21.1 二次根式-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

17 0,AC=AD,∴ 易得点C的纵坐标是3×2-0=6.把y= 6代入y= 12 x ,得x=2,∴ C(2,6).过点C 作CM⊥x轴 于点M,交AB 于点E.在y= 1 2x+1 中,当x=2时,y= 1 2×2+1=2 ,∴ E(2,2).∵ C(2,6),∴ CE=6-2= 4.∴ S△ABC= 1 2CE ·|xA|= 1 2×4×4=8.② 设点P 的 坐标为(xP,yP).当AB 是对角线,即四边形APBQ 是平 行四边形时,∵ A(4,3),B(0,1),点Q 的纵坐标为0, ∴ yP=1+3-0=4.在y= 12 x 中,当y=4时,4= 12 x ,解 得x=3.∴ P(3,4);当AB 为边,即四边形ABQP 是平 行四边形时,由yQ-yB=yP-yA,得0-1=yP-3, ∴ yP=2.在y= 12 x 中,当y=2时,2= 12 x ,解得x=6. ∴ P(6,2).综上所述,点P 的坐标为(3,4)或(6,2). 20. (1) DE+DF=AD.(2) 如图①,取AD 的中点M,连 结PM,则 AM =DM.∵ 四 边 形 ABCD 为 菱 形, ∠ADC=120°,∴ CD=AD,∠DAP=30°,AC⊥BD, ∠ADP=∠CDP=60°.在Rt△APD 中,∵ AM=DM, ∴ PM=DM.∴ △MDP 是等边三角形.∴ PM=PD, ∠MPD=60°,∠PME=∠PDF=60°.∵ ∠QPN=60°, ∴ ∠MPD-∠QPD=∠QPN-∠QPD,即∠MPE= ∠DPF.在△MPE 和△DPF 中, ∠PME=∠PDF, PM=PD, ∠MPE=∠DPF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MPE≌△DPF.∴ ME=DF.∴ DE+DF=DE+ ME=DM=12AD. (3) 在整个运动变化过程中,① 如图 ①,当点E 落在AD 上时,DE+DF=12AD ;② 如图②, 当点E 落在AD 的延长线上时,DF-DE=12AD. 第20题 3 预学储备 第21章　二次根式 21.1 二次根式 知识梳理 1. ≥0 2. a≥0 非负数 3. (1) ≥ ≥ (2) a ≥0 (3) |a| 典例演练 典例1 C 典例2 (1) 由2x-1≥0,得x≥12 ,∴ 当x≥12 时, 2x-1有意义.(2) 由-x2≥0,得x2≤0.又∵ x2≥0, ∴ x=0.∴ 当x=0时, -x2有意义.(3) 由2-3x> 0,得x<23 ,∴ 当x<23 时, 2 2-3x 有意义.(4) 由 x-1≥0, 3-x≥0, 得1≤x≤3,∴ 当1≤x≤3时, x-1+ 3-x有意义. 典例3 (1) 原式=25.(2) 原式=107. (3) 原式= (x-2)2=|x-2|.∵ x<2,∴ x-2<0.∴ 原式= |x-2|=2-x. 典例4 A 预学训练 1. A 2. A 3. D 4. D 5. 3-1 6. 18 7. (1) 7.(2) 2.25. 8. A 9. 2 10. (1) 由 a-17≥0, 17-a≥0, 解得a=17.∴ 0+0=b+8,解得 b=-8.(2) a2-b2=172-(-8)2=225.∵ 225的平方 根是±15,∴ a2-b2的平方根是±15. 21.2 二次根式的乘除 21.2.1　二次根式的乘法 知识梳理 ab ≥0 ≥0 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 第21章　二次根式 21.1　二次根式 1. 二次根式的定义:形如 a(a )的式 子叫做二次根式. 2. 二次根式有意义的条件:在 a中,a 的取值 必须满足 ,即二次根式的被开方数 必须是 . 3. 二次根式的性质: (1) a 0(a 0); (2) (a)2= (a ); (3) a2= = a(a≥0), -a(a<0). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 下列式子中,一定是二次根式的为 ( ) A. a B. 32 C. x2+1D. -1 a中的a 可能是负数;32中根的指数是 3;由x2≥0,可知x2+1>0,即被开方数是正 数;-1中的-1是负数. 解答: 解有所悟:判断二次根式:(1) 看形式,含有二次根 号“ ”,而不能是“3 ”;(2) 看内容,被开方数 必须是非负数.注意被开方数可以是数、字母或含 字母的式子. 典例2 当x取什么实数时,下列各式有意义? (1) 2x-1; (2) -x2; (3) 2 2-3x ; (4) x-1+ 3-x. 第(1)(4)题直接根据被开方数是非负数 建立不等式(组)求范围;第(2)题被开方数-x2 是非正数,只有为零时才有意义;第(3)题被开 方数的分母不能为零,且只能为正数. 解答: 解有所悟:(1) 一般地,在求二次根式的被开方数中 字母的取值范围时,常将其转化为解不等式的问 题;(2) 当被开方数是分式时,除了保证被开方数是 非负数外,还必须保证分母不能为零. 答案讲解 典例3 化简下列各式: (1) 252; (2) -107 2 ; (3) x2-4x+4(x<2). (1) 直接利用性质 a2=a(a≥0)进行化 简;(2) 直接利用性质 a2=-a(a<0)进行化 简;(3) 需先将被开方数写成完全平方式的形 式,再根据条件化简. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 56 解有所悟:在化简二次根式时,能直接利用性质的, 利用性质去掉根号,不能直接利用性质的,则需转 化成能利用性质的形式,再去掉根号. 典例4 已知实数a在数轴上的位置如图所示, 则化简|a-2|+ (a-4)2的结果为 ( ) 典例4图 A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 根据实数a 在数轴上的位置,可知2< a<4,即a-2>0,a-4<0,再去掉绝对值符号 和根号即可. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (贵阳中考)若代数式 x-3在实数范围内有 意义,则x的取值范围是 ( ) A. x≥3 B. x>3 C. x≤3 D. x<3 2. 若 1-n是二次根式,则n的值可以是 ( ) A. -1 B. 2 C. 3 D. 5 3. 实数5不能写成的形式为 ( ) A. 52 B. (-5)2 C. (5)2 D. - (-5)2 4. 若 (x-5)2=5-x,则x的取值范围是 ( ) A. x>5 B. x≥5 C. x<5 D. x≤5 5. 化简:(1- 3)2= . 6. (天津中考)计算(19+1)(19-1)的结果 是 . 7. 计算: (1) (-7)2; (2) (2.25)2. [综合提升] 8. 若 4a+1是整数,则a能取的最小整数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案讲解 9. (遂宁中考)实数a、b在数轴上的位 置如图所示,则|a+1|- (b-1)2+ (a-b)2的结果是 . 第9题 答案讲解 10. 请认真阅读下面这道例题的解法, 并完成后续题目. 例:若y= 2023-x+ x-2023+ 2024,求yx 的值. 解:由 x-2023≥0, 2023-x≥0, 解得x=2023.∴ y= 2024.∴ y x= 2024 2023. 题目:若 a-17+ 17-a=b+8,求: (1) a和b的值; (2) a2-b2的平方根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级