第1讲 有理数 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

第1讲 有理数 暑期预习讲义 知识点梳理 一、正数和负数 1.正数 (1)定义:大于0的数,如 +3,+1.5,+(“+”号可省略,写作 3,1.5)。 (2)实际意义:表示增加、收入、上升、零上温度等。 2.负数 (1)定义:小于0的数,用“-”号标记,如 -2,-0.8,-。 (2)实际意义:表示减少、支出、下降、零下温度等。 3. 0的特殊性:0既不是正数,也不是负数,是正负数的分界点。 二、相反意义的量 1.规则 (1)用正数和负数表示具有相反意义的量(需先规定“正方向”)。 例:若向东走5米记作+5米,则向西走3米记作-3米。 2.常见应用场景 (1)温度:零上10 (+10 ),零下5 (-5 )。 (2)收支:收入200元(+200元),支出100元(-100元)。 (3)海拔:珠穆朗玛峰海拔+8848米,吐鲁番盆地海拔-155米。 三、有理数的概念 1.有理数的定义及分类 (1)有理数:整数和分数统称为有理数。 (2)整数:正整数、0、负整数统称为整数,比如3是正整数,0就是0本身,-5是负整数。 (3)分数:正分数和负分数统称为分数,有限小数和无限循环小数都可以化为分数。例如,(可写成)是正分数,0.25(可化为)也是分数, -0.333…(可化为)则是负分数。 (4)有理数的分类: ①按定义分类:有理数可分为整数和分数,其中整数又分为正整数、0、负整数;分数分为正分数和负分数。 ②按性质符号分类:有理数可分为正有理数、0、负有理数,正有理数包括正整数和正分数,负有理数包括负整数和负分数。 四、数轴 1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 (1)原点:在数轴上表示0的点叫做原点。 (2)正方向:通常规定向右(或向上)为正方向。 (3)单位长度:根据实际需要选取适当的长度作为单位长度。 2.数轴上的点与有理数的关系:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,但数轴上的点不一定都表示有理数(后续会学到无理数,数轴上的点与实数一一对应,实数包括有理数和无理数)。正数在原点的右边,负数在原点的左边,0在原点处。并且数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的数大。 五、相反数 1.相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如2和 -2互为相反数,0的相反数是0。 2.相反数的性质: (1)互为相反数的两个数的和为0,即若a与b互为相反数,则a + b = 0;反之,若a + b = 0,则a与b互为相反数。 (2)在数轴上,互为相反数的两个数(0除外)位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。 六、绝对值 1.绝对值的定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。例如,|3| = 3,表示数轴上表示3的点到原点的距离是3;|-4| = 4,表示数轴上表示 -4的点到原点的距离是4。 2.绝对值的性质: (1)一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。即:当a > 0时,|a| = a;当a = 0时,|a| = 0;当a < 0时,|a| = -a。 (2)绝对值具有非负性,即|a| ≥ 0。 七、有理数的大小比较 1.利用数轴比较:在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大。 2.利用绝对值比较(两个负数比较大小):两个负数,绝对值大的反而小。例如,比较 -3和 -5的大小,先求它们的绝对值,|-3| = 3,|-5| = 5,因为5 > 3,所以 -3 > -5。 思维导图 巩固练习 一、选择题 1.下列四组量中,不具有相反意义的是( ) A.海拔“上升米”与“下降米” B.温度计上“零上”与“零下” C.盈利元与亏本元 D.长米与重千克 2.如果+10表示向东走10km,那么表示( ) A.向南走7km B.向西走10km C.向西走7km D.向北走10km 3.的相反数是( ) A.2025 B. C. D. 4.下面四个数中比-2小的数是( ) A.1 B.0 C.-1 D.-3 5.如图,检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数.不足标准质量的克数记为负数,从轻重的角度看,最接近标准的是( ) A. B. C. D. 6.在,,0,,,中,有理数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 7.下列说法中,正确的是( ) A.有理数不是正数就是负数 B.是无限小数,所以不是有理数 C.0是最小的整数 D.最大的负整数是 8.如图,数轴上有四个点,其中表示的数的绝对值相等的点是( ) A.点与点 B.点与点 C.点与点 D.点与点 9.已知x是整数,并且,在数轴上表示x可能取的所有数值的个数为( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.若,则的值是( ) A.6 B. C. D. 二、填空题 11.在0,1,,﹣2,﹣3,这五个数中,非负整数有 个. 12.的绝对值是 . 13.比较大小: (选填“>”“<”或“=”). 14.若一个负整数的相反数小于2,则这个负整数是 . 15.如图,直尺上“1cm”处对应数轴上的数是 . 16.若,,且,则 . 三、解答题 17.某水果店记录了7月1日,7月2日,7月3日三天卖香蕉和西瓜两种水果的盈亏情况,如右表(记盈利为正,亏损为负.单位:元). 日期 水果 7月1日 7月2日 7月3日 结余 香蕉 201.50 108 -3.50 3.6 西瓜 96 -70 506 532 (1)写出7月3日这一列中“-3.50”和“506”的实际意义. (2)写出西瓜上行中“96”“-70”和“532”的实际意义. 18. 把下列各数分别填入相应的集合里. ,,0,,,2021,, (1)正数集合:{ …} (2)负数集合:{ …} (3)整数集合:{ …} (4)分数集合:{ …} 19.在数轴上表示下列各数,并把下列各数用“”号连接起来 ,,,. 20.如图,图中数轴的单位长度为1. (1)如果点P、T表示的数互为相反数,那么点P、S、T表示的数分别是多少? (2)如果点R、T表示的数互为相反数,那么点S表示的数是正数,还是负数?此时图中表示的5个点中,哪一点表示的数的绝对值最大?这一点表示的数的绝对值是多少? 参考答案 1.D 2.C 3.B 4.D 5.D 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.2 12.10 13. 14.-1 15. 16. 17.(1)解:-3.50表示7月3日卖香蕉亏损3.50元,506表示7月3日卖西瓜盈利 506元 (2)解:96表示7月1日卖西瓜盈利96元,-70表示7月2日卖西瓜亏损70元, 532表示这三天卖西瓜共盈利532元 18.(1)解:, 正数集合:; (2)解:负数集合:; (3)解:整数集合:; (4)解:分数集合:. 19.解:,, 各数在数轴上表示如下: 把各数用“”号连接起来是:. 20.(1)解:如图所示: P表示的数是-4,S表示的数是0,T表示的数是4; (2)解:如图所示: R为-3,T为3, 所以S表示-1是负数,Q点表示的数的绝对值最大,绝对值是7. 学科网(北京)股份有限公司 $$