精品解析：新疆哈密市第八中学2024-2025年高一下学期期末考试数学试卷

哈密市第八中学2024—2025年度第二学期期末考试 高一数学问卷 2025. 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡」对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各匙的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在中，角所对的边分别是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】解：由正弦定理得，， 故选：A. 2. 已知向量，，则的模长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的坐标，进而求出其模. 【详解】由向量，，得， 所以. 故选：A 3. 已知某公司有高层管理人员、中层管理人员、一般员工，共1000名，现按层级用分层抽样的方法从公司的员工中抽取80人进行收入状况调查，若该公司有中层管理人员100名，则从中层管理人员中应抽取的人数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比计算中层管理人员的抽取人数. 【详解】已知总人数为1000名，抽取80人，则抽样比为 该公司有中层管理人员100名，那么从中层管理人员中应抽取的人数为人 . 故选：C. 4. 甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ） A. 0.72 B. 0.26 C. 0.7 D. 0.98 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率. 【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、， 所以飞行目标被雷达发现的概率为. 故选：D 5. 若，则复数的共轭复数是（ ） A. i B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法和减法法则求出复数，进而计算出复数的共轭复数. 【详解】， 所以复数的共轭复数是. 故选：C 6. 已知向量，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用得到，然后利用数量积的定义可求出，即可得到答案 【详解】因为向量，所以， 由，可得， 所以， 因为，所以， 故选：A 7. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据侧面积公式以及弧长公式即可求解母线和半径长，进而可由勾股定理求解高，由体积公式即可求解. 【详解】设该圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由已知条件可得：，解得 故圆锥的高，所以该圆锥的体积为. 故选：B 8. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个直二面角，则点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点在平面内作，证明，利用余弦定理得到，再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】过点在平面内作，垂足为点，二面角的平面角为， 故平面，平面，， 在中，，，，则，， ，则，， ，， ． 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数运算，及模的运算，结合复平面可作出各选项判断. 【详解】 对于A，，为纯虚数，A正确； 对于B，，B正确： 对于C，，C错误： 对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确. 故选：ABD. 10. 砂糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，则（ ） A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B. 这一年的总利润超过400万元 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 7月份的利润最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据折线图中的数据，结合选项即可逐一求解. 【详解】A：由图可知，月收人的最大值为90，最小值为30，故A正确； B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30， 所以总利润为（万元），故B错误； C：这12个月利润按从小到大排为：10，20，20，30，30，30，30，30，30，40，50，60，所以中位数与众数均为30，故C正确； D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确. 故选：ACD 11. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理将条件转化为角的关系，判断A，结合内角和定理和条件及余弦函数的性质判断B，C，由余弦定理将条件转化为边的关系，判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得 ， 所以， 又为锐角三角形，所以，， 所以，正弦函数在上单调递增， 所以，所以，A正确； 因为为锐角三角形，所以，，， 所以，，， 所以，B正确； 因为，所以， 所以， 所以，因为， 所以，C错误； 因为，由余弦定理可得 ， 所以， 所以，D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数基本事件为：12，13，14，23，24，34，共6个， 其中两个数都是偶数的有：24，共1个， 所以两个数都是偶数的概率是， 故答案为： 13. 正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为． 考点：几何体的体积的计算． 14. 在中，，，其面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案. 【详解】依题意，， 由余弦定理得，， 由正弦定理得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 平面内给定三个向量，，. （1）求满足的实数，； （2）若，求实数的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）把已知向量的坐标代入，解方程组即得解； （2）解方程即得解. 【小问1详解】 解：因为，，，且， ，，解得， 【小问2详解】 解：，. 因为，，解得. 16. 在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示. （1）求第三组的频率； （2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数. 【答案】（1） （2）平均值为，第25百分位数为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求解； （2）利用平均数和第25百分位数的定义求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，第三组的频率为. 【小问2详解】 平均值， 因为，， 所以第25百分位数为. 17. 记的内角的对边分别为，且． （1）求A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，结合题意化简得到得，得到，即可求解； （2）利用三角形的面积公式求得，再由余弦定理求得，进而求得的值，即可求得的周长． 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得， 所以 可得， 因为，所以，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 解：由，则，解得， 又由余弦定理，可得， 所以，可得， 又因为，所以的周长为． 18. 山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烧”的高峰期.某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”.已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为，并且每次抽奖互不影响. （1）求抽到“谢谢惠顾”的概率； （2）某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，根据互斥事件求概率公式进行求解； （2）分两种情况进行求解，相加得到答案. 【小问1详解】 记抽到“5元烧烤优惠券”为事件， 抽到“10元烧烤优惠券”为事件，抽到“谢谢惠顾”为事件， 且，. 根据互斥事件求概率公式可得. 【小问2详解】 记抽到总计10元烧烤优惠券为事件，则可能一次抽到“10元烧烤优惠券”、一次抽到“谢谢惠顾”，记为事件，或者两次都抽到“5元烧烤优惠券”，记为事件. 则，，. 故该客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）根据题意可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，利用线面垂直可证为直角三角形，求的正切值即可； （3）利用等体积法求解点到平面的距离，直线与平面所成角为，，即可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. 【小问3详解】 解：取中点为，连接，， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴， 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，∴，又，∴, ∴， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈密市第八中学2024—2025年度第二学期期末考试 高一数学问卷 2025. 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡」对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各匙的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 在中，角所对的边分别是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则的模长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知某公司有高层管理人员、中层管理人员、一般员工，共1000名，现按层级用分层抽样的方法从公司的员工中抽取80人进行收入状况调查，若该公司有中层管理人员100名，则从中层管理人员中应抽取的人数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 4. 甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ） A. 0.72 B. 0.26 C. 0.7 D. 0.98 5. 若，则复数的共轭复数是（ ） A. i B. C. D. 6. 已知向量，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个直二面角，则点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 10. 砂糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，则（ ） A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B. 这一年的总利润超过400万元 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 7月份的利润最大 11. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是________． 13. 正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________． 14. 在中，，，其面积为，则_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 平面内给定三个向量，，. （1）求满足的实数，； （2）若，求实数的值. 16. 在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，画出频率分布直方图如图所示. （1）求第三组的频率； （2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数. 17. 记的内角的对边分别为，且． （1）求A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烧”的高峰期.某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”.已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为，并且每次抽奖互不影响. （1）求抽到“谢谢惠顾”的概率； （2）某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $