第03讲一元二次方程的解法：公式法（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第03讲一元二次方程的解法：公式法（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题二 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题三 公式法解一元二次方程 知识点一：公式法解一元二次方程 1.求根公式的推导： 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 当时， 利用开平方法，得：， 即： 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2.一元二次方程（）的求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 3用公式法解一元二次方程一般步骤 把一元二次方程化成一般形式（）； 确定a、b、c的值； 求出的值（或代数式）； 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有三个实数 2．（23-24八年级上·上海·单元测试）利用根的判别式，判断方程根的情况，首先将方程化成一般形式是 ，再代入判别式为 ，则方程根的情况是 ． 知识点二：根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 3.根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程 ． 【典型例题一 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（24-25八年级下·山东·期末）关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 2．（24-25九年级上·江西·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 变式拓展 （2）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案 并说明理由． 1．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程的实数根为（    ） A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．无实数根 D．无数个 3．（2022九年级上·全国·专题练习）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程的根的情况： 当△ 0时， 方程有 实数根； 当△ 0时， 方程有 实数根； 当△ 0时， 方程 实数根． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程为常数，请判断方程根的情况． 【典型例题二 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（24-25九年级上·重庆合川·期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美”方程，已知是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期中）设关于x的一元二次方程有两个实数根，一个根大于1，另一个根小于1，试求p的取值范围. 两名同学通过探索提出自己的部分想法如下： 甲：求p的取值范围，只需要考虑判别式大于0即可. 乙：设两根为，，由题意得，根据根与系数的关系可得p的取值范围. 请综合参考甲、乙两人的想法，解决上述问题． 1．（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在面积等于的所有矩形卡片中，周长不可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）用公式法求解一元二次方程，它的一般步骤是： （1）把方程化为 ，进而确定a，b，c的值．(注意符号) （2）求出 的值．(先判别方程是否有根) （3）在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出 的值，最后写出方程的根． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）记（如，则；，则），其中为正自然数，，为实数． (1)用和分别表示，； (2)若，求的取值范围． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（   ） A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，， 2．（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）解方程： 1．（2024·山西晋城·二模）古希腊数学家丢番图，被称为代数学的创始人之一，著有《算术》一书．书中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用如图所示的图解法求解形如（a，b为常数，）的解．这体现的数学思想是（      ） A．公理化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．分类思想 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）用公式法解方程时，计算的值为（   ） A． B．5 C． D．10 3．（24-25九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 4．（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北张家口·模拟预测）关于的一元二次方程（），则该方程根的情况是（   ） A．方程无实根 B．两根之和为 C．有两个负实数根 D．若两根之积为3，则 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B． C．4 D．5 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）嘉淇准备解一元二次方程，发现常数项“ ”印刷不清楚，嘉淇妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“ ”可能是（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 11．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 12．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 13．（24-25九年级上·北京·开学考试）用公式法解方程时， ， ， ． 14．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于实数m，n定义一种新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 16．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 18．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 19．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解下列方程 20． （24-25九年级上·广东中山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲一元二次方程的解法：公式法（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典型例题二 根据一元二次方程根的情况求参数 典型例题三 公式法解一元二次方程 知识点一：公式法解一元二次方程 1.求根公式的推导： 1.一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 当时， 利用开平方法，得：， 即： 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2.一元二次方程（）的求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 3用公式法解一元二次方程一般步骤 把一元二次方程化成一般形式（）； 确定a、b、c的值； 求出的值（或代数式）； 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有三个实数根 【答案】B 【分析】通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其值与的大小关系来判断方程根的情况．本题主要考查了一元二次方程根的判别式（，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根 ），熟练掌握根的判别式的计算和其与根的情况的对应关系是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程，其中，，． ∴ ∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根 故选：B ． 2．（23-24八年级上·上海·单元测试）利用根的判别式，判断方程根的情况，首先将方程化成一般形式是 ，再代入判别式为 ，则方程根的情况是 ． 【答案】 33 有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的一般式．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．先整理方程，根据一元二次方程根的判别式的情况，即可得出结果． 【详解】解： ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故答案为：，33，有两个不相等的实数根． 知识点二：根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 3.根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式法直接解一元二次方程即可 【详解】 解： ∴方程有两个相等的实数根 故答案选B 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ∴符合题意的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【典型例题一 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（24-25八年级下·山东·期末）关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据计算根的判别式即可确定解的情况． 【详解】解： ∵， ∴方程始终有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江西·阶段练习）追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 变式拓展 （2）无论取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案 并说明理由． 【答案】（1）方程总有两个不等的实数根，理由见解析；（2）方程总有两个不等的实数根，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． （2）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：（1）方程总有两个不等的实数根 理由：原方程整理，得， ， ∵无论取何值，， ∴， ，即原方程总有两个不等的实数根． （2）方程总有两个不等的实数根． 理由：原方程整理，得， ， ， 设， ∴原方程可化为， ， ∴总有两个不等的实数根， ∴无论取何值，原方程总有两个不等的实数根． 1．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式；通过计算每个方程根的判别式，判断是否有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式： 选项A： ，无实数根． 选项B： ，无实数根． 选项C： ，有两个相等实数根． 选项D： ，有两个不相等实数根． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程的实数根为（    ） A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．无实数根 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的实数根情况即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程的根的情况： 当△ 0时， 方程有 实数根； 当△ 0时， 方程有 实数根； 当△ 0时， 方程 实数根． 【答案】 > 两个不相等的 = 两个相等的 < 没有 【解析】略 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程为常数，请判断方程根的情况． 【答案】当时，，方程有两个相等的实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，依据题意，由，根据根的判别式，再分类讨论即可判断得解．解题时要熟练掌握并能分类讨论是关键． 【详解】解： ， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 【典型例题二 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（24-25九年级上·重庆合川·期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美”方程，已知是“完美”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． 根据“完美”方程的定义，方程有两个相等的实数根即根的判别式等于零，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）是“完美”方程， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．（24-25八年级下·全国·期中）设关于x的一元二次方程有两个实数根，一个根大于1，另一个根小于1，试求p的取值范围. 两名同学通过探索提出自己的部分想法如下： 甲：求p的取值范围，只需要考虑判别式大于0即可. 乙：设两根为，，由题意得，根据根与系数的关系可得p的取值范围. 请综合参考甲、乙两人的想法，解决上述问题． 【答案】p的取值范围为 【分析】先根据一元二次方程有两个不等实数根，利用判别式求出的初步范围；再依据“一个根大于1，另一个根小于1”，设两根为、，得到，结合根与系数关系（韦达定理）进一步确定的范围，最后取两者交集．本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握判别式判断根的情况、利用韦达定理转化条件是解题的关键． 【详解】方程有两个不相等的实数根， ， 或 设方程的两根分别为，.由题意可得 ，， ，解得 综上所述，p的取值范围为 1．（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解． 【详解】∵是“美妙方程”， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选C． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在面积等于的所有矩形卡片中，周长不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，设矩形的长为，周长为，则宽为，可得，由求出的求值范围即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 【详解】解：设矩形的长为，周长为，则宽为， 则， 整理得，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴周长不可能是， 故选：． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）用公式法求解一元二次方程，它的一般步骤是： （1）把方程化为 ，进而确定a，b，c的值．(注意符号) （2）求出 的值．(先判别方程是否有根) （3）在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出 的值，最后写出方程的根． 【答案】 一般形式 b2－4ac 【解析】略 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）记（如，则；，则），其中为正自然数，，为实数． (1)用和分别表示，； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式； （1）把和代入关系式计算即可解题； （2）根据题意得到关于的一元二次方程，由于方程有解，即，解之即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：∵， ∴， 整理得， 则， 解得：． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（   ） A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，， 【答案】B 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【详解】∵ ∴或 ∴的值分别是或 故答案选B 【点睛】在变化为一般形式时，要注意移项变号问题 2．（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）解方程： 【答案】， 【分析】根据解方程的方法“去括号，移项，合并同类项”，再运用一元二次方程的求根公式即可求解． 【详解】解： 去括号得， 移项得，，整理得，， ∴， ∴，即，， ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查运用公式法求一元二次方程的解，掌握公式法的运用是解题的关键． 1．（2024·山西晋城·二模）古希腊数学家丢番图，被称为代数学的创始人之一，著有《算术》一书．书中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用如图所示的图解法求解形如（a，b为常数，）的解．这体现的数学思想是（      ） A．公理化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．分类思想 【答案】C 【分析】本题考查数形结合思想，掌握用几何的方法解决代数问题的思想叫做数形结合是解题的关键． 【详解】解：用如图所示的图解法求解形如（a，b为常数，）的解．这体现的数学思想是数形结合思想， 故选C． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）用公式法解方程时，计算的值为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据所给方程确定a、b、c的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 【答案】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·广东深圳·一模）小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步） 小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________； 【答案】一，原方程没有化成一般形式 【分析】根据公式法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了公式法解方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：由 故 （第一步） （第二步） ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：一；原方程没有化成一般形式． 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解． 【详解】解：方程中，，，， ， 此时方程无实数根，珍珍说得对． 故选：． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，分别计算四个方程的根的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：A.， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； B. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C. ， 方程没有实数根，不符合题意； D. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：A． 3．（2025·河北张家口·模拟预测）关于的一元二次方程（），则该方程根的情况是（   ） A．方程无实根 B．两根之和为 C．有两个负实数根 D．若两根之积为3，则 【答案】D 【分析】本题考查了利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况，解题关键是熟悉一元二次方程的根的判别式． 先求出一元二次方程的根的判别式，再根据它的符号确定根的情况． 【详解】解：关于的一元二次方程（）， ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故A错误； 关于的一元二次方程（）， 方程有两个不相等的实数根， ∴两根之和为，故B错误； ∵两根之和为，， ∴， 关于的一元二次方程（）， 方程有两个不相等的实数根， 两根之积为， ∴有两个正实数根，故C错误； 关于的一元二次方程（）， 若两根之积为3，则，解得：或， ∵， ∴，故D正确． 故选：D ． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查元二次方程根的判别式，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个不相等的实数根．计算判别式并解不等式，确定k的取值范围，再结合选项判断． 【详解】解：方程的判别式为： 当时，方程有两个不相等的实数根，即： ， 解得或． 选项中只有满足． 故选D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）嘉淇准备解一元二次方程，发现常数项“ ”印刷不清楚，嘉淇妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“ ”可能是（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据方程有实数根，判别式大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：设常数项为：， 则：由题意，得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式的符号与根的个数的关系，是解题的关键． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判定方程的根的情况即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故答案选A 【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式判定方程的根的情况，当△＞0，方程有两个不等的实数根，当△=0，方程有两个相等的实数根，当△＜0，方程没有实数根. 7．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后解关于k的一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得，， 即k的值为1或9． 故选：C． 8．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将题中化为一般式，从而得到，，，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：将一元二次方程化为一般式为， ，，， 故选：A． 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据定义运算将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】由题意得方程，即 ． 整理得： 计算判别式： 由于，方程有两个不相等的实数根． 故选A． 11．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【答案】2 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解∶根据题意得 解得 即当时，关于x的方程有两个相等的实数根． 故答案为：2． 12．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，把方程化为一般式，从而得到c的值，即可求解；正确理解一元二次方程的、、及求根公式是解决问题的关键． 【详解】解：方程化为一般式为， 所以c的值为， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·北京·开学考试）用公式法解方程时， ， ， ． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵， ∴ ∴，， 故答案为：1，3，． 14．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下面是小明同学解方程的过程： ∵，，（第一步） ∴（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） 小明是从第 步开始出错． 【答案】一 【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答． 【详解】解：原方程化为：， ∴． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 15．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于实数m，n定义一种新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得，即得，再根据即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：根据题干给的新运算可知：， ∴可得到， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： 故答案为： ． 16．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）证明根的判别式即可； （2）证明根的判别式即可． 【详解】（1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 18．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【答案】 【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键． 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的根是． 19．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解下列方程 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 20．（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】实数k的取值范围为 【分析】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，据此进行计算即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 整理得，， 解得， 故实数k的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$