专题3 利用勾股定理解决最短路径问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

10 ∴ ∠BAF=∠CAF=60°.∵ AB=AF=AC,∴ △ABF 和△ACF 都是等边三角形.∴ FA=FC,∠FCA= ∠FAB=∠AFC=60°.由(2),可知△DBA≌△EAC, ∴ ∠BAD = ∠ACE,AD =CE.∴ 易 得 ∠FAD = ∠FCE.∴ △FAD≌△FCE.∴ DF=EF,∠DFA= ∠EFC.∴ ∠DFE = ∠DFA + ∠AFE = ∠EFC + ∠AFE=∠AFC=60°.∴ △DEF 是等边三角形. 6. (1) CE;CF;∠CDE;∠CBF.(2) 过点C分别作AM、 AN 的垂线,垂足分别为E、F.∵ AC平分∠MAN,CE⊥ AM,CF⊥AN,∴ CE=CF,∠CEA+∠CFA=180°. ∴ ∠MAN+∠ECF=180°.∵ ∠MAN+∠DCB=180°, ∴ ∠ECF = ∠DCB.∴ 易 得 ∠ECD = ∠FCB.又 ∵ ∠CED=∠CFB=90°,∴ △CED≌△CFB.∴ CD= CB.(3) AB-AD=AC.过点C分别作AM、AN 的垂线, 垂足分别为E、F.∵ ∠MAN=120°,AC 平分∠MAN, ∴ ∠EAC=∠FAC=60°.∴ AC=2AF=2AE.由(2),知 △CED≌△CFB,∴ ED=FB.∴ AB-AD=AF+ FB-AD=AF+ED-AD=AF+AE=2AF=AC,即 AB-AD=AC.(4) 6. 7. (1) EF=BE+DF.(2) 成立.如图,延长EB 到点G, 使 BG =DF,连 结 AG.∵ ∠ABC+ ∠D =180°, ∠ABG+∠ABC=180°,∴ ∠ABG=∠D.∵ 在△ABG 和△ADF 中, AB=AD, ∠ABG=∠D, BG=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG ≌ △ADF. ∴ AG=AF,∠1=∠2.∵ ∠EAF=12∠BAD ,∴ ∠2+ ∠3=12∠BAD.∴ ∠1+∠3=12∠BAD=∠EAF ,即 ∠GAE=∠EAF.又∵ AE=AE,∴ △AEG≌△AEF. ∴ EG=EF.∵ EG=BE+BG,∴ EF=BE+DF. 第7题 专题三　利用勾股定理 解决最短路径问题 1. D 2. C 3. B 解析:将正方体的前面、右面展开如图所示,过点B 作BD⊥AC 于点D,则AD=4,BD=3.∴ 点A、B 之间 的最短路程d=AB= 32+42=5. 第3题 求立体图形表面上的最短路径问题 解决这类问题的一般步骤:(1) 展开:将立体图形 展开为平面图形(注意只需展开包含相关点的面),可 能存在多种展开法;(2) 定点:确定相关点的位置; (3) 连线:连结相关点,构造直角三角形;(4) 计算:利 用勾股定理求解. 4. C 解析:如图,将长方体的侧面展开,根据两点之间线 段最短,连结AB',则AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B'= 6cm.在Rt△AA'B'中,AB'= 82+62=10(cm). 第4题 5. B 6. 13 7. 10 解析:如图,将面MBCE、面ECGI和面IGNH 展 开在同一平面内,连结 MN.在 Rt△MHN 中,HN= CE=6,HM=EM+IE+IH=BC+CG+CF=8, ∴ MN= MH2+HN2= 82+62=10.注意由于展开 的方法不同,有不同的路径,比较选出最短路径长. 第7题 8. C 9. D 10. A 11. C 解析:如图,将这个圆柱的侧面展开为一个矩形,连 结AB.在Rt△ABC 中,AC=20尺,BC=5×3=15(尺), ∴ AB= AC2+BC2= 202+152=25(尺).∴ 葛藤 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 的长度是25尺. 第11题 12. 15 13. 13 解析:如图,作点A 关于直线l的对称点E,则 CE=AC=5km.连结BE,延长BD,作EF∥CD,交BD 的延长线于点F,则线段BE 的长度即为所求.由题意,可 知EF=CD=5km,BF=BD+DF=BD+CE=7+5= 12(km),∴ BE = EF2+BF2 = 52+122 = 13(km).∴ 铺设的管道最短是13km. 第13题 专题四　分式的化简与求值 1. 原 式 = (x+2)(x-2) (x-2)2 ·2(x-2) x(x+2)- 1 x = 2 x - 1 x= 1 x. 2.原 式 = a 2-b2 a ÷ a2 a+ b2-2ab a = a 2-b2 a ÷ a2-2ab+b2 a = (a+b)(a-b) a · a(a-b)2= a+b a-b. 3. 原式= 2xx-2 ·(x+2)(x-2) x =2 (x+2)=2x+4.当 x=1时,原式=2×1+4=6. 4. 原 式 = (a-3)2 a(a-2)÷ a-2 a-2- 1 a-2 = (a-3) 2 a(a-2)÷ a-3 a-2= (a-3)2 a(a-2) ·a-2 a-3= a-3 a . 当a=4时,原式= 4-3 4 = 1 4. 5. 原式= x+y(x+y)(x-y)- x-y (x+y)(x-y) · (x+y)2 2y = 2y (x+y)(x-y) ·(x+y) 2 2y = x+y x-y. 当x=3,y=2时, 原式=3+23-2=5. 6. 原式= (a+1)2-(5+2a) a+1 · a+1(a+2)2= a2+2a+1-5-2a a+1 · a+1 (a+2)2= a2-4 a+1 · a+1(a+2)2= (a+2)(a-2) a+1 · a+1(a+2)2= a-2 a+2.∵ a=9+|-2|- 12 -1 =3+2-2=3,∴ 原 式=3-23+2= 1 5. 7. 原式=a+3a+1÷ (a+3)2 a+1 = a+3 a+1 · a+1(a+3)2= 1 a+3. 要使分 式有意义,则a不能为-1、-3.∴ a=2.原式= 12+3= 1 5. 8. 原 式 = (x+1)(x-1)(x-1)2 - 1x-1 ÷ x 2 x-1 = x+1 x-1- 1 x-1 ·x-1x2 =x+1-1x-1 ·x-1x2 = xx-1· x-1 x2 = 1 x. 要使分式有意义,则x不能为1、0.∵ x 的取 值范围是-1≤x≤1,且为整数,∴ x=-1.当x=-1 时,原式= 1-1=-1. 9. 原式= 2a-3+ a (a+3)(a-3) · a+3 a(a-4)= 2 a-3+ 1 (a-3)(a-4)= 2(a-4)+1 (a-3)(a-4)= 2a-7 (a-3)(a-4).∵ a、 2、4为△ABC 的三边长,∴ 2<a<6.∴ 整数a为3、4、 5.∵ a-3≠0且a-4≠0,∴ a≠3且a≠4.∴ a=5.当 a=5时,原式= 2×5-7(5-3)×(5-4)= 3 2. 10. (1) A= (x+2)2 (x+2)(x-2)- x x-2= x+2 x-2- x x-2= 2 x-2. (2) 由x-1≥0,得x≥1;由x-3<0,得x<3,则 原不等式组的解集为1≤x<3.∵ x 为整数,∴ x=1或 x=2.要使分式有意义,则x+2≠0,x-2≠0,∴ x≠ ±2.∴ x=1.∴ 原式= 21-2=-2. 11. 原式= 2m+nm(m-n)+ m-nm(m-n) ·(m+n)(m-n)= 3m m(m-n) ·(m+n)(m-n)=3(m+n).∵ m+n=1, ∴ 原式=3×1=3. 12. 原 式 = 2x 2-6xy+5y2-(x2-2xy+y2) x-y ÷ x2-4y2 y-x = x2-4xy+4y2 x-y · -(x-y) x2-4y2 = (x-2y)2 x-y · 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 专题三　利用勾股定理解决最短路径问题 利用勾股定理与最短路径解决问题,一般是通过展开图进行计算的,首先将立体图形展开成 平面图形;其次确定立体图形上的点在展开图中的位置,确定直角三角形;然后分析直角三角形 的三边长,利用勾股定理求解.由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况,因此要注意 分类讨论思想的应用. 类型一 在同一平面上的最短路径 1. 如图,小华与同学到公园去玩探宝游戏,按 照探宝图,他们从门口A 处出发先往东走 8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走 3km,再折向北走到6km处往东拐,仅往东 走了1km,就找到了宝藏,则门口A 处到藏 宝点B 的直线距离是 ( ) A. 20km B. 14km C. 11km D. 10km 第1题 第2题 2. 如图,小蓓要赶上去实践活动基地的校车, 她在点A 处知道校车自点B 处沿x轴向原 点O的方向匀速驶来,她立即从A 处搭一辆 出租车,去赶校车.若点A 的坐标为(2,3),点 B的坐标为(8,0),校车行驶速度与出租车相 同,则小蓓最快赶上校车的坐标为 ( ) A. (3,0) B. (3.5,0) C. 17 4 ,0 D. (5,0) 类型二 在不同平面的最短距离问题 3. ★如图,一个棱长为3的正方体,它是由若干 个棱长为1的小正方体搭成的.如果一只蚂 蚁从点A 爬到点B,那么估计点A、B 之间 的最短路程d的值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第3题 第4题 4. 如图,有一个长方体.如果用一根细线从 点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B, 那么所用细线最短需要 ( ) A. 12cmB. 11cm C. 10cm D. 9cm 5. 如图所示为三级台阶,每一级的长、宽、高分 别为8dm、3dm、2dm.A 和B 是这个台阶 上两个相对的端点.若点A 处有一只蚂蚁, 想到点B 处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台 阶面爬行到点B 的最短路程为 ( ) A. 15dmB. 17dm C. 20dm D. 25dm 第5题 第6题 6. 如图,四边形ABCD 是矩形地面,长AB= 10m,宽AD=5m,中间竖有一堵墙,高MN= 1m.一只蜘蛛从点A 爬到点C,它必须翻过 中间那堵墙,则它至少要爬 m的 路程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 34 答案讲解 7. 如图,有一个大长方体盒子,其中 AB=9,BC=3,M 为AB 上靠近点 A 的三等分点.在大长方体盒子上 有一个小长方体盒子,EC=6,CG=1,CF= 4,一只蚂蚁要沿着这两个长方体盒子的表 面从点M 爬行到点N,它爬行的最短路径 长为 . 第7题 类型三 曲面上的最短路径问题 第8题 8. (金华中考)如图,圆柱的底面直径 为AB,高为AC.一只蚂蚁在点C 处,沿圆柱的侧面爬到点B 处.现 将圆柱侧面沿AC 剪开,在侧面展 开图上画出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是 ( ) A B C D 9. 如图,有一个圆柱形油罐,其底面周长是 12m,高AB 为5m,现在要以A 为起点环 绕油罐表面建梯子,终点正好建在点A 的正 上方的点B 处,则梯子最短需要 ( ) A. 10m B. 11m C. 12m D. 13m 第9题 第10题 10. 如图,圆柱底面的周长为6dm,圆柱高为 4dm,在圆柱的侧面上,过点A 和点C 嵌 有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最 小为 ( ) A. 10dm B. 15dm C. 20dm D. 25dm 11. 新考向 数学文化 我国古代有这样一个 数学问题:“枯木一根直立在地上,高2丈, 周3尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其 顶,问葛藤之长几何?”题意:如图,把枯木 看作一个圆柱,因一丈是十尺,则该圆柱的 高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点B 处缠绕而上,且缠绕五周后其末端恰好到 达点A 处,则问题中葛藤的长度是 ( ) A. 15尺B. 20尺 C. 25尺 D. 30尺 第11题 第12题 答案讲解 12. 如图所示为某滑雪场U型场地的 示意图,该U型场地可以看作是一 个长方体去掉一个“半圆柱”而成, 中间可供滑行部分的截面是半径为3的半 圆,其边缘AB=CD=16.点E 在CD 上, CE=4,则从点A 滑到点E 的最短滑行路 程约为 .(π取3) 类型四 与轴对称相关的最短路径问题 答案讲解 13. 如图,直线l是一条河,A、B 两地 到直线l的距离AC 和BD 分别长 5km、7km,且CD=5km.若在直 线l上修建一个水泵站,向A、B 两地供水, 则铺设的管道最短是 km. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级