第一章 第1节　集合（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第1节 集合 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 元素与集合★★★☆☆ 考点2 集合间的基本关系★★★☆☆ 考点3 集合的基本运算★★★☆☆ 考点4 集合的运算性质★★☆☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 考点2 集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 考点3 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} {x|x∈U,且x∉A} 考点4 集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(UA)=⌀,A∪(UA)=U,U(UA)=A. 【解题技巧】 1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔UA⊇UB. 3. U(A∩B)=(UA)∪(UB),U(A∪B)=(UA)∩(UB). 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(　　) (3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) 2. (人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,则x=　　　　.  3. (人教A必修一P13T1改编)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(UB)=　　　　.  4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　集合的基本概念 【典例】1.已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B的元素个数为　　　　.  【典例】2.若含有3个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 026+b2 026=　　　　.  【变式训练】1.(2025·银川、昆明联考)已知集合A={-1,0,1},B={x|x=mn,m∈A,n∈A},则集合B的真子集个数是(　　) A.4 B.7 C.8 D.15 【变式训练】2.(2025·北京西城区调研)已知集合A={x||x-1|<3},B={x|x2-3x-10<0},若a∉A,且a∈B,则a的取值范围是(　　) A.(-2,4) B.(4,5) C.[4,5] D.[4,5) 考点2　集合间的基本关系 【典例】3.设M={x|x=4k-3,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ 【典例】4.(2025·大连模拟)设集合A={x|x-5=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a的值为　　　　.  【变式训练】3.(2025·北京人大附中检测)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,0,1},B={0,1,2},则 {-1}⊆(　　) A.UA B.UB C.(UA)∩B D.U(A∪B) 【变式训练】4.设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1},当x∈Z时,集合A的非空真子集的个数为　　　　;当B⊆A时,实数m的取值范围是　　　　.  考点3　集合的运算 【典例】5.(2024·北京卷)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N=(　　) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 【典例】6.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 【典例】7.已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},且(RA)∪B=R,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 【变式训练】5.(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 【变式训练】6.(2025·聊城质检)已知全集U=R,集合A={x|x(x-3)>0},B={x|log2(x-1)<2},则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|3≤x<5} B.{x|0≤x≤3} C.{x|1<x<3} D.{x|1<x≤3} 【变式训练】7.已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 考点4　集合的新定义问题 【典例】8. (多选)(2025·开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A=,B={x|(ax-1)·(x+a)=0},若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是(　　) A.-2 B.- C.0 D.1 【变式训练】8. (2025·广州调研)若集合A={x|3x2-8x-3≤0},B={x|x>1},定义集合A-B={x|x∈A且x∉B},则A-B=　　　　.  【知识拓展】容斥问题 1.教材母题 (人教A必修一P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下: (1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 【典例】(2024·吉林四校联考)某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·1月八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=(　　) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1,4} 2.已知全集U={x|-1<x<5},集合A满足UA={x|0≤x<3},则(　　) A.0∈A B.1∉A C.2∈A D.3∉A 3.(2025·湖北十一校联考)已知集合M={x|x2+3x-10<0},N={y|y=},则M∩N=(　　) A.[0,2) B.[1,2) C.[-5,2) D.(-5,2) 4.(2025·江苏八市模拟)已知集合M={x|x=k+,k∈Z},N=,则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ 5.设集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若B⊆A,则a=(　　) A.2 B.1 C.-2 D.-1 6.(2025·德州、烟台模拟)已知集合U=R,集合A={x|x2+2x-3<0},B={x|0≤x≤2},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-3<x<0} B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|2<x<3} 7.设集合A={x|x<a2},B={x|x>a},若A∩(RB)=A,则实数a的取值范围为(　　) A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 8.(2025·西安质检)某校高一年级有1 200人,现有两种课外实践活动供学生选择,要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知,选择其中一项活动的人数占总人数的60%至65%,选择另一项活动的人数占50%至55%,则下列说法正确的是(　　) A.同时选择两项参加的学生可能有100人 B.同时选择两项参加的学生可能有180人 C.同时选择两项参加的学生可能有260人 D.同时选择两项参加的学生可能有320人 二、多选题 9.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则(　　) A.(RA)∪B={x|0≤x<3} B.(RA)∩B={x|1<x<2} C.A∩B={x|2<x<3} D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集 10.(2025·江西部分高中大联考)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|1<2x<4},则(　　) A.A∪B=R B.A∩B=⌀ C.UA⊆B D.B⊆UA 11.已知I为全集,集合M,N⊆I,若M⊆N,则(　　) A.M∪N=N B.M∩N=N C.IM⊆IN D.(IN)∩M=⌀ 三、填空题 12.(2025·皖豫名校联盟联考)已知集合A={λ,2,-1},B={y|y=x2,x∈A},若A∪B的所有元素之和为12,则实数λ=　　　　.  13.(2025·南通调研)定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B),集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B所有元素之和为　　　　.  14.(2024·湖南九校联盟联考)对于非空集合P,定义函数fP(x)=已知集合A={x|0<x<1},B={x|t<x<2t}.若存在x∈R,使得fA(x)+fB(x)>0,则实数t的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第1节 集合 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 元素与集合★★★☆☆ 考点2 集合间的基本关系★★★☆☆ 考点3 集合的基本运算★★★☆☆ 考点4 集合的运算性质★★☆☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 考点2 集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. (4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 考点3 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} {x|x∈U,且x∉A} 考点4 集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(UA)=⌀,A∪(UA)=U,U(UA)=A. 【解题技巧】 1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔UA⊇UB. 3. U(A∩B)=(UA)∪(UB),U(A∪B)=(UA)∩(UB). 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(　　) (3)若1∈{x2,x},则x=-1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)错误.空集只有一个子集. (2)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集. (3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性. 2. (人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,则x=　　　　.  【答案】-1或-8 【解析】若x-2=-3,得x=-1,符合题意, 若x+5=-3,得x=-8,符合题意, 故x=-1或-8. 3. (人教A必修一P13T1改编)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(UB)=　　　　.  【答案】{2,4} 【解析】易知UB={2,4,6},故A∩(UB)={2,4}. 4.(苏教必修一P23T14改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[2,+∞) 【解析】由图可知a≥2. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　集合的基本概念 【典例】1.已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B的元素个数为　　　　.  【答案】2 【解析】当x=1时,y=1,2,4,x-y=0,-1,-3,不符合(x-y)∈A,舍去; 当x=2时,y=1,2,4,x-y=1,0,-2,则x=2,y=1; 当x=4时,y=1,2,4,x-y=3,2,0,则x=4,y=2. 故B={(x,y)|(2,1),(4,2)},共2个元素. 【典例】2.若含有3个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 026+b2 026=　　　　.  【答案】1 【解析】因为={a2,a+b,0}, 显然a≠0,所以=0,即b=0; 此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0}, 则a2=1,解得a=1或a=-1. 当a=1时,不满足互异性,故舍去; 当a=-1时,满足题意. 所以a2 026+b2 026=(-1)2 026+02 026=1. 【思维建模】 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件,从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【变式训练】1.(2025·银川、昆明联考)已知集合A={-1,0,1},B={x|x=mn,m∈A,n∈A},则集合B的真子集个数是(　　) A.4 B.7 C.8 D.15 【答案】B 【解析】由题意得B={x|x=mn,m∈A,n∈A}={-1,0,1}, 故集合B的真子集个数为23-1=7. 【变式训练】2.(2025·北京西城区调研)已知集合A={x||x-1|<3},B={x|x2-3x-10<0},若a∉A,且a∈B,则a的取值范围是(　　) A.(-2,4) B.(4,5) C.[4,5] D.[4,5) 【答案】D 【解析】由|x-1|<3,可得-2<x<4, 所以A={x|-2<x<4}. 由x2-3x-10<0,可得-2<x<5, 所以B={x|-2<x<5}. 若a∉A,且a∈B,则有a∈BA=[4,5). 考点2　集合间的基本关系 【典例】3.设M={x|x=4k-3,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ 【答案】A 【解析】因为M={x|x=4k-3,k∈Z}={x|x=2(2k-1)-1,k∈Z}, N={x|x=2k-1,k∈Z}, 所以M⊆N.故选A. 【典例】4.(2025·大连模拟)设集合A={x|x-5=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a的值为　　　　.  【答案】0或 【解析】因为A={x|x-5=0}={5}, 又A∩B=B,所以B⊆A. 当B=⌀时,a=0,符合题意; 当B={5}时,5a-1=0,解得a=. 综上可得,a=0或a=. 【思维建模】 1.若B⊆A,应分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解. 【变式训练】3.(2025·北京人大附中检测)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,0,1},B={0,1,2},则 {-1}⊆(　　) A.UA B.UB C.(UA)∩B D.U(A∪B) 【答案】B 【解析】对于A, UA={2},故A错误; 对于B, UB={-1}, 所以{-1}⊆UB,故B正确; 对于C,( UA)∩B={2},故C错误; 对于D, U(A∪B)=⌀,故D错误. 【变式训练】4.设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1},当x∈Z时,集合A的非空真子集的个数为　　　　;当B⊆A时,实数m的取值范围是　　　　.  【答案】254　{m|m≤-2或-1≤m≤2} 【解析】易得A={x|-2≤x≤5}. 若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 即A中含有8个元素, 所以A的非空真子集的个数为28-2=254. ①当m-1≥2m+1, 即m≤-2时,B=⌀,满足B⊆A; ②当m-1<2m+1,即m>-2时, 要使B⊆A,则需 解得-1≤m≤2. 综上所述,m的取值范围是{m|m≤-2或-1≤m≤2}. 考点3　集合的运算 【典例】5.(2024·北京卷)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N=(　　) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 【答案】C 【解析】由集合的并运算,得M∪N={x|-3<x<4}. 【典例】6.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 【答案】D 【解析】B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4,9},则A(A∩B)={2,3,5}.故选D. 【典例】7.已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},且(RA)∪B=R,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 【答案】B 【解析】由题可知A={x|y=ln(1-x2)} ={x|-1<x<1}, RA={x|x≤-1或x≥1}, 所以由(RA)∪B=R,得a≥1. 【思维建模】 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴表示,此时要注意端点的情况. 【变式训练】5.(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 【答案】A 【解析】因为A={x|-5<x3<5} ={x|-<x<}, B={-3,-1,0,2,3}, 所以A∩B={-1,0},故选A. 【变式训练】6.(2025·聊城质检)已知全集U=R,集合A={x|x(x-3)>0},B={x|log2(x-1)<2},则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|3≤x<5} B.{x|0≤x≤3} C.{x|1<x<3} D.{x|1<x≤3} 【答案】D 【解析】由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩(UA). 由x(x-3)>0,解得x<0或x>3, 所以A={x|x<0或x>3}, UA={x|0≤x≤3}. 由log2(x-1)<2=log24,得0<x-1<4, 解得1<x<5,所以B={x|1<x<5}, 所以B∩(UA)={x|1<x≤3}. 【变式训练】7.已知集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 【答案】B 【解析】因为集合A,B满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},且A∩B=⌀, 则a-1≤1,解得a≤2. 考点4　集合的新定义问题 【典例】8. (多选)(2025·开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A=,B={x|(ax-1)·(x+a)=0},若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是(　　) A.-2 B.- C.0 D.1 【答案】BCD 【解析】若A与B构成“全食”或“偏食”, 则A∩B≠⌀. 当a=0时,B={0}, 当a≠0时,B=. 对于A,若a=-2,则B=, 此时A∩B=⌀,不满足题意; 对于B,若a=-,则B=, 此时B⊆A,满足题意; 对于C,若a=0,则B={0}, 此时B⊆A,满足题意; 对于D,若a=1,则B={-1,1},此时A∩B={1}≠⌀,满足题意.故选BCD. 【思维建模】解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义和要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆. 【变式训练】8. (2025·广州调研)若集合A={x|3x2-8x-3≤0},B={x|x>1},定义集合A-B={x|x∈A且x∉B},则A-B=　　　　.  【答案】 【解析】由3x2-8x-3≤0得-≤x≤3, 则A=, 又A-B={x|x∈A且x∉B}, 则A-B=. 【知识拓展】容斥问题 1.教材母题 (人教A必修一P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A必修一P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下: (1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 【典例】(2024·吉林四校联考)某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　.  【答案】20 【解析】设A={x|x是会打乒乓球的教师人数}, B={x|x是会打羽毛球的教师人数}, C={x|x是会打篮球的教师人数}. 根据题意得card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5, 根据三元容斥原理得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C), 有card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35, 而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次, 故要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数. 因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·1月八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=(　　) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1,4} 【答案】C 【解析】由A={-1,0,1},B={0,1,4}, 易得A∩B={0,1}. 2.已知全集U={x|-1<x<5},集合A满足UA={x|0≤x<3},则(　　) A.0∈A B.1∉A C.2∈A D.3∉A 【答案】B 【解析】由题意知A={x|-1<x<0或3≤x<5},所以0,1,2∉A,3∈A,故选B. 3.(2025·湖北十一校联考)已知集合M={x|x2+3x-10<0},N={y|y=},则M∩N=(　　) A.[0,2) B.[1,2) C.[-5,2) D.(-5,2) 【答案】A 【解析】由x2+3x-10=(x+5)(x-2)<0得-5<x<2,则M={x|-5<x<2}, 易知N={y|y≥0},则M∩N=[0,2).故选A. 4.(2025·江苏八市模拟)已知集合M={x|x=k+,k∈Z},N=,则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ 【答案】A 【解析】易知M=,N=,则M⊆N.故选A. 5.设集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若B⊆A,则a=(　　) A.2 B.1 C.-2 D.-1 【答案】A 【解析】因为B⊆A,所以a+2=3或a2=a+2, 解得a=1或a=2或a=-1. 当a=1时,A={1,3,1},与集合中元素的互异性矛盾,舍去; 当a=2时,A={1,3,4},B={1,4},B⊆A,符合题意; 当a=-1时,A={1,3,1},与集合中元素的互异性矛盾,舍去. 综上,a=2. 6.(2025·德州、烟台模拟)已知集合U=R,集合A={x|x2+2x-3<0},B={x|0≤x≤2},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-3<x<0} B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|2<x<3} 【答案】A 【解析】由题图可知阴影部分表示的集合为A∩UB. A={x|x2+2x-3<0}={x|-3<x<1}.因为集合U=R,B={x|0≤x≤2}, 得UB={x|x<0或x>2}, 所以A∩UB={x|-3<x<0}.故选A. 7.设集合A={x|x<a2},B={x|x>a},若A∩(RB)=A,则实数a的取值范围为(　　) A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 【答案】A 【解析】由A∩(RB)=A,得A⊆(RB), 所以a2≤a,得0≤a≤1,故选A. 8.(2025·西安质检)某校高一年级有1 200人,现有两种课外实践活动供学生选择,要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知,选择其中一项活动的人数占总人数的60%至65%,选择另一项活动的人数占50%至55%,则下列说法正确的是(　　) A.同时选择两项参加的学生可能有100人 B.同时选择两项参加的学生可能有180人 C.同时选择两项参加的学生可能有260人 D.同时选择两项参加的学生可能有320人 【答案】B 【解析】法一　设选择其中一项活动的人数为card(A),选择另一项活动的人数为card(B), 则同时选择两项活动的人数为card(A∩B). 根据题意, 则1 320≤card(A)+card(B)≤1 440, 又card(A)+card(B)-card(A∩B)=1 200, 所以120≤card(A∩B)≤240.故选B. 法二　选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%,即720人至780人. 选择另一项活动的人数占50%至55%,即600人至660人. 当一项活动有720人选择,另一项活动有600人选择时,这两项活动共有1 320人选择, 此时同时选择两项活动参加的人数是120. 当一项活动有780人选择,另一项活动有660人选择时,这两项活动共有1 440人选择, 此时同时选择两项活动参加的人数是240. 故同时参加两项活动的人数在120至240之间.故选B. 二、多选题 9.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则(　　) A.(RA)∪B={x|0≤x<3} B.(RA)∩B={x|1<x<2} C.A∩B={x|2<x<3} D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集 【答案】ACD 【解析】由x2-2x>0,得x<0或x>2, 所以A={x|x<0或x>2}, 所以RA={x|0≤x≤2}, 对于A,因为B={x|1<x<3}, 所以(RA)∪B={x|0≤x<3},所以A正确; 对于B,因为B={x|1<x<3}, 所以(RA)∩B={x|1<x≤2},所以B错误; 对于C,因为A={x|x<0或x>2},B={x|1<x<3}, 所以A∩B={x|2<x<3},所以C正确; 对于D,因为A∩B={x|2<x<3}, 所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集,所以D正确. 10.(2025·江西部分高中大联考)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|1<2x<4},则(　　) A.A∪B=R B.A∩B=⌀ C.UA⊆B D.B⊆UA 【答案】BD 【解析】集合A={x|x2-3x-4>0}={x|x>4或x<-1}, 集合B={x|1<2x<4}={x|0<x<2}, 所以A∪B={x|x>4或0<x<2或x<-1},故A错误; A∩B=⌀,故B正确; UA={x|-1≤x≤4},所以B⊆UA,故C错误,D正确. 11.已知I为全集,集合M,N⊆I,若M⊆N,则(　　) A.M∪N=N B.M∩N=N C.IM⊆IN D.(IN)∩M=⌀ 【答案】AD 【解析】因为M⊆N,则M∪N=N,M∩N=M,则A正确,B错误; 又I为全集,集合M,N⊆I,则IN⊆IM,(IN)∩M=⌀,C错误,D正确. 三、填空题 12.(2025·皖豫名校联盟联考)已知集合A={λ,2,-1},B={y|y=x2,x∈A},若A∪B的所有元素之和为12,则实数λ=　　　　.  【答案】-3 【解析】由题意可知λ≠-1且λ≠2, 当x=λ,则y=λ2; 当x=2,则y=4; 当x=-1,则y=1; 若λ=1,则B={1,4}, 此时A∪B的所有元素之和为6,不符合题意,舍去; 若λ=-2,则B={1,4}, 此时A∪B的所有元素之和为4,不符合题意,舍去; 若λ≠1且λ≠-2,则B={1,4,λ2}, 故λ2+λ+6=12,解得λ=-3(λ=2舍去). 13.(2025·南通调研)定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B),集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B所有元素之和为　　　　.  【答案】18 【解析】当x=0时,y=2,3,对应的z=0; 当x=1时,y=2,3,对应的z=6,12, 即集合A☉B={0,6,12}, 故集合A☉B的所有元素之和为18. 14.(2024·湖南九校联盟联考)对于非空集合P,定义函数fP(x)=已知集合A={x|0<x<1},B={x|t<x<2t}.若存在x∈R,使得fA(x)+fB(x)>0,则实数t的取值范围为　　　　.  【答案】(0,1) 【解析】由题意知fA(x)+fB(x)可取±2,0, 若fA(x)+fB(x)>0,则fA(x)+fB(x)=2, 即集合A∩B≠⌀, 即得0<t<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$