21.2.1 二次根式的乘法-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

57 21.2　二次根式的乘除 21.2.1 二次根式的乘法 二次根式的乘法:两个算术平方根的积,等于它们被开方数的积的算术平方根,a· b= (a ,b ). 典例 计算: (1) 5× 15; (2) 3x· 13xy ; (3) 53×(-6); (4) 23×32×33. 第(1)(2)题直接运用 a· b= ab进行 计算;第(3)(4)题计算时,先把根号外的数相 乘,再运用 a·b= ab进行计算. 解答: 解有所悟:含有系数的二次根式相乘,用系数的积 作为积的系数,被开方数的积作为积的被开方数. 以前学过的乘法公式和乘法的运算律在二次根式 的乘法运算中仍然适用,注意分析题目的特点,灵 活、正确地运用公式和运算律. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 计算2×2的结果是 ( ) A. 22 B. 4 C. 2 D. 1 2. 计算 1 2× 32 的结果是 ( ) A. 16 B. ±16 C. 4 D. ±4 3. 计算22×3的结果是 ( ) A. 12 B. 26 C. 62 D. 25 4. 下列各数中,与2的积为无理数的是( ) A. 1 8 B. 8 C. 18 D. 0.8 5. 计算 6a· 2a的结果是 ( ) A. 12a2B. 12a C. 12a D. 12a2 6. 下列运算中,正确的是 ( ) A. 2×3=5 B. 93× 127=3 C. 6×2=12 D. 24× 32=6 7. 计算: (1) -2×5=- ; (2) 18× 12= ; (3) 521×23= . 8. 一个矩形的长为 12,宽为 27,则它的面积 为 . 9. 已知 10× m=3,则m= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 58 10. 计算: (1) 22×66; (2) 0.4× 3.6; (3) 27×38×583. [综合提升] 答案讲解 11. 计算: (1) 24x×(- 18x3); (2) 3 220× (-15)× -1348 ; (3) 135×23× - 1 210 . 12. 已知一个长方体的长、宽分别为32cm、 23cm,高是宽的 2倍,求这个长方体的 体积. 13. 小刚 画 了 一 个 矩 形,已 知 矩 形 的 长 是 140πcm,宽是 35πcm.他又想画一个面 积与其相等的圆.请你帮助小刚求出这个 圆的半径. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 17 0,AC=AD,∴ 易得点C的纵坐标是3×2-0=6.把y= 6代入y= 12 x ,得x=2,∴ C(2,6).过点C 作CM⊥x轴 于点M,交AB 于点E.在y= 1 2x+1 中,当x=2时,y= 1 2×2+1=2 ,∴ E(2,2).∵ C(2,6),∴ CE=6-2= 4.∴ S△ABC= 1 2CE ·|xA|= 1 2×4×4=8.② 设点P 的 坐标为(xP,yP).当AB 是对角线,即四边形APBQ 是平 行四边形时,∵ A(4,3),B(0,1),点Q 的纵坐标为0, ∴ yP=1+3-0=4.在y= 12 x 中,当y=4时,4= 12 x ,解 得x=3.∴ P(3,4);当AB 为边,即四边形ABQP 是平 行四边形时,由yQ-yB=yP-yA,得0-1=yP-3, ∴ yP=2.在y= 12 x 中,当y=2时,2= 12 x ,解得x=6. ∴ P(6,2).综上所述,点P 的坐标为(3,4)或(6,2). 20. (1) DE+DF=AD.(2) 如图①,取AD 的中点M,连 结PM,则 AM =DM.∵ 四 边 形 ABCD 为 菱 形, ∠ADC=120°,∴ CD=AD,∠DAP=30°,AC⊥BD, ∠ADP=∠CDP=60°.在Rt△APD 中,∵ AM=DM, ∴ PM=DM.∴ △MDP 是等边三角形.∴ PM=PD, ∠MPD=60°,∠PME=∠PDF=60°.∵ ∠QPN=60°, ∴ ∠MPD-∠QPD=∠QPN-∠QPD,即∠MPE= ∠DPF.在△MPE 和△DPF 中, ∠PME=∠PDF, PM=PD, ∠MPE=∠DPF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MPE≌△DPF.∴ ME=DF.∴ DE+DF=DE+ ME=DM=12AD. (3) 在整个运动变化过程中,① 如图 ①,当点E 落在AD 上时,DE+DF=12AD ;② 如图②, 当点E 落在AD 的延长线上时,DF-DE=12AD. 第20题 3 预学储备 第21章　二次根式 21.1 二次根式 知识梳理 1. ≥0 2. a≥0 非负数 3. (1) ≥ ≥ (2) a ≥0 (3) |a| 典例演练 典例1 C 典例2 (1) 由2x-1≥0,得x≥12 ,∴ 当x≥12 时, 2x-1有意义.(2) 由-x2≥0,得x2≤0.又∵ x2≥0, ∴ x=0.∴ 当x=0时, -x2有意义.(3) 由2-3x> 0,得x<23 ,∴ 当x<23 时, 2 2-3x 有意义.(4) 由 x-1≥0, 3-x≥0, 得1≤x≤3,∴ 当1≤x≤3时, x-1+ 3-x有意义. 典例3 (1) 原式=25.(2) 原式=107. (3) 原式= (x-2)2=|x-2|.∵ x<2,∴ x-2<0.∴ 原式= |x-2|=2-x. 典例4 A 预学训练 1. A 2. A 3. D 4. D 5. 3-1 6. 18 7. (1) 7.(2) 2.25. 8. A 9. 2 10. (1) 由 a-17≥0, 17-a≥0, 解得a=17.∴ 0+0=b+8,解得 b=-8.(2) a2-b2=172-(-8)2=225.∵ 225的平方 根是±15,∴ a2-b2的平方根是±15. 21.2 二次根式的乘除 21.2.1　二次根式的乘法 知识梳理 ab ≥0 ≥0 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 典例演练 典例 (1) 原式= 75.(2) 原式= x2y.(3) 原式= -5 18.(4) 原式=18 18. 预学训练 1. C 2. C 3. B 4. D 5. A 6. D 7. (1) 10 (2) 3 (3) 10 63 8. 18 9. 9 10 解析:∵ 10× m=3,∴ 10m=9.∵ m> 0,∴ 10m=9,解得m=910. 10. (1) 12 12.(2) 1.2.(3) 15 8 648. 11. (1) -x2 432.(2) 15 2 960. (3) - 48. 12. ∵ 高是宽的2倍,宽为23cm,∴ 高为23× 2= 26(cm).∴ 这个长方体的体积为32×23×26= 72(cm3). 13. 设 这 个 圆 的 半 径 是rcm.根 据 题 意,得 πr2= 140π× 35π= 140π×35π= 4900π2 =70π. ∴ r2=70.∵ r>0,∴ r= 70.∴ 这个圆的半径为 70cm. 21.2.2　积的算术平方根 知识梳理 算术平方根 a·b ≥0 ≥0 典例演练 典例 (1) 65.(2) 155.(3) 42.(4) 35.(5) 403. (6) 8 9. 预学训练 1. B 2. A 3. D 4. C 解析:∵ 3=a, 30=b,∴ 90= 3×30= 3× 30=ab. 5. D 解析:由题意,得 x≥0, x-2≥0, 解得x≥2. 6. (1) 27 (2) 43 (3) 6 14 (4) 23 7. ∵ -20n= 4×(-5n)=2 -5n,且 -20n是 正整数,∴ 2 -5n是正整数,即-5n 是完全平方数. ∴ n的最大整数值为-5. 8. a≥0,b≤0 9. 由题意,可得g=9.8m/s2,d=980m,则v= gd= 9.8×980=98(m/s). 10. (1) 这组数据的第10个数是33.(2) 先把原数据变 形为0、3、6、9、12、15、…,通过观察发现,被开方 数都是3的倍数,并且倍数是这个数的顺序号减1,故这组 数据的第n个数为 3(n-1).(3) 这组数据的第19个数 为 3×(19-1)= 3×18 =36,第 55 个 数 为 3×(55-1)= 3×54=92,这两个数的积为36× 92=543. 21.2.3　二次根式的除法 知识梳理 1. a b ≥0 >0 它们商的算术平方根 2. a b ≥0 >0 它们算术平方根的商 3. (1) 分母 (2) 小于2 典例演练 典例1 (1) 2.(2) 22.(3) -1.(4) 2. 典例2 (1) 3 10. (2) 13 2 . (3) - 1510 . (4) 36 2 . 典例3 A 预学训练 1. B 2. D 3. A 4. C 5. B 6. C 解析: x 3 9÷ x= x3 9÷x= x2 9= x 3. 7. (1) 4 (2) 3 (3) 3 8. (1) 不是最简二次根式, 45=35.(2) 不是最简二 次根式, 1 3= 3 3. (3) 是最简二次根式.(4) 不是最简 二次根式,0.5= 12 = 2 2. (5) 不是最简二次根式, 145= 9 5= 35 5 . 9. (1) 2 53. (2) -62.(3) 2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈