专题1 选择合适的方法因式分解-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

27 专题一　选择合适的方法因式分解 因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式,分解因式必须要彻底,即分解到每一个 因式都不能再分解为止.首项有负先提负,各项有“公”先提“公”(公因式),一提(公因式)二套(公 式)要记牢,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”. 类型一 运用提公因式法因式分解 1. 将下列各式进行因式分解. (1) y(2a-b)+x(b-2a); (2) (a-3)2+2a-6; (3) x(x+y)(x-y)-x(x+y)2. 类型二 运用公式法因式分解 2. 将下列各式进行因式分解. (1) -16x2+y2; (2) (a2+1)2-4a2; (3) (x2+2)2-6(x2+2)+9. 类型三 先提公因式后运用公式法因式分解 3. 将下列各式进行因式分解. (1) xy2-4x; (2) 3x2-18xy+27y2; (3) a2(x-y)+4(y-x); (4) 9a2(x+2y)-x-2y. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 28 类型四 运用特殊方法因式分解 (一) 十字相乘法 4. 阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相 反的变形. 由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用 这个式子可以将某些二次项系数是1的二 次三项式分解因式. 例如:将式子x2+3x+2分解因式. 分析:这个式子的常数项2=1×2,一次项系 数3=1+2. 解答:x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2= (x+1)(x+2). 请仿照上面的方法,解答以下问题: (1) 分解因式:x2+5x-24= ; (2) 若x2+px+6可分解为两个一次因式 的积,求整数p的所有可能值. (二) 分组分解法 答案讲解 5. 常见的因式分解的方法有提公因式 法、公式法及十字相乘法,而有的多 项式既没有公因式,也不能直接运 用公式分解因式,但是某些项通过适当的调 整能构成可分解的一组,用分组来分解一个 多项式的因式,这种方法叫做分组分解法. 如x2+2xy+y2-16,我们细心观察这个式 子就会发现,前三项符合完全平方公式,分 解后与后面的部分结合起来又符合平方差 公式,可以继续分解,过程为x2+2xy+ y2-16=(x+y)2-42=(x+y+4)(x+ y-4).它并不是一种独立的因式分解的方 法,而是为提公因式或运用公式分解因式创 造条件. 根据以上内容,解答下列问题: (1) 分解因式:2a2-8a+8; (2) 请尝试用上面的方法分解因式:x2- y2+3x-3y; (3) 已知△ABC 的三边长a、b、c都是正整 数,且满足2a2+b2-4a-6b+11=0,求 △ABC 的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 29 (三) 配方法 6. 阅读材料: 利用完全平方公式可以将一些形如ax2+ bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+ n的形式,我们把这样的变形方法叫做多项 式ax2+bx+c(a≠0)的配方法,利用多项 式的配方法及平方差公式能对一些多项式 进行因式分解. 例如:x2+6x-7=x2+6x+9-9-7= (x+3)2-16=(x+3)2-42=(x+3+ 4)(x+3-4)=(x+7)(x-1). 根据以上材料,解答下列问题: (1) 分解因式(利用配方法):x2+8x+12; (2) 求多项式2x2+4x-1的最小值; (3) 比较a2-a+3与2a2-3a+5的大小, 并说明理由. (四) 换元法 答案讲解 7. 整体思想 阅读材料: 将(x+y)2+2(x+y)+1进行因 式分解. 解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原 式=A2+2A+1=(A+1)2. 再将“A”还原,原式=(x+y+1)2. 将多项式中某些部分看作一个整体,用一个 新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分 解的多项式的结构,而且能使式子的特点更 加明显,便于观察如何进行因式分解,我们 把这种因式分解的方法称为“换元法”. 根据以上材料,解答下列问题: (1) 分解因式:1+4(x-y)+4(x-y)2; (2) 分解因式:(x2-6x)(x2-6x+18)+81; (3) 求证:若n 为正整数,则代数式(n+ 1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某个整 数的平方. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 8 为4元/千克,乙种水果的进价为5元/千克.(2) 设购进 甲种水果m 千克,则购进乙种水果(150-m)千克,利润 为w 元.由题意,得w=(6-4)m+(8-5)(150-m)= -m+450.∵ 甲种水果的质量不低于乙种水果质量的 2倍,∴ m≥2(150-m),解得m≥100.∵ -1<0,则w 随m 的增大而减小,∴ 当m=100时,w 最大,w 的最大 值=-100+450=350,则150-m=50.∴ 购进甲种水果 100千克,乙种水果50千克才能获得最大利润,最大利润 为350元. 20. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠A= 90°,OB =OD,∴ ∠MDO = ∠NBO,∠DMO = ∠BNO.∵ MN 是线段BD 的垂直平分线,∴ MN⊥ BD.在 △DMO 和 △BNO 中, ∠MDO=∠NBO, ∠DMO=∠BNO, OD=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DMO≌△BNO.∴ OM=ON.又∵ OB=OD, ∴ 四边形BMDN 是平行四边形.∵ MN⊥BD,∴ 四边 形BMDN 是菱形.(2) 由(1)知,四边形BMDN 是菱 形.设MD=MB=x,则AM=8-x.在Rt△AMB 中,由 勾股定理,得x2=(8-x)2+42,解得x=5.∴ MB= 5.∴ 四边形BMDN 的周长为5×4=20. 21. (1) 甲班得分为3分的人数为20-(4+8+4)=4,补 全统计图如图所示.(2) a=5×4+4×8+3×4+2×420 = 3.6,b=5.(3) 甲班成绩更好.理由:在甲、乙两班平均得 分相等的前提下,甲班成绩的中位数大于乙班,即甲班高 分人数多于乙班,∴ 甲班成绩更好.(合理即可) 第21题 22. (1) 点E 在这个反比例函数的图象上.理由:∵ 一次 函数y=kx+b(k>0)的图象与反比例函数y= 8 x (x> 0)的图象交于点A,∴ 设点A 的坐标为 m,8m .∵ 点C 关于直线AD 的对称点为E,∴ 易得AD 垂直平分线段 CE.设CE 交AD 于点H,则CH=EH.∴ CE=2CH= 2m.∵ BC=CD,OC⊥BD,∴ OB=OD.∴ 易得OC= 1 2AD= 4 m.∵ AD⊥x 轴于点D,∴ 易得CE∥x 轴. ∴ 点E 的坐标为 2m,4m .∵ 2m×4m=8 ,∴ 点E 在 这个反比例函数的图象上.(2) ① ∵ 四边形ACDE 为正 方形,∴ AD=CE,AD 垂直平分CE.∴ CH=12AD. 由 (1),可知CH=m,AD=8m.∴ m=12× 8 m ,即m2= 4.∴ m=2(负值舍去).∴ A(2,4),C(0,2).把A(2,4)、 C(0,2)代入y=kx+b,得 2k+b=4, b=2, 解得 k=1, b=2. ② 由 题意,易得|PE-PB|=|PE-PD|≤DE,即当P 为ED 的延长线与y轴的交点时,|PE-PB|有最大值.由①知, A(2,4)、C(0,2),∴ D(2,0)、E(4,2).设直线DE 对应的 函数 表 达 式 为 y =ax +n,则 2a+n=0, 4a+n=2, 解 得 a=1, n=-2. ∴ 直线DE 对应的函数表达式为y=x-2.当 x=0时,y=-2.∴ 点P 的坐标为(0,-2).故当|PE- PB|最大时,点P 的坐标为(0,-2). 2 整合提优 专题一　选择合适的方法因式分解 1. (1) 原式=y(2a-b)-x(2a-b)=(2a-b)(y- x).(2) 原式=(a-3)2+2(a-3)=(a-3)(a-3+2)= (a-3)(a-1).(3) 原式=x(x+y)[x-y-(x+y)]= x(x+y)(x-y-x-y)=-2xy(x+y). 2. (1) 原式=y2-16x2=y2-(4x)2=(y+4x)(y- 4x).(2) 原式=(a2+1)2-(2a)2=(a2+2a+1)(a2- 2a+1)=(a+1)2(a-1)2.(3) 原式=[(x2+2)-3]2= [(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2. 3. (1) 原式=x(y2-4)=x(y+2)(y-2).(2) 原式= 3(x2-6xy+9y2)=3(x-3y)2.(3) 原式=a2(x-y)- 4(x-y)=(x-y)(a2-4)=(x-y)(a+2)(a-2). (4) 原式=9a2(x+2y)-(x+2y)=(x+2y)(9a2- 1)=(x+2y)(3a+1)(3a-1). 4. (1) (x-3)(x+8).(2) ∵ 6=-3×(-2),6=3×2, 6=-1×(-6),6=1×6,∴ p=-3+(-2)=-5,p= 3+2=5,p=-1+(-6)=-7,p=1+6=7.∴ 若x2+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 px+6可分解为两个一次因式的积,则整数p 的所有可 能值为±5、±7. 5. (1) 原式=2(a2-4a+4)=2(a-2)2.(2) 原式= (x+y)(x-y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3). (3) ∵ 2a2+b2-4a-6b+11=0,∴ (2a2-4a+2)+ (b2-6b+9)=0.∴ 2(a-1)2+(b-3)2=0.∴ (a- 1)2=0,(b-3)2=0.∴ a=1,b=3.由三角形的三边关 系,可知3-1<c<3+1,即2<c<4.又∵ c为正整数, ∴ c=3.∴ △ABC的周长为1+3+3=7. 6. (1) 原式=x2+8x+16-16+12=(x+4)2-4=(x+ 4)2-22=(x+4+2)(x+4-2)=(x+6)(x+2).(2) 原 式=2(x2+2x)-1=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+ 1)2-3,∴ 当x=-1时,2x2+4x-1有最小值为-3. (3) a2-a+3<2a2-3a+5.理由:(a2-a+3)-(2a2- 3a+5)=a2-a+3-2a2+3a-5=-a2+2a-2= -(a2-2a+1-1)-2=-(a-1)2-1.∵ -(a-1)2≤ 0,∴ -(a-1)2-1<0.∴ a2-a+3<2a2-3a+5. 7. (1) 令x-y=C,则原式=1+4C+4C2=(1+2C)2= (1+2x-2y)2.(2) 令x2-6x=B,则原式=B(B+ 18)+81=B2+18B+81=(B+9)2=(x2-6x+9)2= (x-3)4.(3) 原式=(n2+3n+2)(n2+3n)+1.令n2+ 3n=D,则原式=(D+2)·D+1=D2+2D+1=(D+ 1)2=(n2+3n+1)2.∵ n为正整数,∴ n2+3n+1为正 整数.∴ 代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是 某个整数的平方. 专题二　三角形全等模型归类 1. ∵ AD=CF,∴ AD+CD=CF+CD,即AC=DF.在 △ABC 和△DEF 中, AB=DE, ∠BAC=∠EDF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △DEF.∴ ∠B=∠E. 2. 答 案 不 唯 一,如 已 知 ① ②,求 ③.∵ BC=AD, ∠ABC = ∠BAD,AB =BA,∴ △ABC ≌ △BAD. ∴ AC=BD. 3. (1) PB=PA+PC.理由:在BP 上截取BF=PC,连 结AF.∵ △ABC、△ADE 都是等边三角形,∴ AB= AC,AD =AE,∠BAC= ∠DAE=60°.∴ ∠BAC+ ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD,即 ∠DAB = ∠EAC. ∴ △ABD≌△ACE.∴ ∠ABD=∠ACE.又∵ AB= AC,BF =CP,∴ △BAF ≌ △CAP.∴ AF =AP, ∠BAF= ∠CAP.∴ 易 得 ∠BAC = ∠PAF =60°. ∴ △AFP 是等边三角形.∴ PF=PA.∴ PB=PF+ BF=PA+PC.(2) PC=PA+PB. 与旋转有关的几何类比探究 与旋转有关的几何类比探究题,涉及的知识点一 般有旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角 形的性质与判定、四边形的性质等.此类题综合性较 强,难度较大,通常类比上一问思路,迁移解决下一 问.解决问题时要对比前后条件的变化,寻找并利用不 变特征,考虑相关几何结构解决问题.若属于类比探究 常见结构,则调用结构类比解决;若不属于常见结构, 则依据不变特征大胆猜测,并尝试、验证. 4. (1) ∵ CG⊥AD,BG⊥BC,∠ACB=90°,∴ ∠CEA= ∠CBG= ∠ACD =90°.∴ ∠BCG + ∠ACE =90°, ∠ACE+∠EAC=90°.∴ ∠BCG=∠EAC.在△CBG 和 △ACD 中, ∠BCG=∠CAD, CB=AC, ∠CBG=∠ACD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBG ≌ △ACD. (2) ∠BDF= ∠CDE.由 (1),知 △CBG≌ △ACD, ∴ BG=CD,∠G = ∠ADC.∵ D 为 BC 的 中 点, ∴ CD=BD.∴ BD=BG.∵ CB=CA,∠ACB=90°, ∴ ∠CBA=45°.∵ ∠CBG=90°,∴ ∠FBG=∠FBD= 45°.在 △FBD 和 △FBG 中, BD=BG, ∠FBD=∠FBG, BF=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FBD≌△FBG.∴ ∠BDF=∠G.∴ ∠BDF= ∠ADC,即∠BDF=∠CDE. 5. (1) DE=BD+CE. 解析:∵ ∠BDA=∠BAC= ∠AEC=90°,∴ ∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA= 90°.∴ ∠DBA=∠EAC.∵ AB=AC,∴ △DBA≌ △EAC.∴ AD=CE,BD=AE.∴ DE=AE+AD= BD+CE. (2) 成立.∵ ∠BDA=∠BAC=∠AEC=α,∴ ∠BAD+ ∠EAC= ∠BAD + ∠DBA =180°-α.∴ ∠DBA = ∠EAC.∵ AB=AC,∴ △DBA≌△EAC.∴ BD=AE, AD=CE.∴ DE=AE+AD=BD+CE.(3) △DEF 是等 边三 角 形.理 由:∵ α =120°,AF 平 分 ∠BAC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈