22.2.3 公式法-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

76 22.2.3 公 式 法 一元二次方程的求根公式:一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a ),如果b2- 4ac ,那么方程的根为 .这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根 公式可以直接得出一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 典例1 下 列 一 元 二 次 方 程 的 根 是 x = 3± 32+4×1×2 2×2 的为 ( ) A. 2x2-3x+1=0 B. 2x2+3x+1=0 C. 2x2+3x-1=0 D. 2x2-3x-1=0 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 为 x= -b± b2-4ac 2a ,找到对应的a、b、c的值即可. 解答: 典例2 用公式法解下列方程: (1) x2+3x-4=0; (2) 2x2-4x-3=0; (3) (y-2)(3y-5)=1. 第(1)(2)题可以直接运用公式法求解; 第(3)题先化为一般形式,再运用公式法求解. 解答: 解有所悟:公式法解一元二次方程的一般步骤: (1) 将所给的方程变成一般形式,注意移项要变 号,尽量让a>0.(2) 找出系数a、b、c,注意各项系 数的符号.(3) 计算b2-4ac,若结果为负数,则方程 无解;若结果为非负数,则代入求根公式,算出结果. 典例3 用适当的方法解下列方程: (1) 3x2-x-1=0; (2) x2+4x+2=0; (3) 2x2+4x=x+2. 第(1)题用公式法解;第(2)题用配方法 解;第(3)题用因式分解法解. 解答: 解有所悟:一元二次方程的解法选择技巧:(1) 若方 程的形式为(mx+n)2=p,则用直接开平方法解; (2) 若方程右边为0,左边易分解为两个整式相乘 的形式,则用因式分解法解;(3) 若方程的二次项系 数为1,一次项系数为偶数,则用配方法解;(4) 不 能用直接开平方法和因式分解法时可以用配方法 或公式法解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 拍 照 批 改 77 [基础过关] 1. 用公式法解方程x2+x=2时,求根公式中 的a、b、c的值分别是 ( ) A. a=1,b=1,c=2 B. a=1,b=-1,c=-2 C. a=1,b=1,c=-2 D. a=1,b=-1,c=2 2. 方程x2+x-1=0的根是 ( ) A. x=1-5 B. x=1-52 C. x=-1+5 D. x=-1±52 3. 小明在解方程x2-4x=2时出现了错误,解 答过程如下: ∵ a=1,b=-4,c=-2,(第一步) ∴ b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24. (第二步) ∴ x=-4±262 . (第三步) ∴ x1=-2+6,x2=-2-6.(第四步) 小明解答过程中开始出错的步骤是 ( ) A. 第一步B. 第二步C. 第三步D. 第四步 4. 下表是求代数式ax2-bx的值的情况,由表 可知,方程ax2-bx=2的解是 ( ) x -2 -1 0 1 2 3 … ax2-bx 6 2 0 0 2 6 … A. x=1 B. x1=0,x2=1 C. x=2 D. x1=-1,x2=2 5. 代数式x2-2x与4x的值相等,则x的值为 . 答案讲解 6. 一个直角三角形的一条直角边的长 是4,另一条直角边的长是方程 x2-8x+15=0的根,则该直角三 角形的面积是 . 答案讲解 7. 小明设计了一个魔术盒,当任意实 数对(a,b)进入其中,会得到一个新 的实数a2-2b+3.若将实数对 (x,-3x)放入其中,得到一个新的实数为 5,则x的值为 . 8. 用公式法解方程: (1) x2-3x+1=0; (2) (x+1)(x-2)=4. [综合提升] 9. 用适当的方法解方程: (1) (x-1)2+3=3x; (2) (2x-1)2=x(3x+2)-7. 答案讲解 10. 已知关于x的一元二次方程x2+ 4x+1-p2=0. (1) 若方程有一个根为x=0,求p 的值及方程的另一个根; (2) 若p=2,求方程的解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 21 x2=-6- 51.(3) m1=-4+ 41,m2=-4- 41. (4) x1=2+25,x2=2-25.(5) x1=-1,x2=-5. 典例3 原式=x2+2x+1-1+5=(x+1)2+4.∵ 无论 x取任何实数,(x+1)2≥0,∴ (x+1)2+4>0,即代数式 x2+2x+5的值一定是正数. 预学训练 1. C 2. B 3. C 4. (1) 1 1 (2) 9 3 (3) 25 4 5 2 (4) 9 4m 2 32m 5. (1) x1=3,x2=-1.(2) x1= 21 3 -1 ,x2= - 213 -1. (3) x1=2+2,x2=2-2. 6. A 7. (1) 第②步二次项系数化为1的依据是等式两边同时 除以同一个不为0的数,等式仍然成立.(2) 不正确.从第 ③步开始出现的错误.此方程正确的解为x1=1+ 2p+4 2 ,x2=1- 2p+4 2 . 22.2.3　公 式 法 知识梳理 ≠0 ≥0 x=-b± b 2-4ac 2a 典例演练 典例1 D 典例2 (1) x1=1,x2=-4.(2) x1= 2+ 10 2 ,x2= 2- 10 2 . (3) y1= 11+ 13 6 ,y2= 11- 13 6 . 典例3 (1) x1= 1+ 13 6 ,x2= 1- 13 6 . (2) x1= 2- 2,x2=-2-2.(3) x1=-2,x2= 1 2. 预学训练 1. C 2. D 3. C 4. D 解析:由题表,可知当x=-1和x=2时,ax2- bx=2,∴ ax2-bx=2的解为x1=-1,x2=2. 5. 0或6 6. 6或10 解析:∵ x2-8x+15=0,∴ (x-3)(x- 5)=0,则x-3=0或x-5=0,解得x1=3,x2=5.当 x=3时,三角形的面积为12×3×4=6 ;当x=5时,三角 形的面积为1 2×4×5=10.∴ 该直角三角形的面积为 6或10. 7. -3± 11 8. (1) x1= 3+5 2 ,x2= 3-5 2 . (2) x1=3,x2=-2. 9. (1) x1=1,x2=4.(2) x1=2,x2=4. 10. (1) 把x=0代入原方程得1-p2=0,解得p1=1, p2=-1,∴ p=±1.∴ 原方程为x2+4x=0,即x(x+ 4)=0,解得x1=0,x2=-4.∴ 方程的另一个根为x= -4.(2) 将p=2代入原方程,得x2+4x-3=0,解得 x1=-2-7,x2=-2+ 7.∴ 当p=2时,方程的解为 x1=-2-7,x2=-2+7. 22.2.4　一元二次方程根的判别式 知识梳理 ≠0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 典例演练 典例1 C 典例2 Δ=b2-4ac=(-3)2-4×(m+1)×2=-8m+ 1.(1) ∵ 方程有两个不相等的实数根,∴ Δ=b2- 4ac=-8m+1>0.∴ m<18. 又∵ m+1≠0,即m≠ -1,∴ m<18 且m≠-1.(2) ∵ 方程有两个相等的实数 根,∴ Δ=b2-4ac=-8m+1=0.∴ m=18. (3) ∵ 方 程没 有 实 数 根,∴ Δ=b2-4ac= -8m +1<0. ∴ m>18. 典例3 (1) ∵ Δ=(2m+1)2-4×1×(m-2)=4m2+ 9>0,∴ 无论m 取何值,此方程总有两个不相等的实数 根.(2) ∵ Δ=4m2+9,∴ 当m=0时,根的判别式的值 最小.把m=0代入方程,得x2+x-2=0,解得x1=-2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈