专题2 三角形全等模型归类-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

9 px+6可分解为两个一次因式的积,则整数p 的所有可 能值为±5、±7. 5. (1) 原式=2(a2-4a+4)=2(a-2)2.(2) 原式= (x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3). (3) ∵ 2a2+b2-4a-6b+11=0,∴ (2a2-4a+2)+ (b2-6b+9)=0.∴ 2(a-1)2+(b-3)2=0.∴ (a- 1)2=0,(b-3)2=0.∴ a=1,b=3.由三角形的三边关 系,可知3-1<c<3+1,即2<c<4.又∵ c为正整数, ∴ c=3.∴ △ABC的周长为1+3+3=7. 6. (1) 原式=x2+8x+16-16+12=(x+4)2-4=(x+ 4)2-22=(x+4+2)(x+4-2)=(x+6)(x+2).(2) 原 式=2(x2+2x)-1=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+ 1)2-3,∴ 当x=-1时,2x2+4x-1有最小值为-3. (3) a2-a+3<2a2-3a+5.理由:(a2-a+3)-(2a2- 3a+5)=a2-a+3-2a2+3a-5=-a2+2a-2= -(a2-2a+1-1)-2=-(a-1)2-1.∵ -(a-1)2≤ 0,∴ -(a-1)2-1<0.∴ a2-a+3<2a2-3a+5. 7. (1) 令x-y=C,则原式=1+4C+4C2=(1+2C)2= (1+2x-2y)2.(2) 令x2-6x=B,则原式=B(B+ 18)+81=B2+18B+81=(B+9)2=(x2-6x+9)2= (x-3)4.(3) 原式=(n2+3n+2)(n2+3n)+1.令n2+ 3n=D,则原式=(D+2)·D+1=D2+2D+1=(D+ 1)2=(n2+3n+1)2.∵ n为正整数,∴ n2+3n+1为正 整数.∴ 代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是 某个整数的平方. 专题二　三角形全等模型归类 1. ∵ AD=CF,∴ AD+CD=CF+CD,即AC=DF.在 △ABC 和△DEF 中, AB=DE, ∠BAC=∠EDF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △DEF.∴ ∠B=∠E. 2. 答 案 不 唯 一,如 已 知 ① ②,求 ③.∵ BC=AD, ∠ABC = ∠BAD,AB =BA,∴ △ABC ≌ △BAD. ∴ AC=BD. 3. (1) PB=PA+PC.理由:在BP 上截取BF=PC,连 结AF.∵ △ABC、△ADE 都是等边三角形,∴ AB= AC,AD =AE,∠BAC= ∠DAE=60°.∴ ∠BAC+ ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD,即 ∠DAB = ∠EAC. ∴ △ABD≌△ACE.∴ ∠ABD=∠ACE.又∵ AB= AC,BF =CP,∴ △BAF ≌ △CAP.∴ AF =AP, ∠BAF= ∠CAP.∴ 易 得 ∠BAC = ∠PAF =60°. ∴ △AFP 是等边三角形.∴ PF=PA.∴ PB=PF+ BF=PA+PC.(2) PC=PA+PB. 与旋转有关的几何类比探究 与旋转有关的几何类比探究题,涉及的知识点一 般有旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角 形的性质与判定、四边形的性质等.此类题综合性较 强,难度较大,通常类比上一问思路,迁移解决下一 问.解决问题时要对比前后条件的变化,寻找并利用不 变特征,考虑相关几何结构解决问题.若属于类比探究 常见结构,则调用结构类比解决;若不属于常见结构, 则依据不变特征大胆猜测,并尝试、验证. 4. (1) ∵ CG⊥AD,BG⊥BC,∠ACB=90°,∴ ∠CEA= ∠CBG= ∠ACD =90°.∴ ∠BCG + ∠ACE =90°, ∠ACE+∠EAC=90°.∴ ∠BCG=∠EAC.在△CBG 和 △ACD 中, ∠BCG=∠CAD, CB=AC, ∠CBG=∠ACD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBG ≌ △ACD. (2) ∠BDF= ∠CDE.由 (1),知 △CBG≌ △ACD, ∴ BG=CD,∠G = ∠ADC.∵ D 为 BC 的 中 点, ∴ CD=BD.∴ BD=BG.∵ CB=CA,∠ACB=90°, ∴ ∠CBA=45°.∵ ∠CBG=90°,∴ ∠FBG=∠FBD= 45°.在 △FBD 和 △FBG 中, BD=BG, ∠FBD=∠FBG, BF=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FBD≌△FBG.∴ ∠BDF=∠G.∴ ∠BDF= ∠ADC,即∠BDF=∠CDE. 5. (1) DE=BD+CE. 解析:∵ ∠BDA=∠BAC= ∠AEC=90°,∴ ∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA= 90°.∴ ∠DBA=∠EAC.∵ AB=AC,∴ △DBA≌ △EAC.∴ AD=CE,BD=AE.∴ DE=AE+AD= BD+CE. (2) 成立.∵ ∠BDA=∠BAC=∠AEC=α,∴ ∠BAD+ ∠EAC= ∠BAD + ∠DBA =180°-α.∴ ∠DBA = ∠EAC.∵ AB=AC,∴ △DBA≌△EAC.∴ BD=AE, AD=CE.∴ DE=AE+AD=BD+CE.(3) △DEF 是等 边三 角 形.理 由:∵ α =120°,AF 平 分 ∠BAC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 ∴ ∠BAF=∠CAF=60°.∵ AB=AF=AC,∴ △ABF 和△ACF 都是等边三角形.∴ FA=FC,∠FCA= ∠FAB=∠AFC=60°.由(2),可知△DBA≌△EAC, ∴ ∠BAD = ∠ACE,AD =CE.∴ 易 得 ∠FAD = ∠FCE.∴ △FAD≌△FCE.∴ DF=EF,∠DFA= ∠EFC.∴ ∠DFE = ∠DFA + ∠AFE = ∠EFC + ∠AFE=∠AFC=60°.∴ △DEF 是等边三角形. 6. (1) CE;CF;∠CDE;∠CBF.(2) 过点C分别作AM、 AN 的垂线,垂足分别为E、F.∵ AC平分∠MAN,CE⊥ AM,CF⊥AN,∴ CE=CF,∠CEA+∠CFA=180°. ∴ ∠MAN+∠ECF=180°.∵ ∠MAN+∠DCB=180°, ∴ ∠ECF = ∠DCB.∴ 易 得 ∠ECD = ∠FCB.又 ∵ ∠CED=∠CFB=90°,∴ △CED≌△CFB.∴ CD= CB.(3) AB-AD=AC.过点C分别作AM、AN 的垂线, 垂足分别为E、F.∵ ∠MAN=120°,AC 平分∠MAN, ∴ ∠EAC=∠FAC=60°.∴ AC=2AF=2AE.由(2),知 △CED≌△CFB,∴ ED=FB.∴ AB-AD=AF+ FB-AD=AF+ED-AD=AF+AE=2AF=AC,即 AB-AD=AC.(4) 6. 7. (1) EF=BE+DF.(2) 成立.如图,延长EB 到点G, 使 BG =DF,连 结 AG.∵ ∠ABC+ ∠D =180°, ∠ABG+∠ABC=180°,∴ ∠ABG=∠D.∵ 在△ABG 和△ADF 中, AB=AD, ∠ABG=∠D, BG=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG ≌ △ADF. ∴ AG=AF,∠1=∠2.∵ ∠EAF=12∠BAD ,∴ ∠2+ ∠3=12∠BAD.∴ ∠1+∠3=12∠BAD=∠EAF ,即 ∠GAE=∠EAF.又∵ AE=AE,∴ △AEG≌△AEF. ∴ EG=EF.∵ EG=BE+BG,∴ EF=BE+DF. 第7题 专题三　利用勾股定理 解决最短路径问题 1. D 2. C 3. B 解析:将正方体的前面、右面展开如图所示,过点B 作BD⊥AC 于点D,则AD=4,BD=3.∴ 点A、B 之间 的最短路程d=AB= 32+42=5. 第3题 求立体图形表面上的最短路径问题 解决这类问题的一般步骤:(1) 展开:将立体图形 展开为平面图形(注意只需展开包含相关点的面),可 能存在多种展开法;(2) 定点:确定相关点的位置; (3) 连线:连结相关点,构造直角三角形;(4) 计算:利 用勾股定理求解. 4. C 解析:如图,将长方体的侧面展开,根据两点之间线 段最短,连结AB',则AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B'= 6cm.在Rt△AA'B'中,AB'= 82+62=10(cm). 第4题 5. B 6. 13 7. 10 解析:如图,将面MBCE、面ECGI和面IGNH 展 开在同一平面内,连结 MN.在 Rt△MHN 中,HN= CE=6,HM=EM+IE+IH=BC+CG+CF=8, ∴ MN= MH2+HN2= 82+62=10.注意由于展开 的方法不同,有不同的路径,比较选出最短路径长. 第7题 8. C 9. D 10. A 11. C 解析:如图,将这个圆柱的侧面展开为一个矩形,连 结AB.在Rt△ABC 中,AC=20尺,BC=5×3=15(尺), ∴ AB= AC2+BC2= 202+152=25(尺).∴ 葛藤 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 30 专题二　三角形全等模型归类 全等三角形的基本模型包括平移、对称、旋转和混合四种模型,除此之外一线三等角、对角互 补和半角模型是全等模型中较复杂的几种,往往需要根据题干条件,添加辅助线,构造三角形全 等解决问题,其本质是找角、定线、构全等. 类型一 平移模型 1. (淮安中考)如图,点A、D、C、F 在同一条直 线上,且 AD=CF,AB=DE,∠BAC= ∠EDF.求证:∠B=∠E. 第1题 类型二 对称模型 2. 新考法 开放题 (广安中考)如图,D 是 △ABC 外一点,连结BD、AD,AD 与BC 交 于点O.有下列三个等式:① BC=AD; ② ∠ABC=∠BAD;③ AC=BD.请从这 三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下 的一个作为结论,组成一个真命题,将你选 择的等式的序号填在下面对应的横线上,然 后对该真命题进行证明. 已知: , . 求证: . 第2题 类型三 旋转模型 答案讲解 3. ★如图,△ABC 和△ADE 都是等边 三角形. (1) 将△ADE 绕点A 旋转到图② 的位置时,连结BD、CE 相交于点P,连结 PA.猜想线段PA、PB、PC 之间的数量关 系,并说明理由. (2) 将△ADE 绕点A 旋转到图③的位置 时,连结BD、CE 相交于点P,连结PA.猜 想线段PA、PB、PC 之间的数量关系,直接 写出结论,不需要证明. 第3题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 拍 照 批 改 31 类型四 混合模型 4. 如 图 ①,△ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∠ACB=90°,AC=BC,D 是BC 边上任意 一点(不与点B、C 重合),连结AD,CF⊥ AD 于点E,交AB 于点F,BG⊥BC,交CF 的延长线于点G. (1) 求证:△CBG≌△ACD. (2) 如图②,当D 为BC 的中点时,其他条件 不变,连结DF,则∠BDF=∠CDE 吗? 若 相等,请写出证明过程;若不相等,请说明 理由. 第4题 类型五 一线三等角模型 答案讲解 5. 新考法 探究题 在直线m 上依 次取互不重合的三个点D、A、E, 在直线m 上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=∠BAC=∠AEC=α. (1) 如图①,当α=90°时,猜想线段DE、 BD、CE 之间的数量关系: . (2) 如图②,当0°<α<180°时,问题(1)中的 结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明; 若不成立,请说明理由. (3) 如图③,当α=120°时,F 为∠BAC 平分 线上的一点,且AB=AF,连结FB、FD、FE、 FC.试判断△DEF 的形状,并说明理由. 第5题 类型六 对角互补模型 答案讲解 6. 小明在数学课外兴趣小组学习中 遇到一道题:如图①,∠MAN+ ∠DCB=180°,AC 平分∠MAN, 点B、D 分别在AN、AM 所在直线上. (1) 小明猜想:CD=CB,以下是小明的证明 过程,有两个步骤还空着,请你补充完整. 证明:过点C 分别作AM、AN 的垂线,垂足 分别为E、F. ∵ AC 平分∠MAN, ∴ = .(角平分线上一点 到这个角两边的距离相等) ∵ ∠MAN+∠DCB=180°,四边形ABCD 的内角和等于360°, ∴ ∠ADC+∠CBF=180°. 又∵ ∠ADC+∠CDE=180°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 ∴ = . 又∵ ∠CED=∠CFB=90°, ∴ △CED≌△CFB. ∴ CD=CB. (2) 如图②,当∠DCB 绕点C 逆时针旋转, CD 交MA 的延长线于点D,CB 交射线AN 于点B 时,请证明(1)中的结论CD=CB 依 然成立. (3) 如图③,若∠MAN=120°,写出线段 AB、AD、AC 之间的数量关系,并证明. (4) 如图④,△ABC 为等边三角形,边长为 4,O 为BC 的中点,∠EOF=120°,其两边分 别交 AB 和CA 的延长线于点E、F,则 AE-AF= . 第6题 类型七 半角模型 答案讲解 7. (1) 如图①,在四边形ABCD 中, AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F 分 别 是 边 BC、CD 上 的 点,且 ∠EAF=12∠BAD. 请直接写出线段EF、 BE、DF 之间的数量关系: . (2) 如图②,在四边形ABCD 中,若AB= AD,∠B+∠D=180°,E、F 分别是边BC、 CD 上的点,且∠EAF=12∠BAD ,则(1)中 的结论是否仍然成立? 若成立,请写出证明 过程;若不成立,请说明理由. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级