24.2.2 直线和圆的位置关系 （课件）- -2025—2026学年人教版九年级数学上册

24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时 切线长定理 1.认识并掌握圆的切线长定理、三角形内切圆、三角形内心等知识，会作三角形内切圆，确定三角形内心。 2.能运用圆的切线切线长定理解决问题.（重、难点） 前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？ 2.图中还有哪些量？猜想它们之间 有什么关系？ 1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？ O P 新课导入 1 知识点 切线长定理 下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.如图，过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 新知探究 总 结 由此得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 切线长概念： 在经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. P O A B 几何语言: ∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA=PB,OP平分∠APB. 收获： 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 折一折 思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现那些相等的关系? P O A B 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 例1 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是AB 上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则△PDE的周长为______， ∠DOE的度数为______． ⌒ 6 60° 典例分析 A P O B 1.若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB M 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB. 试一试 2.若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB，理由如下： 证明： ∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵PC=PC. ∴△PCA≌△PCB ， ∴AC=BC. P B A C 概念形成 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢? 内切圆和内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心. 你能发现新的三角形面积公式吗？ S= lr (l表示三角形的周长，r表示三角形的内切圆的半径) S= （a+b+c）r ． o 外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 三角形外接圆 三角形内切圆 ． o 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 A A B B C C 归 纳 如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I 到AB，BC ，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I 就是所求作的圆. 例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D,E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. 已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点O是内心，求∠BOC的度数。 A B C O 探究三角形内切圆的半径： 直角三角形内切圆半径公式： A B C O D E F r r r (1) 如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆， .切点分别是D、E、F.已知AC＝b,AB＝c,BC=a，求Rt△ABC内切圆的半径r. 解：∵CE=CE=r ∴AF=b-r，BE=a-r ∵AF=AD,BE=BD ∴AD+BD=c 即b-r+a-r=c ∴ 探究三角形内切圆的半径： A B C O D E F r r r 已知AC＝12 cm,BC＝5 cm,AB＝13 cm,求内切圆的半径. 探究三角形内切圆的半径：(一般三角形) (2) 如图,⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F.已知AC＝b, AB＝c,BC=a，求△ABC内切圆的半径r. A C B O r r r F D E 一般三角形内切圆半径公式： 三角形内切圆的应用： 1、如图，△ABC内切圆的三个切点分别为D,E,F. 则圆心角 . C A B O D E F 2.如图，在△ABC中， 则它的内切圆半径等于 . A F D C E B 小结： $$