第三章 第1节 导数的概念及运算（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第三章 一元函数的导数及其应用 第1节 导数的概念及运算 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 导数的概念★★★☆☆ 考点2 导数的几何意义★★★☆☆ 考点3 基本初等函数的导数公式★★★☆☆ 考点4 导数的运算法则★★★☆☆ 【知识拓展】公切线问题★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.导数的概念★★★☆☆ (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y',f'(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数 f'(x)=. 2.导数的几何意义★★★☆☆ 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式★★★☆☆ 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 4.导数的运算法则★★★☆☆ 若f'(x),g'(x)存在,则有: (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); (3)=(g(x)≠0); (4)[cf(x)]'=cf'(x). 5.复合函数的定义及其导数★★★☆☆ 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【名师点拨】 1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数. 2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”,说明点P为切点,点P既在曲线上,又在切线上;“过点P处的切线”,说明点P不一定是切点,点P一定在切线上,但不一定在曲线上. 3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(　　) (2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cos x.(　　) (3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　) 　　　　　　　　　　　　　 2.(人教B选修三P87【典例】3改编)(多选)下列导数运算中正确的是(　　) A.(e5x-1)'=5e5x-1 B.(ln(2x+1))'= C.()'= D.'=-2cos 3.(人教A选修二P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x,则f'=　　　　　.  4.(人教A选修二P82T11改编)已知曲线y=xex在点(1,e)处的切线与曲线y=aln x+2在点(1,2)处的切线平行,则a=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　导数的概念 【典例】1 已知f(x)在x0处的导数f'(x0)=k,求下列各式的值: (1); (2). 【变式训练】1 (1)=(　　) A.0 B.2cos x C.cos 2x D.2cos 2x (2)若f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(a)=-1,则=(　　) A.-5 B.-4 C.-1 D.0 考点二　导数的运算 【典例】2 求下列函数的导数: (1)y=x2sin x;(2)y=ln; (3)y=; (4)y=xsincos. 【变式训练】2 (1)(多选)(2025·河南名校调研)下列求导运算正确的是(　　) A.'=1- B.(e2x)'=e2x C.(log2x)'= D.'= (2)(2025·常州质检)函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=x2+2xf'(2)-ln x,则f'(2)的值为　　　　.  考点三　导数的几何意义 角度1　求切线方程 【典例】3 (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. (2)(2025·贵阳模拟)过点P(1,-3)作曲线y=2x3-3x的切线,切线的方程为　　　　.  角度2　求切点坐标或参数 【典例】4 (1)(2025·葫芦岛质测)已知直线y=ax-1与曲线y=相切,则a的值为(　　) A.1 B. C. D.2e2 (2)(2025·昆明诊断)若曲线f(x)=2ax2+ln(x-1)存在垂直于y轴的切线,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(-∞,0) D.(-∞,e) 【思维建模】求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据:①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键. 【变式训练】3 (1)(2025·太原调研)曲线y=+sin在点(0,1)处的切线方程为(　　) A.y=x-1 B.x=1 C.y=1 D.y=x+1 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.  【知识拓展】公切线问题 1.求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,直线与抛物线相切可用判别式法. 2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题. 一、共切点的公切线问题 【典例】1 (2025·济南模拟)已知曲线y=ln x与曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线,则a=(　　) A.1 B. C.- D.-1 二、不共切点的公切线问题 【典例】2 (2025·杭州质检)若曲线f(x)=ex在x=1处的切线与曲线g(x)=ln x+a也相切,则a=(　　) A. B.1 C. D.2 【变式训练】 (1)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,g(x)=6ln x-4x,设两曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则m等于(　　) A.-3 B.1 C.3 D.5 (2)若直线y=4x+m是曲线y=x3-nx+13与曲线y=x2+2ln x的公切线,则n-m=(　　) A.11 B.12 C.-8 D.-7 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.若函数f(x)满足=2,则=(　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 2.(2025·厦门模拟)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 3.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2,那么f(1)+f'(1)等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025·茂名模拟)曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列大小关系正确的是(　　) A.2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5) B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3) C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5) D.2f'(5)<2f'(3)<f(5)-f(3) 6.(2025·衡阳模拟)若函数f(x)=x3+4与g(x)=x2-2x图象的交点为A,则曲线y=f(x)在点A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A.4 B.6 C. D. 7.(2025·湖北八市联考)已知函数f(x)为偶函数,其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,记f(x)的导函数为f'(x),则f'(-1)=(　　) A.- B. C.-2 D.2 8.若函数f(x)=+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线,则a的取值范围是(　　) A.a≤1 B.a<0 C.a≥1 D.a≤0 二、多选题 9.下列求导运算正确的是(　　) A.'=1- B.[log5(2x+1)]'= C.(5x)'=5xlog5x D.(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x 10.(2025·郑州调研)已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m,f(m))处的切线为lm,则(　　) A.lm的斜率的最小值为-2 B.lm的斜率的最小值为-3 C.l0的方程为y=1 D.l-1的方程为y=9x+6 11.(2025·石家庄质测)过点A(1,2)与曲线f(x)=x3+x相切的直线方程为(　　) A.2x+y-4=0 B.3x-y-1=0 C.4x-y-2=0 D.7x-4y+1=0 三、填空题 12.(2025·南昌质检)已知f(x)=ex-f'(0)x,则f(2)=　　　　.  13.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=　　　　.  14.(2025·安徽名校联考)已知曲线y=ex-1与曲线y=f(x)关于直线x-y=0对称,则与两曲线均相切的直线的方程为　　　　　　.  四、解答题 15.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 16.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值; (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元函数的导数及其应用 第1节 导数的概念及运算 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 导数的概念★★★☆☆ 考点2 导数的几何意义★★★☆☆ 考点3 基本初等函数的导数公式★★★☆☆ 考点4 导数的运算法则★★★☆☆ 【知识拓展】公切线问题★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.导数的概念★★★☆☆ (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y',f'(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数 f'(x)=. 2.导数的几何意义★★★☆☆ 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式★★★☆☆ 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 4.导数的运算法则★★★☆☆ 若f'(x),g'(x)存在,则有: (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); (3)=(g(x)≠0); (4)[cf(x)]'=cf'(x). 5.复合函数的定义及其导数★★★☆☆ 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【名师点拨】 1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数. 2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”,说明点P为切点,点P既在曲线上,又在切线上;“过点P处的切线”,说明点P不一定是切点,点P一定在切线上,但不一定在曲线上. 3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(　　) (2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cos x.(　　) (3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f'(x)=-cos x,错误. (3)求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值,错误. (4)函数y=x2与x=0这条直线只有一个公共点,但它们相交,错误.　　　　　　　　　　　　　　 2.(人教B选修三P87【典例】3改编)(多选)下列导数运算中正确的是(　　) A.(e5x-1)'=5e5x-1 B.(ln(2x+1))'= C.()'= D.'=-2cos 【答案】ABC 【解析】选项D中,'=2cos. 3.(人教A选修二P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x,则f'=　　　　　.  【答案】1- 【解析】f'(x)=-f'sin x-cos x, 令x=,得f'=-f'-, 解得f'=1-. 4.(人教A选修二P82T11改编)已知曲线y=xex在点(1,e)处的切线与曲线y=aln x+2在点(1,2)处的切线平行,则a=　　　　.  【答案】2e 【解析】由y=xex,得y'=ex(x+1), 所以该曲线在点(1,e)处的切线斜率为2e, 由y=aln x+2,得y'=, 所以该曲线在点(1,2)处切线斜率为a. 因为两切线平行,所以a=2e. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　导数的概念 【典例】1 已知f(x)在x0处的导数f'(x0)=k,求下列各式的值: (1); (2). 【解析】(1)∵=f'(x0), 即=f'(x0)=k, ∴=. (2)∵=k, ∴=2k. 【思维建模】由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,当分子为f(1-Δx)-f(1)时,分母也应该是(1-Δx)-1,要注意公式的变形. 【变式训练】1 (1)=(　　) A.0 B.2cos x C.cos 2x D.2cos 2x 【答案】B 【解析】=2=2(sin x)'=2cos x. (2)若f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(a)=-1,则=(　　) A.-5 B.-4 C.-1 D.0 【答案】A 【解析】= 5=5f'(a)=-5. 考点二　导数的运算 【典例】2 求下列函数的导数: (1)y=x2sin x;(2)y=ln; (3)y=; (4)y=xsincos. 【解析】(1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)' =2xsin x+x2cos x. (2)y'=·()'=. (3)y'== =-. (4)∵y=xsincos =xsin(4x+π)=-xsin 4x, ∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x =-sin 4x-2xcos 4x. 【思维建模】 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导. 2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解. 3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元. 【变式训练】2 (1)(多选)(2025·河南名校调研)下列求导运算正确的是(　　) A.'=1- B.(e2x)'=e2x C.(log2x)'= D.'= 【答案】AC 【解析】对于A,'=1-,故A正确; 对于B,(e2x)'=e2x(2x)'=2e2x,故B错误; 对于C,(log2x)'=,故C正确; 对于D,'= =-,故D错误. (2)(2025·常州质检)函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=x2+2xf'(2)-ln x,则f'(2)的值为　　　　.  【答案】- 【解析】由f(x)=x2+2xf'(2)-ln x求导得f'(x)=2x+2f'(2)-, 当x=2时,可得f'(2)=4+2f'(2)-, 解得f'(2)=-. 考点三　导数的几何意义 角度1　求切线方程 【典例】3 (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】f'(x)=, 所以f'(0)=3, 所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0, 切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),, 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=. (2)(2025·贵阳模拟)过点P(1,-3)作曲线y=2x3-3x的切线,切线的方程为　　　　.  【答案】3x+y=0或21x-2y-27=0 【解析】设切点为(a,2a3-3a), y=f(x)=2x3-3x, 则f'(x)=6x2-3, 所以切线的斜率k=f'(a)=6a2-3, 故切线方程为y-(2a3-3a)=(6a2-3)(x-a),因为切线过点(1,-3), 所以-3-(2a3-3a)=(6a2-3)(1-a), 解得a=0或a=, 则切点坐标为(0,0)或, 切线方程为3x+y=0或21x-2y-27=0. 角度2　求切点坐标或参数 【典例】4 (1)(2025·葫芦岛质测)已知直线y=ax-1与曲线y=相切,则a的值为(　　) A.1 B. C. D.2e2 【答案】A 【解析】y=的导函数y'=, 设切点坐标为(x0,y0),则 故 即=-1, 则2ln x0+x0-1=0. 易知函数f(x)=2ln x+x-1为增函数, 且f(1)=0,故x0=1,故a==1. (2)(2025·昆明诊断)若曲线f(x)=2ax2+ln(x-1)存在垂直于y轴的切线,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(-∞,0) D.(-∞,e) 【答案】C 【解析】由题意,f'(x)=4ax+=0在(1,+∞)上有解, 则a=-=-在(1,+∞)上有解, 因为u(x)=4-1在(1,+∞)上单调递增, 所以u(x)>u(1)=0,则a<0,故选C. 【思维建模】求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据:①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键. 【变式训练】3 (1)(2025·太原调研)曲线y=+sin在点(0,1)处的切线方程为(　　) A.y=x-1 B.x=1 C.y=1 D.y=x+1 【答案】D 【解析】因为y=+sin(π-2x) =+sin 2x, 所以y'=-+2cos 2x, 所以曲线y=+sin(π-2x)在点(0,1)处的切线斜率为-+2cos 0=-1+2=1, 所以切线方程为y-1=1×(x-0),即y=x+1. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.  【答案】(-∞,-4)∪(0,+∞) 【解析】因为y=(x+a)ex, 所以y'=(x+a+1)ex. 设切点为A(x0,(x0+a)),O为坐标原点, 依题意得,切线斜率kOA=y'=(x0+a+1), 所以切线的方程为 y-(x0+a)=[+(x0+a)](x-x0), 又切线过原点, 所以-(x0+a)=[+(x0+a)](-x0), 整理得+ax0-a=0. 因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线, 所以关于x0的方程+ax0-a=0有两个不同的根, 所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0. 【知识拓展】公切线问题 1.求两条曲线的公切线,如果同时考虑两条曲线与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,直线与抛物线相切可用判别式法. 2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题. 一、共切点的公切线问题 【典例】1 (2025·济南模拟)已知曲线y=ln x与曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线,则a=(　　) A.1 B. C.- D.-1 【答案】B 【解析】由题知曲线y=ln x和曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线, 即斜率k相等. 对于曲线y=ln x,求导得y'=,所以在点(1,0)处的切线斜率k=1, 对于曲线y=a, 求导得y'=a, 所以a=1, 解得a=,故选B. 二、不共切点的公切线问题 【典例】2 (2025·杭州质检)若曲线f(x)=ex在x=1处的切线与曲线g(x)=ln x+a也相切,则a=(　　) A. B.1 C. D.2 【答案】D 【解析】由f(x)=ex得f(1)=e,f'(x)=ex, 所以f'(1)=e,则曲线f(x)=ex在x=1处的切线为y=ex, 设该直线与曲线g(x)=ln x+a相切的切点为(x0,ln x0+a), 由g(x)=ln x+a得g'(x)=, 则g'(x0)==e,所以x0=, 所以切点为,由在直线y=ex上得a-1=e×, 解得a=2. 【变式训练】 (1)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,g(x)=6ln x-4x,设两曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则m等于(　　) A.-3 B.1 C.3 D.5 【答案】D 【解析】依题意,设曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点(x0,y0)处的切线相同. ∵f(x)=x2-m,g(x)=6ln x-4x, ∴f'(x)=2x,g'(x)=-4, ∴即 ∵x0>0,∴x0=1,m=5. (2)若直线y=4x+m是曲线y=x3-nx+13与曲线y=x2+2ln x的公切线,则n-m=(　　) A.11 B.12 C.-8 D.-7 【答案】A 【解析】由y=x2+2ln x,得y'=2x+(x>0), 令2x+=4,得x=1,则直线y=4x+m与曲线y=x2+2ln x相切于点(1,4+m), 所以4+m=1+2ln 1=1,得m=-3. 所以直线y=4x-3是曲线y=x3-nx+13的切线, 由y=x3-nx+13,得y'=3x2-n, 设切点为(t,t3-nt+13), 则3t2-n=4,且t3-nt+13=4t-3, 联立消去n,并整理可得t3=8,得t=2, 所以n=8,所以n-m=8-(-3)=11. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.若函数f(x)满足=2,则=(　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 【答案】D 【解析】因为=2, 所以= -=-×2=-1. 2.(2025·厦门模拟)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由y'=3x2-1,得y'|x=0=-1, 即直线l的斜率为-1,所以l的倾斜角为. 3.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2,那么f(1)+f'(1)等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】由题意得f(1)=×1+2=,f'(1)=, 所以f(1)+f'(1)=+=3. 4.(2025·茂名模拟)曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】C 【解析】因为曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行, 所以曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线的斜率为2, 因为f'(x)=ex+a, 所以f'(0)=e0+a=1+a=2, 所以a=1. 5.函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列大小关系正确的是(　　) A.2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5) B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3) C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5) D.2f'(5)<2f'(3)<f(5)-f(3) 【答案】A 【解析】由图可知,f'(3)<<f'(5), 即2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5). 6.(2025·衡阳模拟)若函数f(x)=x3+4与g(x)=x2-2x图象的交点为A,则曲线y=f(x)在点A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A.4 B.6 C. D. 【答案】B 【解析】由f(x)=g(x),得x3-x2+2x+4=x3+x2-2x2-2x+4x+4=(x+1)(x2-2x+4)=0, 解得x=-1,所以A(-1,3). 由f'(x)=3x2,得f'(-1)=3, 所以曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-3=3(x+1),即y=3x+6,令x=0, 得y=6,令y=0,得x=-2, 则所求三角形的面积为×6×2=6. 7.(2025·湖北八市联考)已知函数f(x)为偶函数,其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,记f(x)的导函数为f'(x),则f'(-1)=(　　) A.- B. C.-2 D.2 【答案】A 【解析】因为f(x)为偶函数, 所以f(x)=f(-x), 两边求导,可得f'(x)=f'(-x)·(-x)',f'(x)=-f'(-x). 又f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0, 所以f'(1)=. 所以f'(-1)=-f'(1)=-. 8.若函数f(x)=+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线,则a的取值范围是(　　) A.a≤1 B.a<0 C.a≥1 D.a≤0 【答案】A 【解析】因为函数f(x)=+ln(x+1)(x>-1), 所以f'(x)=x+-a=x+1+-a-1≥2-a-1=1-a, 当且仅当x+1=,即x=0时,等号成立, 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线, 所以f'(x)min≥0,即1-a≥0,解得a≤1. 二、多选题 9.下列求导运算正确的是(　　) A.'=1- B.[log5(2x+1)]'= C.(5x)'=5xlog5x D.(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x 【答案】BD 【解析】A中,'=1+, C中,(5x)'=5xln 5,其余正确. 10.(2025·郑州调研)已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m,f(m))处的切线为lm,则(　　) A.lm的斜率的最小值为-2 B.lm的斜率的最小值为-3 C.l0的方程为y=1 D.l-1的方程为y=9x+6 【答案】BCD 【解析】因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3. 因为f'(0)=0,f(0)=1, 所以l0的方程为y=1. 因为f'(-1)=9,f(-1)=-3, 所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6. 11.(2025·石家庄质测)过点A(1,2)与曲线f(x)=x3+x相切的直线方程为(　　) A.2x+y-4=0 B.3x-y-1=0 C.4x-y-2=0 D.7x-4y+1=0 【答案】CD 【解析】因为f(x)=x3+x, 所以f'(x)=3x2+1. 若A点是切点,则k=f'(1)=4, 则切线方程为y-2=4(x-1), 即4x-y-2=0,故C正确; 若A点不是切点,设切点为B(t,t3+t), 则曲线f(x)在B处的切线斜率为kAB=f'(t)=3t2+1, 又因为直线AB的斜率为kAB=, 则3t2+1=, 化简可得(2t+1)(t-1)2=0, 解得t=-(注意t≠1), 所以切线斜率为f'=, 则切线方程为y-2=(x-1), 即7x-4y+1=0,故D正确. 三、填空题 12.(2025·南昌质检)已知f(x)=ex-f'(0)x,则f(2)=　　　　.  【答案】e2-1 【解析】由f(x)=ex-f'(0)x得f'(x)=ex-f'(0),则f'(0)=e0-f'(0),得f'(0)=, 故f(x)=ex-x,因此f(2)=e2-1. 13.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=　　　　.  【答案】0 【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,∴f'(3)=-. ∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x), ∴g'(3)=f(3)+3f'(3), 又由题意可知f(3)=1, ∴g'(3)=1+3×=0. 14.(2025·安徽名校联考)已知曲线y=ex-1与曲线y=f(x)关于直线x-y=0对称,则与两曲线均相切的直线的方程为　　　　　　.  【答案】x-y=0 【解析】法一　设曲线y=f(x)上任一点的坐标为(x,y), 则该点关于直线x-y=0的对称点为(y,x), 得x=ey-1,整理可得y=ln(x+1), 设切线与曲线y=ex-1,曲线y=ln(x+1)的切点分别为(x1,-1),(x2,ln(x2+1)), 对y=ex-1和y=ln(x+1)分别求导得y'=ex,y'=, 则 两式整理得x1=-(x2+1)ln(x2+1), 所以=, 即(x2+1=(x2+1)-1, 解得x2=0,所以x1=0. 所以曲线y=ex-1与曲线y=ln(x+1)的公切线的公切点为(0,0), 则切线的斜率为1,故与两曲线均相切的直线的方程为x-y=0. 法二　因为y=ex与y=ln x的图象关于直线x-y=0对称, 所以与曲线y=ex-1关于直线x-y=0对称的曲线为y=ln(x+1), 由图象可知与两曲线均相切的直线的方程为x-y=0. 四、解答题 15.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 【解析】(1)因为f'(x)=3x2-8x+5, 所以f'(2)=1, 又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2, 即x-y-4=0. (2)设切点坐标为(x0,-4+5x0-4), 因为f'(x0)=3-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2), 又切线过点(x0,-4+5x0-4), 所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)·(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0, 解得x0=2或x0=1, 所以经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0. 16.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值; (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围. 【解析】f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得 解得b=0,a=-3或1. (2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线, 所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 即4a2+4a+1>0,所以a≠-. 所以a的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$