精品解析：云南省长水教育集团2024-2025学年高二下学期质量检测（6月）数学试题

长水教育集团2024-2025学年第二学期质量检测（6月） 高二数学 一审老师：王卫 二审老师：冯光发 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：以高考模式全部知识点． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算可求，再求模长即可. 【详解】因为，则，所以． 故选：A. 2. 已知命题，；，，则下列判断正确的是（ ） A. ，均为真命题 B. 为真命题，为假命题 C. 为假命题，为真命题 D. ，均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性并求出最值，判断命题为假命题，举例判断为真命题. 【详解】令，求导得， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以为假命题， 又，，所以为真命题，所以为假命题，q为真命题． 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再利用向量垂直的性质列出等式，最后通过化简等式得到与的关系． 【详解】由题知，，， ，， ，整理得， 故选：B． 4. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是： 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1 ，分别表示甲乙两组数据的平均数，，分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由表格统计数据，结合平均数、方差公式，即可判断，，，的大小. 【详解】由表格数据知： ， ， ∴， ， ， ∴， 故选：B 5. 已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 6. 一个7位数的密码由4个1和3个0组成，则3个0都不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先计算总的样本空间，再利用插空法计算符合题意的情况，根据古典概型求概率即可. 【详解】7位数密码由4个和个组成.从7个位置中选个位置放，其余位置放，则总数为种. 计算个都不相邻的排列情况：采用插空法，先排4个，4个产生5个空（包括两端）， 从这5个空中选个空插入，则个都不相邻的排列数为种． 设“个都不相邻”事件A，由古典概型概率公式可得． 故选：C. 7. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 8. 数列满足，则数列的前9项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，求得，再由时，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于轴对称 C. 的值域为[0,2] D. 将函数的图象向上平移2个单位长度可以得到的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】根据即可根据周期公式判断A，根据偶函数性质即可求解B，根据三角函数性质即可求解C，根据平移的性质即可求解D. 【详解】因为，所以的最小正周期为，A正确； ，故不是偶函数，图象不关于轴对称，错误； 因为，所以的值域为，C错误； 将函数的图象向上平移2个单位长度可以得到的图象，D正确． 故选：AD 10. 设抛物线的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（ ） A. 线段的中点到的准线距离为4 B. 当直线过原点时， C. 直线的倾斜角的最大值为 D. 线段的垂直平分线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】由可得，分析几何图形知线段中点到准线的距离为，代入相应值可判断A；由题意设，则，即可求出点A、B的坐标，代入两点间的距离公式即可判断B；直线斜率存在时符合题意，斜率不存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理及可求出k的范围判断C；斜率不存在时满足题意，斜率存在时根据垂直平分线过AB的中点且与AB垂直可写出其点斜式方程，然后求出定点判断D. 【详解】设，抛物线：，得，，所以， 线段的中点到的准线距离为，故A正确； 若直线过原点，设，则，所以，所以，故B错误； 当直线AB斜率不存在时，，符合题意，当直线AB斜率存在时，设直线的方程为， 由得，则，得， 又，得，故或，则倾斜角无最大值，故C错误； 当直线AB斜率存在时，线段中点的坐标为，所以线段的垂直平分线方程为， 又，故化为，过定点；当直线的斜率不存在时其垂直平分线即为x轴所在直线，也成立，故D正确． 故选：AD 11. 已知函数有两个极值点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极值点计算判断参数即可判断A，B，计算函数值化简求解判断C，构造新函数结合不等式的西部工作计算求解判断D. 【详解】对于选项AB：因为，可知有2个不同实根， 则，且，即，故A正确，B错误； 对于选项C：可得，故C正确； 对于选项D：因为， 构建， 若，即，即，且，则， 可得，解得，所以的取值范围为，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式化简结合弦化切计算求解. 【详解】由题意有. 故答案为：. 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可证平面，即为直线与平面所成角，又平面，所以，然后可求即可求解. 【详解】取的中点，连接，，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为． 故答案为：. 14. 1827年英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现被分子撞击的悬浮微粒做无规则运动，这类运动被称为布朗运动．在如图所示的容器截面图中，，，表示容积相等的三部分区域，每块区域都有大小相同的小孔进行联通．假设某粒子做布朗运动时，会等可能的随机选择一个小孔到达另一区域，已知该粒子的初始位置在区域，且粒子经过次随机选择后到达区域的概率为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】记粒子经过次随机选择后到达B区域的概率为，到达C区域的概率为，从而得到方程组，变形得到，故，求出答案. 【详解】记粒子经过次随机选择后到达B区域的概率为， 粒子经过次随机选择后到达C区域的概率为， 则有，可得， 则， 因为，所以数列是首项为，公比为等比数列， 故，即， 故． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知，，． （1）求及的正弦值； （2）沿射线方向延长至点，使得的面积为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和正弦公式得出，再应用正弦定理求出边长； （2）先应用面积公式求出，再应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 在中，，， 所以， ， 所以． 由正弦定理可得， 所以． 【小问2详解】 由题意可知，，， 所以，得， 由余弦定理可得， 所以（负值舍去）． 16. 在如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）． （1）证明：； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理得平面，然后根据线面垂直的性质定理证明即可. （2）在平面内过点P作于点G，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面． 因为，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 在平面内过点P作于点G， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以G为坐标原点，以过点G与平行的直线为x轴，，所在的直线分别为y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 当时，， 则，可得， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以． 因为点P在以为直径的半圆上，所以， 又，，平面，，所以平面， 则平面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． （1）求双曲线的方程； （2）证明：四边形的面积为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的渐近线求出双曲线方程； （2）根据题意，计算出与轴垂直时，四边形面积为；与轴不垂直时，设直线的方程为，联立曲线方程得出新方程，得出，的关系；根据，的平行关系确定四边形为平行四边形，数形结合得出平行四边形和三角形间的面积关系，联立双曲线渐近线方程和直线的方程得出交点坐标表达式，根据面积公式算出四边形面积为，从而证明四边形的面积为定值. 【小问1详解】 当且仅当与轴垂直时，，此时， 即， 则双曲线的方程为． 【小问2详解】 （2）证明： 当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 联立消去可得： ， 此时，并且， 故； 设与轴交于点， 由及双曲线的对称性，可知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 同理可得， 则． 所以，四边形的面积为定值． 18. 云南作为中国著名茶叶产区，每年都会举办普洱茶文化知识竞赛．已知某次赛前模拟练习题中有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份练习题恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分．参赛者甲对茶叶知识有系统学习，而参赛者乙因临时参赛，误将该次练习题中所有多选题当作单选题作答，假设两人选对一个单选题的概率都是． （1）若对于多选题，乙选对1个选项的概率为，记此次练习题中乙选择题的得分为，求的数学期望； （2）已知甲遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮甲制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）设乙做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，由题意可得，，再利用期望公式求解即可； （2）先求出每道多选题得分的期望，再比较与的大小，即可得方案. 【小问1详解】 解：由题意，对于单选题，乙每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙选对1个选项的概率为． 设乙做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为， 则，， 所以，． 又此次练习题中乙选择题的得分为， 所以． 【小问2详解】 解：对于每一道多选题，甲每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲不继续选其他选项，肯定能得3分； 如果甲继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高， 所以建议甲3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样， 所以甲每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高， 所以建议甲3个多选题全部只选1个选项． 19. 已知各项均为正数的等差数列，其前项和为，且，函数． （1）求的公差； （2）若恒成立，求的值； （3）设，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取和可得，，进而结合等差数列定义求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （3）由（1）可得，由（2）得，进而求证即可. 【小问1详解】 由，， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 因为数列为等差数列，所以； 【小问2详解】 由，， 则， 当时，，函数在上单调递增， 又，则当时，，不符合题意； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 由恒成立，且，则； 【小问3详解】 由（1）知， 由（2）知，当时，， 即，， 令，则， 由，则，， 则， 即，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长水教育集团2024-2025学年第二学期质量检测（6月） 高二数学 一审老师：王卫 二审老师：冯光发 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：以高考模式全部知识点． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 已知命题，；，，则下列判断正确的是（ ） A. ，均为真命题 B. 为真命题，为假命题 C. 为假命题，为真命题 D. ，均为假命题 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是： 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1 ，分别表示甲乙两组数据的平均数，，分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 一个7位数的密码由4个1和3个0组成，则3个0都不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，则数列的前9项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于轴对称 C. 的值域为[0,2] D. 将函数的图象向上平移2个单位长度可以得到的图象 10. 设抛物线的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（ ） A. 线段的中点到的准线距离为4 B. 当直线过原点时， C. 直线的倾斜角的最大值为 D. 线段的垂直平分线过定点 11. 已知函数有两个极值点，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 若，，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则值为______． 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为______． 14. 1827年英国植物学家布朗用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现被分子撞击的悬浮微粒做无规则运动，这类运动被称为布朗运动．在如图所示的容器截面图中，，，表示容积相等的三部分区域，每块区域都有大小相同的小孔进行联通．假设某粒子做布朗运动时，会等可能的随机选择一个小孔到达另一区域，已知该粒子的初始位置在区域，且粒子经过次随机选择后到达区域的概率为，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，已知，，． （1）求及的正弦值； （2）沿射线方向延长至点，使得的面积为，求． 16. 在如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）． （1）证明：； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． （1）求双曲线的方程； （2）证明：四边形的面积为定值． 18. 云南作为中国著名的茶叶产区，每年都会举办普洱茶文化知识竞赛．已知某次赛前模拟练习题中有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份练习题恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分．参赛者甲对茶叶知识有系统学习，而参赛者乙因临时参赛，误将该次练习题中所有多选题当作单选题作答，假设两人选对一个单选题的概率都是． （1）若对于多选题，乙选对1个选项的概率为，记此次练习题中乙选择题的得分为，求的数学期望； （2）已知甲遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确，且甲最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮甲制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高． 19. 已知各项均为正数的等差数列，其前项和为，且，函数． （1）求的公差； （2）若恒成立，求值； （3）设，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $