一个既不充分也不必要条件; 对于选项B,,,故是的一个必要不充分条件; 对于选项C,,,故是的一个必要不充分条件; 对于选项D,,,故是的一个充分不必要条件; 对于选项E,,,故是的一个既不充分也不必要条件. 故选:BC. 【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断,考查了不等式的性质,属于基础题. 9.（多选题）的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】BC 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【解析】解方程，利用充分不必要条件的定义可得出结论. 【详解】解方程，解得，所以，是的充分不必要条件，也是的充分不必要条件. 故选：BC. 10.（多选题）若是的充分不必要条件，则实数a可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【知识点】根据集合的包含关系求参数、充分条件的判定及性质 【分析】由充分不必要条件转化为两个集合的包含关系求解. 【详解】若是的充分不必要条件， 则. 故选：BC. 1.（2008·湖北·高考真题）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则 A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】因为A∪B＝C且B不是A的子集，所以A是C的真子集，所以x∈A则x一定属于C，但x∈C不一定属于A所以“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件． 2.（2008·江西·高考真题）“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】因但． 3.（2004·天津·高考真题）对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是(　　 ) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 【答案】B 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【详解】因为根据不等式的性质可知，“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，选项D错误， 选项A是不充分不必要条件，选项C是不充分不必要条件,选B 4.（2008·上海·高考真题）给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断线面是否垂直 【详解】直线与平面a内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a垂直，即充分性不成立. 直线l与平面a垂直，则直线l与平面a内任意直线都垂直，所以直线l与平面a内无数条直线都垂直，必要性成立，选C. 5.（2013·天津·高考真题）设, 则 “”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A. 【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键. 6.（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。 1．知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念． (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． (3)充分条件、必要条件的判断． (4)充分条件与必要条件的应用． 2．方法归纳：等价转化． 3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围时能否取到端点值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 充分条件与必要条件 导学案 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义。 2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法。 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 教学重点：充分条件与必要条件概念的理解；判断充分条件、必要条件、充要条件的方法。教学难点：必要条件的理解；充分条件、必要条件的判断方法。 一、自主学习——温故知新 知识梳理 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 P p 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． （一）情景引入 从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。”他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢？”没有接受邻居的好心劝告。第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。这位牧民很后悔没有认真接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固。从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过。从这个小故事咱们发现一个问题，在有狼的情况下，要想不丢羊，修理好羊圈是必要条件。 导入情境：今天早上，小明迟到了。老师问小明：“你为什么迟到？”小明回答：“因为闹钟没响。”老师又问：“闹钟没响一定会迟到吗？”小明想了想，说：“也不一定，如果我早起，或者妈妈叫醒我，也可能不会迟到。”老师接着问：“那迟到的原因一定是闹钟没响吗？”小明说：“也不一定，可能是路上堵车，或者我起床晚了。” （二）温故知新 回顾上节课知识： 什么是命题？命题的真假如何判断？ 命题的条件和结论分别是什么？ 知识点1：充分条件与必要条件 思考：下列“若,则”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; (3)若,则; (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作并且说,是的充分条件(sufficientcondition),是的必要条件(necessarycondition). 如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件. 上述命题(1)(4)中的是的充分条件,是的必要条件,而命题(2)(3)中的不是的充分条件,不是的必要条件. 【设计意图】通过具体的命题实例，引导学生理解充分条件和必要条件的定义，帮助学生初步掌握判断充分条件和必要条件的方法。 【教学建议】教师在讲解时，可以结合具体的命题实例，引导学生分析条件和结论之间的关系，帮助学生理解“推出关系”和“条件关系”的含义。 定理关系： 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件。 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件。 （2） 典例分析 例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直； （4）若，则； （5）若，则； （6）若x，y为无理数，则为无理数. 【解析】 变式1：下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 【解析】 反思感悟　充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 思考 例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 我们说是的充分条件,是指由条件可以推出结论,但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论.一般来说,对给定结论,使得成立的条件是不唯一的.例如,我们知道,下列命题均为真命题: (1)若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形; (3)若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形.所以,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 事实上,例1中命题(1)及上述命题(1)(2)(3)均是平行四边形的判定定理.所以,平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地,平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件,例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”.一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 反思感悟： 判断p是否是q的充分条件，关键在于判断“若p，则q”是否为真命题。 除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断。若p构成的集合为A，q构成的集合为B，且，则p是q的充分条件。 例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 【解析】 一般地,要判断“若,则”形式的命题中是否为的必要条件,只需判断是否有“”,即“若,则”是否为真命题. 变式2：指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 【解析】 思考 例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗?如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗? 我们说是的必要条件,是指以为条件可以推出结论,但这并不意味着由条件只能推出结论.一般来说,给定条件,由可以推出的结论是不唯一的.例如,下列命题都是真命题: (1)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等; (2)若四边形是平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等;(3)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两条对角线互相平分. 这表明,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件. 我们知道,例2中命题(1)及上述命题(1)(2)(3)均为平行四边形的性质定理.所以,平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.类似地,平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件,例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,也就是说,如果同位角不相等,那么就不可能有“两直线平行”. 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 反思感悟　(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 反思感悟： 判断p是否是q的必要条件，关键在于判断“若q，则p”是否为真命题。 也可以利用集合间的关系判断。若p构成的集合为A，q构成的集合为B，且，则q是p的必要条件。 【设计意图】通过反思感悟，帮助学生总结判断必要条件的方法，提升学生的逻辑思维能力。 【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生总结判断必要条件的方法，并强调集合关系与必要条件之间的联系。    1.设命题，，则（　　） A．命题是命题的充分必要条件 B．命题是命题的充分条件但不是必要条件 C．命题是命题的必要条件但不是充分条件 D．命题既不是命题的充分条件也不是命题的必要条件 2.设则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.“”是“”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5.设,则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.若为实数，则“”是“”的（    ）. A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7.下列哪一项是“”的必要条件 A． B． C． D． 8.（多选题）设,则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． E． 9.（多选题）的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．且 10.（多选题）若是的充分不必要条件，则实数a可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1.（2008·湖北·高考真题）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则 A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件 2.（2008·江西·高考真题）“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2004·天津·高考真题）对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是(　　 ) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 4.（2008·上海·高考真题）给定空间中的直线l及平面a，条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（ ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 5.（2013·天津·高考真题）设, 则 “”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念． (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． (3)充分条件、必要条件的判断． (4)充分条件与必要条件的应用． 2．方法归纳：等价转化． 3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围时能否取到端点值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$