第04讲三角形的内角和外角（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第04讲三角形的内角和外角（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 三角形内角和定理的证明 典型例题二 与平行线有关的三角形内角和问题 典型例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题 典型例题四 三角形折叠中的角度问题 典型例题五 三角形内角和定理的应用 典型例题六 直角三角形的两个锐角互余 典型例题七 锐角互余的三角形是直角三角形 典型例题八 三角形外角的定义及性质 知识点一：三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【即时训练】 1.下列说法中，正确的是（ ） A. 钝角三角形的内角和大于180° B. 三角形中最多有两个直角 C. 三角形的三个内角中至少有一个锐角 D. 锐角三角形的三个内角都是锐角 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理及三角形按角分类的特点，对各选项进行分析判断。 【详解】解： 选项A：任意三角形的内角和都等于180°，钝角三角形也不例外，故A错误； 选项B：三角形内角和为180°，若有两个直角，则内角和会超过180°，不符合定理，故B错误； 选项C：直角三角形和钝角三角形都有两个锐角，锐角三角形有三个锐角，所以三角形的三个内角中至少有两个锐角，故C错误； 选项D：锐角三角形的定义就是三个内角都是锐角的三角形，故D正确。 故选：D。 【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形的分类，掌握相关定义和定理是解答的关键。 2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，则∠C=______°。 【答案】90 【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，已知两个角的度数，可求出第三个角的度数。 【详解】解：因为三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°， 已知∠A=30°，∠B=60°， 所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-60°=90°。 故答案为：90。 【点睛】本题考查三角形内角和定理的基本应用，直接运用定理计算即可。 知识点二： 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【即时训练】 1.若一个三角形的两个内角分别为35°和55°，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出第三个角的度数，再依据直角三角形的判定方法进行判断。 【详解】解：三角形的内角和为180°，已知两个内角分别为35°和55°， 则第三个角的度数为180°-35°-55°=90°， 有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以这个三角形是直角三角形。 故选：B。 【点睛】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定，求出第三个角的度数是解答的关键。 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，则∠B=______°。 【答案】65 【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°，由此可求出∠B的度数。 【详解】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°， 所以∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）， 已知∠A=25°， 则∠B=90°-∠A=90°-25°=65°。 故答案为：65。 【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解答的关键。 知识点三：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【即时训练】 1. 如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠A=50°，∠B=60°，则∠ACD的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 110° D. 130° 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此计算∠ACD的度数。 【详解】解：因为∠ACD是△ABC的外角， 所以∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， 已知∠A=50°，∠B=60°， 则∠ACD=50°+60°=110°。 故选：C。 【点睛】本题考查三角形外角的性质，直接运用该性质进行计算即可。 2.三角形的三个外角中，最多有______个锐角。 【答案】1 【分析】根据三角形内角与外角的关系，三角形的一个外角与它相邻的内角互补，即和为180°，结合锐角、钝角的定义进行分析。 【详解】解：因为锐角小于90°，所以与锐角外角相邻的内角大于90°，即为钝角。 又因为一个三角形最多有一个钝角（三角形内角和为180°）， 所以三角形的三个外角中，最多有1个锐角。 故答案为：1。 【点睛】本题考查三角形内角与外角的关系，理解外角与相邻内角的互补关系是解答的关键。 【典型例题一 三角形内角和定理的证明】 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【分析】直接根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60， ∴∠B＝30， 故选：A． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质两锐角互余解答． 2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，则∠A度数为(    ). A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得． 【详解】∠A＝180°−∠B−∠C＝180°−45°−75°＝60°． 故选：D． 【点睛】考查三角形的内角和定理，三角形的内角和为180度． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（　　） A．数形结合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．转化 【答案】D 【分析】根据证明过程，是利用平行线的性质将三角形的内角和转化为平角定义证明这一数学思想，即可作出判断． 【详解】解：延长BC至D，过点C作CEAB， ∴∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE， ∵∠BCD＝180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， 这个证明方法体现了转化的数学思想， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义、三角形的内角和定理的证明，根据证明过程找到转化思想是解答的关键． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则 ；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则 ． 【答案】 / / 【分析】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，分别表示出，根据即可求解，根据，以及等腰三角形的性质，求得，得出，根据即可求解． 【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，设参数求解是解题的关键． 4．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明． 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 【典型例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙：． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键是利用已知条件求出相关角的度数，并依据角的关系判断直线是否平行． 先根据与的数量关系及度数求出，再由得出判断甲的结论；然后在中用内角和定理求，进而得，通过比较与判断乙的结论． 【详解】∵，， ∴ ． ∵， ∴ ，所以甲的结论正确． 在中，已知，， ∴ ． ， ， ， 所以与不平行，乙的结论错误． 综上，只有甲的正确， 故选：A． 3．（2021七年级下·全国·专题练习）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为 °． 【答案】110 【分析】根据三角形外角和内角的关系，先求出∠3的度数，再利用平行线的性质，求出∠2． 【详解】解：如图所示，∵∠1＝∠ADE＝50°， ∠3＝∠A+∠ADE ＝50°+60° ＝110°． ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 4．（2021七年级·全国·专题练习）如图，AB∥CD，点E在两平行线上方，连接AE、CE，此时∠A、∠C、∠E有什么样的数量关系？ 【答案】∠C＝∠A＋∠E 【分析】方法1：过点E 作EF∥AB，根据AB∥CD，得到EF∥AB∥CD，从而得到∠A＝∠AEF， ∠C＝∠FEC即可求解； 方法2：根据AB∥CD，∠C＝∠1，再根据∠A＋∠E＋∠2＝180°，∠1＋∠2＝180°即可求解. 【详解】解：【方法1】过点E 作EF∥AB． ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥AB∥CD ∴∠A＝∠AEF ∴∠C＝∠FEC（两直线平行，内错角相等） ∵∠FEC＝∠AEF＋∠AEC ∴∠C＝ ∠A＋∠AEC 【方法2】∵AB∥CD ∴∠C＝∠1 ∵∠A＋∠E＋∠2＝180°，∠1＋∠2＝180° ∴∠1＝∠A＋∠E ∴∠C＝∠A＋∠E 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【典型例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 1．（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，平分，交于点D，若点D恰好在边的垂直平分线上，则∠C的度数为（   ） A．30 B．36 C．40 D．45 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵点D恰好在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质和角平分线的定义．熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示） 【答案】． 【分析】本题考查角平分线性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用这些是解题的关键． 根据角平分线性质得角相等，在中，根据三角形内角和定理得度数，从而得度数，再在中，求得度数． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， 在中，，， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图，分别是的角平分线和高，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的高线及角平分线、三角形内角和，由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴． 【典型例题四 三角形折叠中的角度问题】 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，由三角形内角和定理可求出的度数，进而由折叠的性质得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，已知四边形纸片，，点在边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为． （1）试判定与的位置关系，并说明理由； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）AB//EF；（2）50°． 【分析】（1）根据方式折叠可得，结合，利用同位角相等两直线平行即可得证； （2）由与EF//AB平行，利用两直线平行同位角相等得到，由折叠得到，即可求出的度数． 【详解】解：（1）AB//EF，理由为： ，， ， AB//EF； （2）∵EF//AB， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的基础，由折叠的性质得出是解题关键． 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（　　）        A．45° B．40° C．35° D．30° 【答案】A 【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处， ∴∠3+∠4=（180°-∠1）+（180°-∠2）=180°-（∠1+∠2）， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠3+∠4=180°-×90°=180°-45°=135°， 在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°． 故选：A．    【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，熟记各性质并整体思想的利用是解题的关键． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，点为边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好在边上的点处，若，则的度数为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图： ∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴AD=DF， ∵D是AB边的中点， ∴AD=BD， ∴BD=DF， ∴∠B=∠BFD， ∵∠B=46°， ∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-46°-46°=88°． 故选：A． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．由题意得，由折叠得，那么，故，进而推断出，从而求得． 【详解】解：由题意得：， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中． (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形外角的性质，平行线的判定知识，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由折叠的性质得，由已知得出，推出，即可得到结论； （2）连接，由三角形外角的性质可得，， 再由翻折的性质即可得出结果； （3）设与相交于点O，由三角形外角的性质可得，，再由翻折的性质即可得出结果． 【详解】（1）∵在中，， ∴． 由折叠，可知， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）． 理由如下：如图，连接， 则，分别是和的外角， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴． （3）． 如图，设与相交于点O， 则是的外角，是的外角， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 【典型例题五 三角形内角和定理的应用】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，根据得出，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，是边上的点，是边上的点，连接，过点作交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键．先判定，再结合垂线的定义，得到，即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 1．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，P，C分别为两条边上的点，，P为垂足，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线性质的应用；根据平行线得到，结合题意得出，再根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° 【答案】C 【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由光线的反射角等于入射角得出，，由平角的定义和三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得 ，， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确理解题意是解题的关键．由题意得，设最小的内角为，进而分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设最小的内角为， 当时，； 当时，，不合题意； 当时，，另一个内角为，符合题意； ∴中最小内角的度数为或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． (1)求的度数． (2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 【答案】(1) (2)甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据，得到，所以，在中，根据三角形内角和定理求解即可． （2）设甲车速度为，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：处在处北偏西方向，处在处北偏东方向，处在处南偏东方向， ，，， ， ， ， 在中，． （2）设甲车速度为，根据题意得， 解得：， 答：甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市． 【典型例题六 直角三角形的两个锐角互余】 1．（24-25八年级下·广西桂林·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件和直角三角形的性质得出的值，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴＝． 1．（2025·湖北荆州·三模）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 平分， ． 故选：B． 2．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，为锐角，，则下列角中，的余角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角定义、垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，根据余角定义逐个分析即可求解． 【详解】解：∵为钝角， ∴，， 故选项C、D不符合题意； 如图，延长n交与点D ∵， ∴，， ∴，与互余， 故选项A符合题意，选项B不符合题意， 故选A． 3．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，若，G是上一点，于点H．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，两直线平行同旁内角互补，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 先利用对顶角相等，求得，再利用平行线的性质求得，然后利用直角三角形两个锐角互余，求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 【典型例题七 锐角互余的三角形是直角三角形】 1．（2025·福建宁德·二模）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键． 根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可． 【详解】解：∵， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， 若， ∴（等量代换）， ∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形）， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，点D在边上，将沿直线对折得到，作，交的延长线于点F． (1)证明：； (2)连接，当为等腰三角形时， ①证明：； ②设，求与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由对折可知，根据得到，即可得到，进而得到结论； （2）①根据为等腰三角形得到，又根据证明，即可得到结论； ②由①得得到，于是，进而得到，依据故可证明． 【详解】（1）解：∵沿直线对折得到， ∴， ∵，， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为等腰三角形, ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ②由①得, ∴． ∴． ∴． ∴． ∵, ∴． 即． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定与性质，等腰三角形的性质，对折的性质，直角三角形两个锐角互余，掌握相关性质与定理是解题的关键． 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可． 【详解】解：、，此时只为等腰角三角形，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ，， 不能确定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、， ， 即为直角三角形，故本选项符合题意； 、，， ， 即为锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形． 3．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 90 ②④/④② 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后根据三角形三边关系及作差法可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为90； （2）由题意得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴由三角形三边关系可得：，故②正确； ∵， ∴， ， ，故④正确； ∴，即，故①错误； 当时，则；当时，则；故③错误； 综上所述，正确的结论有②④； 故答案为②④． 4．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段称为原三角形的“双等腰线”，如图，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“双等腰线”． (1)已知，如图2，在中，，，请画出这个三角形的“双等腰线”．（只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） (2)若（1）中所画的“双等腰线”的长度为，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“双等腰线”的定义作出图形即可； （2）根据勾股定理先求出AB，然后再求出AC，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴作，则， ∴， ∴，， ∴，， ∴此时和为等腰三角形， 故线段即为所求． （2）解：，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴ 或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典型例题八 三角形外角的定义及性质】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选:D． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A=∠D=40°．求∠B和∠ACD的度数． 【答案】∠B=50°；∠ACD=90°． 【分析】由DF⊥AB，在Rt△BDF中可求得∠B；再由∠ACD=∠A+∠B可求得结论． 【详解】解：∵DF⊥AB， ∴∠BFD=90°， ∴∠B+∠D=90°， ∵∠D=40°， ∴∠B=90°-∠D=90°-40°=50°； ∴∠ACD=∠A+∠B=40°+50°=90°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∴这一方向与方向的夹角的度数为． 故选：B． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等；由平行线的性质得，由三角形外角的性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵椅面与地面平行， ， ， ， ， ； 即椅子靠背与椅面夹角的度数为． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查三角形的外角性质、三角板有关的角度计算，如图，利用三角形的外角求得即可求解． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）平面内两条直线、互相平行，在两直线外取一点P（如图），请写出各图形中，，的关系，并选取其中一个给出证明． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是准确作出辅助线． 根据题意作出辅助线，然后根据平行线的性质和判定证明即可． 【详解】证明1： 过P作， ， ， ，， ， 即； 证明2： 过点P作， ， ， ，， ， ． 证明3： 延长交于点E， ， ， 又， ． 证明4： 设与相交于点O， ， ， 在中，， ． 1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 2．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】利用平行线的性质求出∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠BCD，再根据平行线的性质求出∠CDE即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB=80°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=40°， ∵DE∥CB， ∴∠CDE=∠BCD=40°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟握平行线的性质解决问题． 3．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数． 【详解】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处， ∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°， ∵∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠1+∠2=360°-180°=180°， ∵∠1=40°， ∴∠2=140°， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题关键． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的定义等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键． 根据三角形内角和定理及直角三角形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，，则，故为直角三角形，不符合题意； B． 由变形得，则，故△ABC为直角三角形，不符合题意； C． ，总份数为7，每份为，对应角分别为，均不为，故不是直角三角形，符合题意； D． ，代入内角和得，解得，故为直角三角形，不符合题意． 故选C． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，，，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义及平行线的性质，直角三角形中两个锐角互余等．如图所示标注字母，然后利用垂直及平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①如果，那么；②如果，那么；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④周长相等的三角形的面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题和定理，不等式的性质，等式的性质，直角三角形的判定，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据不等式的性质，等式的性质，直角三角形的判定，三角形面积逐项判断即可． 【详解】解：①如果，那么，错误，是假命题； ②如果，那么，正确，是真命题； ③有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题； ④周长相等的三角形的面积相等，错误，是假命题； 综上所述，真命题的个数有个， 故选：B． 8．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得到，则，由平角的定义可得，则，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵和的外角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，再根据三角形内角和定理即即可求解． 【详解】解：如图， ∵， 又∵， ∴． 故选：A． 10．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 11．（2021·云南昆明·一模）如图，已知，与交于点，于点，若，则 ． 【答案】140° 【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB的度数，再根据补角的性质即可求解； 【详解】∵ ∠1=50°， ∴∠CED=50°， ∵ 三角形内角和为180°，BD⊥CD， ∴∠ECD=180°-90°-50°=40°， ∵ AB∥CD， ∴∠EAB=40°， ∴∠2=180°-40°=140°， 故答案为：140°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 12．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A'处，A'D、A'E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A'NM＝20°，则∠NEC＝ 度． 【答案】140 【分析】根据对顶角相等，可得∠CNE＝20°，再由DE∥BC，可得∠DEN＝∠CNE＝20°，然后根据折叠的性质可得∠AED＝∠DEN＝20°，即可求解． 【详解】解：∵∠A′NM＝20°，∠CNE＝∠A′NM， ∴∠CNE＝20°， ∵DE∥BC， ∴∠DEN＝∠CNE＝20°， 由翻折性质得：∠AED＝∠DEN＝20°， ∴∠AEN＝40°， ∴∠NEC＝180°﹣∠AEN＝180°﹣40°＝140°． 故答案为：140 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，两直线平行，内错角相等是解题的关键． 14．（24-25七年级下·安徽池州·期末）如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且． （1） ；（用含x的代数式表示） （2）若平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线，平行线的判定和性质的应用，三角形的内角和定理； （1）根据三角形的内角和定理求出，再证出，得到，得到，再计算即可； （2）由角平分线性质得到，再结合计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）∵平分，∴， 又∵，∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 【答案】55 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知． 【详解】解：如图： 由的三角尺可知， ∴． 由平行线的性质可知． 故答案为：55． 16．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余，进而得出，根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 18．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 19．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，为边上的高，平分交于点，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是关键．先求出，根据角平分线得到，由即可得到的度数． 【详解】解：∵为边上的高，， ∴， ∵平分交于点 ∴， ∵， ∴． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，和的延长线于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理结合对顶角相等可得，再由平角的定义得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲三角形的内角和外角（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 三角形内角和定理的证明 典型例题二 与平行线有关的三角形内角和问题 典型例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题 典型例题四 三角形折叠中的角度问题 典型例题五 三角形内角和定理的应用 典型例题六 直角三角形的两个锐角互余 典型例题七 锐角互余的三角形是直角三角形 典型例题八 三角形外角的定义及性质 知识点一：三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【即时训练】 1.下列说法中，正确的是（ ） A. 钝角三角形的内角和大于180° B. 三角形中最多有两个直角 C. 三角形的三个内角中至少有一个锐角 D. 锐角三角形的三个内角都是锐角 2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，则∠C=______°。 知识点二： 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【即时训练】 1.若一个三角形的两个内角分别为35°和55°，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，则∠B=______°。 知识点三：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 【即时训练】 1. 如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠A=50°，∠B=60°，则∠ACD的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 110° D. 130° 2.三角形的三个外角中，最多有______个锐角。 【典型例题一 三角形内角和定理的证明】 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，则∠A度数为(    ). A．30° B．40° C．50° D．60° 2．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（　　） A．数形结合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．转化 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则 ；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则 ． 4．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【典型例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 1．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙：． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 3．（2021七年级下·全国·专题练习）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为 °． 4．（2021七年级·全国·专题练习）如图，AB∥CD，点E在两平行线上方，连接AE、CE，此时∠A、∠C、∠E有什么样的数量关系？ 【典型例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 1．（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，平分，交于点D，若点D恰好在边的垂直平分线上，则∠C的度数为（   ） A．30 B．36 C．40 D．45 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示） 4．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图，分别是的角平分线和高，，求的度数． 【典型例题四 三角形折叠中的角度问题】 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，已知四边形纸片，，点在边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为． （1）试判定与的位置关系，并说明理由； （2）如果，求的度数． 1．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（　　）        A．45° B．40° C．35° D．30° 2．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，点为边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好在边上的点处，若，则的度数为 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 4．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中 (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． 【典型例题五 三角形内角和定理的应用】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，是边上的点，是边上的点，连接，过点作交于点，求证：． 1．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，P，C分别为两条边上的点，，P为垂足，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为 ． 4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． (1)求的度数． (2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 【典型例题六 直角三角形的两个锐角互余】 1．（24-25八年级下·广西桂林·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 1．（2025·湖北荆州·三模）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，为锐角，，则下列角中，的余角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，若，G是上一点，于点H．若，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【典型例题七 锐角互余的三角形是直角三角形】 1．（2025·福建宁德·二模）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 2．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，点D在边上，将沿直线对折得到，作，交的延长线于点F． (1)证明：； (2)连接，当为等腰三角形时， ①证明：； ②设，求与之间的数量关系． 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 4．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段称为原三角形的“双等腰线”，如图，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“双等腰线”． (1)已知，如图2，在中，，，请画出这个三角形的“双等腰线”．（只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） (2)若（1）中所画的“双等腰线”的长度为，请求出的面积． 【典型例题八 三角形外角的定义及性质】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，并交AC于点E，其中∠A=∠D=40°．求∠B和∠ACD的度数． 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为 ． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）平面内两条直线、互相平行，在两直线外取一点P（如图），请写出各图形中，，的关系，并选取其中一个给出证明． 1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 2．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠AED＝80°，则∠CDE的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 3．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，，，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①如果，那么；②如果，那么；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④周长相等的三角形的面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（   ） A． B． C． D． ∵， 又∵， ∴． 10．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 11．（2021·云南昆明·一模）如图，已知，与交于点，于点，若，则 ． 12．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 13．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A'处，A'D、A'E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A'NM＝20°，则∠NEC＝ 度． 14．（24-25七年级下·安徽池州·期末）如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且． （1） ；（用含x的代数式表示） （2）若平分，则的度数为 ． 15．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 16．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 18．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 19．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，为边上的高，平分交于点，求的度数． 20．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，和的延长线于点，，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$