第19章 矩形、菱形与正方形1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

14 第19章　矩形、菱形与正方形1 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共24分) 1. 在菱形ABCD 中,如果∠B=110°,那么∠D 的度数是 ( ) A. 35° B. 70° C. 110° D. 130° 2. (陕西中考)下列条件中,能够判定▱ABCD 为矩形的是 ( ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. AB=AC D. AC=BD 3. 如图,在矩形COED 中,点D 的坐标是(1,3), 则CE 的长是 ( ) A. 3 B. 3 C. 5 D. 10 第3题 第4题 4. 如图,在∠MON 的两边OM、ON 上分别截 取OA、OB,使OA=OB.分别以点A、B 为 圆心,OA 长为半径作弧,两弧交于点C.连 结AC、BC、AB、OC.若AB=2,OC=4,则 四边形AOBC 的面积是 ( ) A. 13 B. 8 C. 4 D. 5 2 5. 如图,在菱形ABCD 中,直线 MN 分别交 AB、CD、AC 于点M、N、O,且AM=CN, 连结BO.若∠OBC=65°,则∠DAC 的度 数为 ( ) 第5题 A. 65° B. 30° C. 25° D. 20° 6. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次 相接制成一个如图①所示的菱形教具,此时 测得∠B=60°,对角线AC 长为16cm,改变 这个教具的形状成为如图②所示的正方形, 则正方形的边长为 ( ) 第6题 A. 8cm B. 41cm C. 16cm D. 59cm 7. 如图,矩形DEFG 的顶点E、F 分别在菱形 ABCD 的边AD 和对角线AC 上,连结EG、 BF.若EG=3,则BF 的长为 ( ) 第7题 A. 3 B. 5 C. 3 D. 4 答案讲解 8. 如图,在矩形纸片ABCD 中,AB= 8,BC=11,M 是BC 上的点,且 CM=3.将矩形纸片ABCD 沿过点 M 的直线折叠,使点D 落在AB 上的点P 处,点C 落在点C'处,折痕为 MN,PC'与 BC 交于点H,则BH 的长是 ( ) 第8题 A. 3 B. 55 16 C. 4 D. 73 16 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 拍 照 批 改 15 二、 填空题(每题4分,共20分) 9. (营口中考)如图,将△ABC 沿着BC 方向平 移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明 四边形 ABED 是菱形,这个条件可以是 .(写出一个即可) 第9题 第10题 10. 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC、BD 相 交于点O,∠BOC=120°,DC=3cm,则 AC 的长为 cm. 11. 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=6,E 为AB 上 一 动 点,DE 交 AC 于 点 F. 当∠CFE=2∠ACB 时,线段DF 的长为 . 第11题 第12题 12. 如图,在由菱形和正方形组成的装饰图案 中,已知菱形ABCD 的面积是500cm2,正 方形DEBF 的面积是200cm2,则对角线 AC 的长是 cm. 答案讲解 13. 如图,在正方形ABCD 中,E 是边 AD 的中点,F 是CE 上一点.过点 F 作GH⊥CE,分别交AB、CD 于点G、H.若BG=1,CH=5,则AG 的长 为 . 第13题 三、 解答题(共56分) 14. (9分)(济南中考)如图,在菱形ABCD 中, E、F 是对角线AC 上的两点,连结DE、 DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF. 第14题 15. (10分)(六盘水中考)如图,在▱ABCD 中, AE 平分∠BAC,CF 平分∠ACD. (1) 求证:△ABE≌△CDF. (2) 当△ABC 满 足 什 么 条 件 时,四 边 形AECF 是矩形? 请说明理由. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 16 16. ★(10分)新考法 开放题 (岳阳中考)如 图,点E、F 分别在▱ABCD 的边AB、BC 上,AE=CF,连结DE、DF.有以下三个条 件:① ∠1=∠2;② DE=DF;③ ∠3= ∠4.请从中选择一个合适的条件作为已知 条件,使四边形ABCD 为菱形. (1) 你选择的条件是 ;(填序号) (2) 结合你选择的条件,求证:四边形ABCD 为菱形. 第16题 17. (12分)如图,在△ABC 中,D 为边BC 上 一点,E 为AD 的中点,过点A 作BC 的平 行线交BE 的延长线于点F,且AF=DC, 连结CF. (1) 若AB=AC,试猜想四边形ADCF 的 形状,并证明你的结论; (2) 猜想当△ABC 满足什么条件时,四边 形ADCF 为正方形,并证明你的结论. 第17题 答案讲解 18. (15分)在 正 方 形 ABCD 中, ∠MAN=45°,∠MAN 绕点A 顺 时针旋转,它的两边分别交直线 CB、DC 于点M、N. (1) 当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时(如图①),求证:BM+DN=MN; (2) 当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时(如图②),线段BM、DN 和MN 之间的 数量关系是 ; (3) 当∠MAN 绕点A 旋转到如图③所示 的位置时,猜想线段BM、DN 和MN 之间 的数量关系,并说明理由. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 4 t=2时,以P、Q、D、M 为顶点的四边形是平行四边形. 第14题 三、 15. (1) ∵ AF=CD,∴ AF+CF=CD+CF,即 AC = DF.在 △ABC 和 △DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF.∴ ∠ACB=∠DFE.(2) 如图,四边 形BFEC 是平行四边形.理由:由(1)可知,∠ACB= ∠DFE.∴ BC∥EF.又∵ BC=EF,∴ 四边形BFEC 是 平行四边形. 第15题 16. (1) 如图,DE 即为所求作.(2) DBC;BF;内错角相 等,两直线平行;两组对边分别平行的四边形是平行四 边形. 第16题 17. (1) ∵ ∠ADB=90°,∴ OA= AD2+OD2 = 122+52=13.∵ AC=26,∴ OC=AC-OA=13. ∴ OA=OC.∵ OD=OB,∴ 四边形ABCD 是平行四边 形.(2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,BD=OB+ OD=10,∴ 四边形ABCD 的面积=AD×BD=12× 10=120. 18. (1) ∵ DE∥AC,DF∥AB,∴ 四边形AEDF 是平行 四边形,∠FDC=∠B.∴ DE=AF.又∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C.∴ ∠FDC=∠C.∴ DF=FC.∴ DE+ DF=AF+FC=AC.(2) 图②:DE-DF=AC;图③: DF-DE=AC.(3) ∵ AC>DE,∴ 点D 不在边BC 的 延长线上,分两种情况讨论:① 当点D 在边BC 上时, DF=AC-DE=10-7=3;② 当点D 在边BC 的反向延 长线上时,DF=AC+DE=10+7=17. 第19章　矩形、菱形与正方形1 一、 1. C 2. D 3. D 4. C 5. C 6. C 7. C 8. B 解析:连结PM.在矩形纸片ABCD 中,AB=8, BC=11,∴ CD=AB=8,∠A=∠B=∠C=∠D= 90°.∵ CM=3,∴ BM=11-3=8.根据折叠,可知 PC'=CD=8,∠C'=∠C=90°,C'M=CM=3.∴ ∠B= ∠C'=90°,BM=PC'=8.∵ PM=PM,∴ Rt△PBM≌ Rt△MC'P.∴ BP=C'M=3.∵ ∠PHB=∠MHC', ∠B=∠C',∴ △PBH≌△MC'H.∴ BH=C'H.设 BH=C'H=x,则HM=8-x.∵ HM2=C'H2+C'M2, ∴ (8-x)2=x2+32,解得x=5516.∴ BH=5516. 二、 9. 答案不唯一,如AB=AD 10. 6 11. 5 12. 50 13. 7 解析:过点G 作GM⊥CD 于点M.∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠B=∠BCD=∠D=90°,BC= CD=AD.∵ GM ⊥CD,∴ 四边形 GBCM 是矩形. ∴ GM=BC=CD,CM =BG=1,∠GMH =90°= ∠D.∵ GH⊥CE,∴ ∠CFH=90°.∴ ∠DCE=90°- ∠FHM = ∠MGH. 在 △GMH 和 △CDE 中, ∠MGH=∠DCE, GM=CD, ∠GMH=∠D, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △GMH ≌ △CDE.∴ HM = ED.∵ CH=5,∴ HM=CH-CM=5-1=4.∴ ED= HM=4.∵ E 是AD 的中点,∴ AB=AD=2ED=8. ∴ AG=AB-BG=8-1=7. 三、 14. ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形,∴ DA =DC. ∴ ∠DAC=∠DCA.∵ ∠ADF=∠CDE,∴ ∠ADF- ∠EDF= ∠CDE - ∠EDF,即 ∠ADE = ∠CDF.在 △DAE 和△DCF 中, ∠DAE=∠DCF, DA=DC, ∠ADE=∠CDF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAE≌ △DCF.∴ AE=CF. 15. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, ∠B=∠D,AB∥CD.∴ ∠BAC=∠ACD.∵ AE 平分 ∠BAC,CF平分∠ACD,∴ ∠BAE=∠CAE=12∠BAC , ∠DCF=∠ACF= 12 ∠ACD.∴ ∠BAE=∠DCF.在 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 △ABE 和△CDF 中, ∠B=∠D, AB=CD, ∠BAE=∠DCF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △CDF.(2) 当△ABC 满足AB=AC 时,四边形AECF 是矩形.理由:由(1),易知∠CAE=∠ACF,∴ AE∥ CF.∵ △ABE≌△CDF,∴ AE=CF.∴ 四边形AECF 是平行四边形.又∵ AB=AC,AE 平分∠BAC,∴ AE⊥ BC.∴ ∠AEC=90°.∴ 四边形AECF 是矩形. 16. (1) ①或③.(2) 选择①,∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ ∠A=∠C.在△ADE 和△CDF 中, ∠1=∠2, ∠A=∠C, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CDF.∴ AD=CD.∴ 四边形ABCD 为菱 形;选择③,∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠A= ∠C.在△ADE 和△CDF 中, ∠3=∠4, AE=CF, ∠A=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △CDF.∴ AD=CD.∴ 四边形ABCD 为菱形. 菱形的判定方法 判定四边形是菱形时,可以证明四边形的四条边 都相等,也可以先证明四边形是平行四边形,再从两个 方面考虑:(1) 证明四边形的一组邻边相等;(2) 证明 四边形的对角线互相垂直.注意根据题目条件灵活选 用判定方法. 17. (1) 四边形ADCF 为矩形.∵ AF=DC,AF∥BC, ∴ 四边形ADCF 为平行四边形.又∵ E 为AD 的中点, AF∥BD,∴ AE=DE,∠AFE=∠DBE.在△AEF 和 △DEB 中, ∠AFE=∠DBE, ∠AEF=∠DEB, AE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF ≌ △DEB. ∴ AF=DB.∴ DB=DC.∵ AB=AC,∴ △ABC 为等 腰三角形.∴ AD⊥BC.∴ ∠ADC=90°.∴ 四边形 ADCF 为矩形.(2) 当△ABC 为等腰直角三角形时,四边 形ADCF 为正方形.由(1),知DB=DC,四边形ADCF 为平行四边形.∵ △ABC为等腰直角三角形,DB=DC, ∴ AD⊥BC,AD 平分∠BAC.∴ ∠ADC=90°.∴ 四边 形 ADCF 为 矩 形.∵ ∠BAC =90°,∴ ∠BAD = ∠DAC=45°,∠ABC= ∠ACB=45°.∴ ∠DAC= ∠ACD.∴ AD=CD.∴ 四边形ADCF 为正方形. 18. (1) 过点A 作AE⊥MN 于点E.∵ 四边形ABCD 是 正方 形,∴ AB=AD,∠D = ∠B= ∠BAD =90°. ∵ ∠MAN=45°,∴ ∠BAM+∠DAN =90°-45°= 45°.在△ABM 和△ADN 中, AB=AD, ∠B=∠D, BM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌ △ADN.∴ AM=AN,∠BAM=∠DAN=12×45°= 22.5°.又∵ AE⊥MN,∴ ∠NAE=12∠MAN=22.5° , MN=2EN.∴ ∠DAN=∠NAE.∴ AN 为∠DAE 的 平分线.∵ AE⊥MN,∠D=90°,∴ EN⊥AE,DN⊥ AD.∴ DN=EN. ∴ BM=DN=EN.∴ BM+DN= MN.(2) BM+DN=MN.(3) DN-BM=MN.理由: 在DC 上 截 取 DF=BM,连 结 AF.易 证△ADF≌ △ABM,∴ ∠DAF=∠BAM,AF=AM.∴ ∠FAM= ∠BAM+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°. ∵ ∠MAN=45°,∴ ∠FAN =∠FAM -∠MAN = 45°.∴ ∠FAN=∠MAN.∵ 在△MAN 和△FAN 中, AM=AF, ∠MAN=∠FAN, AN=AN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MAN ≌△FAN.∴ FN = MN,即DN-DF=MN.∴ DN-BM=MN. 第19章　矩形、菱形与正方形2 一、 1. B 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. C 解析:如图,连结PC,与EF相交于点O,延长AP 交 EF于点H,延长FP 交AB 于点G.在正方形ABCD 中, ∠ABP=∠CBP=45°,AB=CB,∠ABC=∠BCD=90°. 在△ABP 和△CBP 中, AB=CB, ∠ABP=∠CBP, BP=BP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABP≌ △CBP.∴ AP=CP,∠BAP=∠BCP.∵ PE⊥BC, PF⊥CD,∠BCD=90°,∴ 四 边 形 PECF 是 矩 形. ∴ PC=EF,PF∥EC,OE=OC.∴ AP=EF,∠PFE= ∠FEC,∠FEC = ∠BCP.∴ ∠PFE = ∠BCP.又 ∵ ∠BAP=∠BCP,∴ ∠PFE=∠BAP.故①④正 确.只有当P 为BD 的中点或PD=AD 时,△APD 才是 等腰 三 角 形,故 ③ 错 误.∵ PF∥BC,∴ ∠AGF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈