专题4 分式的化简与求值-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

35 专题四　分式的化简与求值 分式的化简求值属于中考热点题型,通常模式为先化简再求值.在化简过程中,需要灵活掌 握通分、约分、因式分解等知识.在代入求值阶段需要对使分式有意义的条件进行研究,难度不大 但综合性较强. 类型一 直接化简求值 1. (大连中考)化简: x 2-4 x2-4x+4÷ x2+2x 2x-4- 1 x. 2. (十堰中考)化简:a 2-b2 a ÷a+ b2-2ab a . 类型二 给定数据化简求值 3. 先化简,再求值:3x x-2- x x-2 ·x 2-4 x ,其 中x=1. 4. (阜新中考)先化简,再求值:a 2-6a+9 a2-2a ÷ 1- 1a-2 ,其中a=4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 36 5. (东营中考)先化简,再求值: 1 x-y- 1 x+y ÷ 2y x2+2xy+y2 ,其中x=3,y=2. 答案讲解 6. (营 口 中 考)先 化 简,再 求 值: a+1-5+2aa+1 ÷a 2+4a+4 a+1 ,其中 a=9+|-2|- 12 -1 . 类型三 挑选数据化简求值 7. (黄石中考)先化简,再求值:1+ 2a+1 ÷ a2+6a+9 a+1 ,从-3、-1、2中选择合适的a 的值代入求值. 8. 先化简 x 2-1 x2-2x+1+ 1 1-x ÷ x 2 x-1 ,若x的 取值范围是-1≤x≤1,且为整数,求该式 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 37 9. 先化简,再求值:2 a-3+ a a2-9÷ a2-4a a+3 ,其 中a、2、4为△ABC 的三边长,且a为整数. 10. 已知A=x 2+4x+4 x2-4 - x x-2. (1) 化简A; (2) 当x 满足不等式组 x-1≥0, x-3<0 且x 为 整数时,求A 的值. 类型四 整体代入化简求值 11. 已知m+n=1,求代数式 2m+nm2-mn+ 1 m · (m2-n2)的值. 12. 先化简,再求值:2x 2-6xy+5y2 x-y -x+y ÷ x2-4y2 y-x ,其中x、y满足 x 2=- y 3. 答案讲解 13. 整体思想 已知m2+3m-4=0, 求 代 数 式 5m+2-m +2 · m2+2m 3-m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 11 的长度是25尺. 第11题 12. 15 13. 13 解析:如图,作点A 关于直线l的对称点E,则 CE=AC=5km.连结BE,延长BD,作EF∥CD,交BD 的延长线于点F,则线段BE 的长度即为所求.由题意,可 知EF=CD=5km,BF=BD+DF=BD+CE=7+5= 12(km),∴ BE = EF2+BF2 = 52+122 = 13(km).∴ 铺设的管道最短是13km. 第13题 专题四　分式的化简与求值 1. 原 式 = (x+2)(x-2) (x-2)2 ·2(x-2) x(x+2)- 1 x = 2 x - 1 x= 1 x. 2.原 式 = a 2-b2 a ÷ a2 a+ b2-2ab a = a 2-b2 a ÷ a2-2ab+b2 a = (a+b)(a-b) a · a(a-b)2= a+b a-b. 3. 原式= 2xx-2 ·(x+2)(x-2) x =2 (x+2)=2x+4.当 x=1时,原式=2×1+4=6. 4. 原 式 = (a-3)2 a(a-2)÷ a-2 a-2- 1 a-2 = (a-3) 2 a(a-2)÷ a-3 a-2= (a-3)2 a(a-2) ·a-2 a-3= a-3 a . 当a=4时,原式= 4-3 4 = 1 4. 5. 原式= x+y(x+y)(x-y)- x-y (x+y)(x-y) · (x+y)2 2y = 2y (x+y)(x-y) ·(x+y) 2 2y = x+y x-y. 当x=3,y=2时, 原式=3+23-2=5. 6. 原式= (a+1)2-(5+2a) a+1 · a+1(a+2)2= a2+2a+1-5-2a a+1 · a+1 (a+2)2= a2-4 a+1 · a+1(a+2)2= (a+2)(a-2) a+1 · a+1(a+2)2= a-2 a+2.∵ a=9+|-2|- 12 -1 =3+2-2=3,∴ 原 式=3-23+2= 1 5. 7. 原式=a+3a+1÷ (a+3)2 a+1 = a+3 a+1 · a+1(a+3)2= 1 a+3. 要使分 式有意义,则a不能为-1、-3.∴ a=2.原式= 12+3= 1 5. 8. 原 式 = (x+1)(x-1)(x-1)2 - 1x-1 ÷ x 2 x-1 = x+1 x-1- 1 x-1 ·x-1x2 =x+1-1x-1 ·x-1x2 = xx-1· x-1 x2 = 1 x. 要使分式有意义,则x不能为1、0.∵ x 的取 值范围是-1≤x≤1,且为整数,∴ x=-1.当x=-1 时,原式= 1-1=-1. 9. 原式= 2a-3+ a (a+3)(a-3) · a+3 a(a-4)= 2 a-3+ 1 (a-3)(a-4)= 2(a-4)+1 (a-3)(a-4)= 2a-7 (a-3)(a-4).∵ a、 2、4为△ABC 的三边长,∴ 2<a<6.∴ 整数a为3、4、 5.∵ a-3≠0且a-4≠0,∴ a≠3且a≠4.∴ a=5.当 a=5时,原式= 2×5-7(5-3)×(5-4)= 3 2. 10. (1) A= (x+2)2 (x+2)(x-2)- x x-2= x+2 x-2- x x-2= 2 x-2. (2) 由x-1≥0,得x≥1;由x-3<0,得x<3,则 原不等式组的解集为1≤x<3.∵ x 为整数,∴ x=1或 x=2.要使分式有意义,则x+2≠0,x-2≠0,∴ x≠ ±2.∴ x=1.∴ 原式= 21-2=-2. 11. 原式= 2m+nm(m-n)+ m-nm(m-n) ·(m+n)(m-n)= 3m m(m-n) ·(m+n)(m-n)=3(m+n).∵ m+n=1, ∴ 原式=3×1=3. 12. 原 式 = 2x 2-6xy+5y2-(x2-2xy+y2) x-y ÷ x2-4y2 y-x = x2-4xy+4y2 x-y · -(x-y) x2-4y2 = (x-2y)2 x-y · 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 -(x-y) (x-2y)(x+2y)= 2y-x x+2y.∵ x 2 = - y 3 ,∴ 2y= -3x.∴ 原式=-3x-xx-3x = -4x -2x=2. 13. 原式= 5m+2- (m-2) ·m(m+2)3-m =5-m 2+4 m+2 · m(m+2) 3-m = (3+m)(3-m) m+2 ·m(m+2) 3-m =m (3+m)= m2+3m.∵ m2+3m-4=0,∴ m2+3m=4.∴ 原式= m2+3m=4. 专题五　一次函数的应用 1. (1) s 与 t 之 间 的 函 数 表 达 式 为 s = 15t(0≤t≤0.2), 20t-1(t>0.2). (2) 由(1),可知当0≤t≤0.2时,乙骑 行的速度为15km/h,而甲骑行的速度为18km/h,则甲在 乙的前面;当t>0.2时,乙骑行的路程为(20t-1)km,甲 骑行的路程为18tkm,若乙骑行在甲的前面,则18t< 20t-1,解得t>0.5.∴ 0.5h后乙骑行在甲的前面. 2. (1) 2;6.(2) 设y=kx+b.将(2,200)、(6,440)代入, 得 2k+b=200, 6k+b=440, 解得 k=60 , b=80. ∴ y=60x+80(2<x≤ 6).(3) ∵ 乙车的速度为(440-200)÷2=120(千米/时), ∴ 乙车到达A地所需时间为440÷120=113 (时).当x= 11 3 时,y=60× 11 3+80=300 ,∴ 当乙车到达A地时,甲车 距A地的路程为300千米. 3. (1) 60.(2) 由(1),可知y甲 与x之间的函数表达式为 y甲=60x(0≤x≤5);设y乙 与x 之间的函数表达式为 y乙=kx+b.根据题意,将(1,0)、(4,300)代入,得 k+b=0, 4k+b=300, 解得 k=100 , b=-100. ∴ y乙=100x-100(1≤ x≤4).(3) 根据题意,得60x=100x-100,解得x= 2.5.∴ 60x=60×2.5=150.∴ 点P 的坐标为(2.5, 150),点P 的实际意义是甲车出发2.5h后被乙车追上, 此时两车均行驶了150km. 运用函数图象的特殊点解决函数应用题 函数图象的特殊点包括图象与坐标轴的交点、两 条或多条函数图象的交点、分段函数图象的交点等, 理 解函数 特 殊 点 所 表 示 的 意 义,对 解 决 问 题 起 关 键作用.此外,我 们 还 能 根 据 函 数 图 象 的 特 殊 点 求 函数表达式. 4. (1) 设“绿心猕猴桃”每箱的售价是x 元,“红心猕猴 桃”每箱的售价是y 元.由题意,可得 y=x+25, 6x=5y-25, 解得 x=100, y=125. ∴ “绿心猕猴桃”每箱的售价是100元,“红心猕 猴桃”每箱的售价是125元.(2) 设“绿心猕猴桃”购进 a箱,则“红心猕猴桃“购进(21-a)箱,利润为w 元.由题 意,可得w=(100-80)a+(125-100)(21-a)=-5a+ 525.∵-5<0,∴ w 随a的增大而减小.∵ 要求总进价 不高于2000元,∴ 80a+100(21-a)≤2000,解得a≥ 5.∴ 当a=5时,w 取得最大值,此时w=-5×5+525= 500,21-a=16.∴ 购进“绿心猕猴桃”5箱,购进“红心猕 猴桃”16箱时,利润最大,最大利润是500元. 5. (1) 设每盆A种花卉的种植费用为x元,每盆B种花 卉的种植费用为y元.根据题意,得 3x+4y=330, 4x+3y=300, 解得 x=30, y=60. ∴ 每盆A种花卉的种植费用为30元,每盆B种 花卉的种植费用为60元.(2) 设种植A种花卉m 盆,则 种植B种花卉(400-m)盆,种植两种花卉的总费用为 w 元.根据题意,得(1-70%)m+(1-90%)(400-m)≤ 80,解得 m≤200.根据题意,得 w=30m+60(400- m)=-30m+24000.∵ -30<0,∴ w 随m 的增大而减 小.∴ 当m=200时,w 取得最小值,此时w=-30× 200+24000=18000.此时A种花卉需种植200盆,B种 花卉需种植400-200=200(盆).∴ 种植A、B两种花卉 各200盆,能使今年该项的种植总费用最低,最低费用为 18000元. 6. (1) 设篮球的单价为x 元,排球的单价为y 元.由题 意,可得 2x+y=170, 5x+2y=400, 解得 x=60, y=50. ∴ 篮球的单价为 60元,排球的单价为50元.(2) ① 由题意,可得w= 60m+50(100-m)=10m+5000.∵ 每种球至少买一个 且篮球个数不少于排球个数的3倍,∴ m≥1,100-m≥ 1且m≥3(100-m),解得75≤m≤99,即w 关于m 的函 数表达式为w=10m+5000(75≤m≤99).② ∵ w= 10m+5000,10>0,∴ w 随 m 的增大而增大.∵ 75≤ m≤99,∴ 当m=75时,w 取得最小值,此时w=10× 75+5000=5750,100-m=25,即总费用最低的购买方案 为购买篮球75个,排球25个,最低费用为5750元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈