1.5 有理数的乘除（第一课时 有理数的乘法）导学案 2025-2026学年沪科版七年级数学上册

1.5 有理数的乘除（第一课时 有理数的乘法）导学案 一、学习目标（简写版） 1. 掌握有理数乘法法则，能准确进行有理数乘法运算。 1. 理解倒数的概念，熟练求出有理数的倒数。 1. 熟悉有理数乘法的运算律，会运用运算律简化乘法运算。 1. 学会处理多个因数的乘法运算，确定积的符号与数值。 二、学习重难点 重点 1. 有理数乘法法则的运用。 1. 倒数的定义及求法。 1. 乘法交换律、结合律、分配律在有理数乘法中的应用。 1. 多个因数乘法中积的符号确定方法。 难点 1. 理解有理数乘法法则中符号确定的原理。 1. 灵活运用乘法运算律进行简便运算。 1. 准确判断多个因数相乘时积的符号，避免计算错误。 三、知识点自主预习填空 1. 有理数的乘法 两数相乘，同号得______ ，异号得______ ，并把 ______相乘；任何数与0相乘，都得 ______ 。 1. 倒数 0. 乘积为 ______的两个有理数互为倒数。 0. 正数的倒数是______，负数的倒数是______，______没有倒数。 13. 有理数乘法的运算律 0. 乘法交换律：a×b = ______。 0. 乘法结合律：(a×b)×c = ______ 。 0. 乘法分配律：a×(b + c) = ______ 。 14. 多个因数的乘法 几个不是0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为______ ；负因数的个数为奇数时，积为 ______ 。几个数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为 ______ 。 四、知识点讲解与要点剖析 知识点 1：有理数的乘法 1. 核心知识 有理数乘法法则为：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0 。 从实际意义理解，比如规定向东为正方向，一个物体以2m/s的速度向东运动3s，它的位移就是( + 2)×( + 3)= + 6(m) ；若以2m/s的速度向西运动3s ，位移则是( - 2)×( + 3)= - 6(m) 。 1. 常考易错点 0. 计算时忽略符号，比如计算( - 3)×4，直接计算3×4 = 12，而正确结果应为-12。 0. 对 “同号得正，异号得负” 理解不透彻，出现符号判断错误。 经典例题 计算( - 5)×( - 6)。 解析：两数相乘，同为负号，根据 “同号得正”，确定结果为正；再把绝对值相乘，|- 5|×|- 6|= 5×6 = 30 ，所以( - 5)×( - 6)=30。 变式题 计算8×()。 解析：两数异号，根据 “异号得负”，结果为负；绝对值相乘。 知识点 2：倒数 1. 核心知识 0. 定义：乘积为1的两个有理数互为倒数。 0. 性质：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，因为0乘任何数都为0，所以0没有倒数 。 0. 求法：求一个非零数a的倒数，就是用1除以这个数， 。例如，5的倒数是；对于带分数，先化为假分数再求倒数，如。 18. 常考易错点 0. 混淆倒数与相反数的概念，比如误把-3的倒数写成3（3是-3的相反数）。 0. 求带分数倒数时，未先化为假分数，直接颠倒分子分母。 0. 认为0有倒数。 经典例题 求的倒数。 解析：根据倒数的求法，。 变式题 若a的倒数是，则a的值是（ ） A. B. C. D. 解析：因为乘积为1的两个数互为倒数，，答案选 C。 知识点 3：有理数乘法的运算律 1. 核心知识 0. 乘法交换律：a×b = b×a 。交换因数的位置，积不变，在计算中可根据需要交换因数顺序，方便计算，例如3×(-5)=(-5)×3 = - 15 。 0. 乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c) 。三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。如(2×3)×(-4)=2×(3×(-4)) = - 24 ，在连乘运算中，合理使用结合律可简化计算 。 0. 乘法分配律：a×(b + c) = a×b + a×c 。一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 。例如2×(3 + (-5))=2×3 + 2×(-5)=6 - 10 = - 4 ，在有加减和乘法混合运算中，分配律能起到简化作用 。 20. 常考易错点 0. 运用乘法交换律和结合律时，忽略符号变化，导致计算错误。 0. 使用乘法分配律时，漏乘括号里的某一项，比如计算3×(2 + 4 - 1)，错误计算为3×2 + 4 - 1 。 0. 对分配律的逆运算不熟悉，不能灵活运用a×b + a×c = a×(b + c)进行简便计算 。 经典例题 计算( - 25)×39×(-4)。 解析：运用乘法交换律，将-4与39交换位置，得到( - 25)×(-4)×39 ；先计算( - 25)×(-4)=100 ，再计算100×39 = 3900 。 变式题 。 解析：。 知识点 4：多个因数的乘法 1. 核心知识 几个不是0的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数 。若几个数相乘，其中有一个因数为0，积就为0 。在计算多个因数相乘时，先确定积的符号，再把所有因数的绝对值相乘得到积的数值 。例如( - 2)×( - 3)×( - 4)×(-5) ，负因数有4个（偶数），所以积为正，|- 2|×|- 3|×|- 4|×|- 5|= 2×3×4×5 = 120 ；而( - 2)×0×3×4 = 0 。 1. 常考易错点 0. 数错负因数的个数，导致积的符号判断错误。 0. 计算绝对值相乘时出现计算失误。 0. 没有先判断是否有因数为0，盲目进行计算。 经典例题 计算( - 1)×( - 2)×3×( - 4)。 解析：负因数有3个（奇数），所以积为负；绝对值相乘|- 1|×|- 2|×|3|×|- 4|= 1×2×3×4 = 24 ，结果为-24。 变式题 计算0×( - 5)×6×( - 7)。 解析：因为其中有一个因数0，根据规则，积就为0。 五、效果检测（判断正误） 1. 两个有理数相乘，积一定大于其中任意一个因数。（ ） 1. - 2的倒数是2。（ ） 1. 乘法交换律a×b = b×a在有理数乘法中不成立。（ ） 1. 多个非0有理数相乘，负因数个数为偶数时，积为正数。（ ） 1. 计算3×(2 + 5)=3×2 + 5。（ ） 六、思维导图 七、归纳总结 1. 有理数乘法法则是基础，计算时要先确定符号，再计算绝对值相乘。 1. 倒数是乘积为1的两个数的特殊关系，求倒数时要注意数的类型，0没有倒数。 1. 乘法交换律、结合律、分配律在有理数乘法中能简化计算，要熟练掌握其运用方法和逆运算。 1. 多个因数相乘，先判断负因数个数确定积的符号，若有因数为0，积直接为0 ，再计算绝对值的乘积。在整个学习过程中，要仔细认真，避免符号和计算错误。 8、 课后作业 一、单选题 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 3．计算：（    ） A．12 B．3 C． D． 4．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果等于（   ） A． B．6 C． D．5 6．计算的结果等于（   ） A．8 B．6 C． D． 7．下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 8．互为倒数．则（   ） A． B． C． D． 9．的倒数是（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 10．2025的倒数是 ． 三、解答题 11．计算和猜想∶ (1) (2) 12．计算： (1)； (2) ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案与解析 （一）自主预习填空答案 1. 正；负；绝对值；0 1. 1；正数；负数；0 1. b×a；a×(b×c)；a×b + a×c 1. 正数；负数；0 （二）效果检测答案及解析 1. ×。例如( - 2)×3 = - 6，-6小于3，所以两个有理数相乘，积不一定大于其中任意一个因数。 1. ×。-2的倒数是，而不是2。 1. ×。乘法交换律a×b = b×a在有理数乘法中是成立的。 1. √。符合多个非0有理数相乘时积的符号确定规则。 1. ×。根据乘法分配律3×(2 + 5)=3×2 + 3×5，原计算漏乘了3×5 。 （3） 课后作业答案及解析 1．B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，先确定积的符号，再将两数的绝对值相乘，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．A 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 3．D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5．A 【分析】本题考查有理数乘法，根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案，熟记两个有理数相乘的法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据乘法法则进行计算即可，熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键． 【详解】解：； 故选A． 7．C 【分析】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数；当有偶数个负因数时，积为正数”，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 积为负，不符合题意； B. 积为负，不符合题意； C. 积为正，符合题意； D. 积为0，不符合题意； 故选：C． 8．C 【分析】该题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的乘积等于1即可求解． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， 故选：C． 9．C 【分析】本题主要考查了倒数， 根据定义解答，即两个数乘积为1，则称这两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 10． 【分析】本题主要考查了倒数是定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故答案为：． 11．(1)0 (2)0 【分析】本题主要考查了有理数和零相乘，掌握任何数与零的积均为零成为解题的关键． （1）直接根据任何数与零的积均为零即可解答； （2）直接根据任何数与零的积均为零即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：． 12．(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，加减混合运算，乘法运算律，正确掌握有理数混合运算的计算法则及运算顺序是解答本题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$