第02讲三角形的边（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第02讲三角形的边（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 构成三角形的条件 典型例题二 确定第三边的取值范围 典型例题三 三角形三边关系的应用 典型例题四 三角形的稳定性及应用 典型例题五 四边形的不稳定性 知识点一：三角形的三边关系 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．9，6，13 B．6，8，16 C．18，9，8 D．3，5，9 2．（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法． 知识点二： 三角形的稳定性 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【典型例题一 构成三角形的条件】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2025七年级下·全国·专题练习），，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各组数中，能构成三角形三边长的是（   ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7 3．（2025·河南平顶山·三模）用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【典型例题二 确定第三边的取值范围】 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．1 B．2 C．6 D．8 2． （24-25七年级下·广东河源·期中）已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·河南·专题练习）开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【典型例题三 三角形三边关系的应用】 1．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）若一个三角形的两边长为3和4，则这个三角形的第三边长不可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，，若是偶数，求的长． 1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）若一个三角形的一边长为，则它的周长可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）中，，中线将周长分成和两部分．求三边． 4.如图所示，在中，是上一点，则成立吗？说明理由． 【典型例题四 三角形的稳定性及应用】 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）木椅子摇晃了，在椅子下面斜钉两根木条就不摇晃了，这是利用三角形的 ． 1．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 3．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是 ． 4．（24-25八年级上·福建莆田·期中）木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 【典型例题五 四边形的不稳定性】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）用四根长度相等的木条首尾顺次连接形成一个四边形，拉动这个四边形的一组对角，它的形状会发生改变，这体现了四边形的______性质。若要使这个四边形形状固定不变，至少需要再添加______根木条。 1．（24-25八年级上·广东河源·期末）下列图形中具有稳定性的是 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A． 太阳能热水器 B． 活动衣架 C． 三脚架 D． 篮球架 3．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）生活中许多物品利用了四边形的不稳定性，下列物品中，没有利用这一性质的是______． A．伸缩晾衣架 B．活动挂架 C．电梯轿厢 D．折叠椅 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 1．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．2，4，8 B．5，5，10 C．2，10，13 D．3，6，8 2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知三角形的三边长分别为3、x、10，则x的值可能是（    ） A．6 B．7 C．10 D．13 4．（24-25七年级上·安徽六安·开学考试）盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（    ）的小棒才能围成一个三角形 A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25八年级上·云南昆明·期中）下列各组中的三条线段能组成三角形的是（  ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，5，9 D．3，9，7 6．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）用下列长度的3根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（    ） A．2，2，5 B．1，2，3 C．3，4，5 D．2，3，6 7．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（   ） A．两点之间线段最短 B．矩形的四个角时直角 C．三角形的稳定性 D．长方形的对称性 8．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列图形中有稳定性的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 10．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的（    ） A．任意两边之和大于第三边 B．任意两边之差小于第三边 C．稳定性 D．三角形三个内角的和为 11．（24-25八年级上·北京海淀·期中）一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边的长度可取的整数值为 （写出一个即可）． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有 种． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例： ． 14．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，乐山致江路大桥于2024年12月25日顺利通车，许多市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现的知识是 ． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知三角形的两边长分别是3和7，如果第三边长为x（x是整数），则x最大为 ． 16．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 17．已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 18．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 19．如图，在中，点在上，点在上．求证：． 20．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲三角形的边（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 构成三角形的条件 典型例题二 确定第三边的取值范围 典型例题三 三角形三边关系的应用 典型例题四 三角形的稳定性及应用 典型例题五 四边形的不稳定性 知识点一：三角形的三边关系 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．9，6，13 B．6，8，16 C．18，9，8 D．3，5，9 【答案】A 【分析】利用三角形的三边关系逐一进行分析即可得到答案． 【详解】解：A、，能摆成三角形，符合题意，选项正确； B、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误； C、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误； D、，不能摆成三角形，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，判断三条线段是否能构成三角形的三边的判定方法是解题关键，根据三角形的三边关系判断即可得解。 【详解】解：从11，8，6，4的四根木条中选三根有4种选法，它们分别是①11，8，6；②11，8，4；③ 11，6，4；④8，6，4． 其中①②④符合三角形的三边关系，②不符合三角形的三边关系． 故有3种选法， 故答案为：3． 知识点二： 三角形的稳定性 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解． 【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 【典型例题一 构成三角形的条件】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系定理，只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，能组成三角形，符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习），，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 【答案】不能，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可获得答案． 【详解】解：，， ∴为较短边的长度， 又， 不能组成三角形． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）下列各组数中，能构成三角形三边长的是（   ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，所以1，1，2的三个数不能构成三角形三边长； B、因为，所以2，3，6的三个数不能构成三角形三边长； C、因为，所以1，2，2的三个数能构成三角形三边长； D、因为，所以3，4，7的三个数不能构成三角形三边长； 故选：C. 3．（2025·河南平顶山·三模）用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系得， 所以x的取值范围是． 故答案为：4（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【答案】(1)不能，理由见详解 (2)不能，理由见详解 (3)能，理由见详解 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （2）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （3）先得，根据，满足两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （2）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （3）解：能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度满足两边之和大于第三边， 故能组成三角形． 【典型例题二 确定第三边的取值范围】 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由构成三角形的条件得，即可求解；理解构成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：设第三根木条的长度为，则有 ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东河源·期中）已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为偶数， ∴第三边是，，，， 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 第三边是时，该三角形的周长． 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案．   【详解】解：设该三角形第三边的长是， ∴， ∴， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的范围即可得到答案． 【详解】解：由构成三角形的条件可知，， ∵， ∴，即， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 3．（2025七年级下·河南·专题练习）开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键； 此题可根据三角形的三边关系的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题意得：，即； 在区间内， ∴的长可能是， 故答案为：（答案不唯一） 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和． (1)若6是最短边长．求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得； （2）根据（1）所求可得，则的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即， 是最短边长， ， 的取值范围是； （2）解：由（1）可知，， 为整数， 的最大值为14， 三角形周长的最大值为． 【典型例题三 三角形三边关系的应用】 1．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）若一个三角形的两边长为3和4，则这个三角形的第三边长不可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系定理，第三边必须满足两边之和大于第三边且两边之差小于第三边． 【详解】解：已知三角形的两边长分别为3和4， 设第三边长为． 两边之和大于第三边：，即； 两边之差小于第三边：，即； 因此，第三边的取值范围为． 选项中只有7不在此范围内，故第三边长不可能是7． 故选：A． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，，若是偶数，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 即， ∵为偶数， ∴． 1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）若一个三角形的一边长为，则它的周长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”得到另外两条边的和一定大于，这个三角形的周长一定大于，即可得到答案，此题考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键 【详解】解：∵一个三角形的一边长为， ∴另外两条边的和一定大于， ∴三角形的周长一定大于， 故选：D 2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三角形的第三边长是，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设三角形的第三边长是， ， ， 第三边长为偶数， 的最大值为， 周长最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）中，，中线将周长分成和两部分．求三边． 【答案】三角形的三边长为8，8，5或6，6，9． 【分析】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解．设，，则，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答． 【详解】解：设，，则， 上的中线将这个三角形的周长分成12和9两部分， 有两种情况： 1、当，且， 解得，， 三边长分别为8，8，5； 2、当且时， 解得，，此时腰为6， 三边长分别为6，6，9， 综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9． 4.如图所示，在中，是上一点，则成立吗？说明理由． 【答案】见解析 【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结论． 【详解】证明：在中，， 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系得到不等关系． 【典型例题四 三角形的稳定性及应用】 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）木椅子摇晃了，在椅子下面斜钉两根木条就不摇晃了，这是利用三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性的理解和运用，根据三角形具有稳定性的特性进行分析解答即可． 【详解】解：木椅子摇晃了，在椅子下面斜钉两根木条就不摇晃了，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 1．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，解答本题的关键是掌握相关知识． 根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是三角形的稳定性． 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键． 【详解】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形， 所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故选：B． 3．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是 ． 【答案】16cm或14cm/14cm或16cm 【分析】根据题意分腰为6cm和底为6cm两种情况，分别求出即可． 【详解】解：①当腰为6cm时，它的周长为6+6+4＝16（cm）； ②当底为6cm时，它的周长为6+4+4＝14（cm）； 故答案为：16cm或14cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的两腰相等，注意分类讨论． 4．（24-25八年级上·福建莆田·期中）木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 【答案】稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 【典型例题五 四边形的不稳定性】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 2． （24-25八年级上·广东广州·期中）用四根长度相等的木条首尾顺次连接形成一个四边形，拉动这个四边形的一组对角，它的形状会发生改变，这体现了四边形的______性质。若要使这个四边形形状固定不变，至少需要再添加______根木条。 【答案】不稳定性；1 【分析】根据四边形的特性以及三角形的稳定性来分析本题。四边形与三角形不同，三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性，即形状易改变；要使四边形形状固定，可利用三角形的稳定性进行转化。 【详解】解：用四根长度相等的木条首尾顺次连接形成的四边形是菱形，拉动其一组对角，形状改变，这体现了四边形的不稳定性。 因为三角形具有稳定性，若要使这个四边形形状固定不变，可连接一条对角线，将其分成两个三角形，此时四边形的形状就固定了，所以至少需要再添加1根木条。 故答案依次为：不稳定性；1。 【点睛】本题考查四边形的不稳定性和三角形的稳定性，理解两种图形的特性及其在实际中的应用是解答的关键。 1．（24-25八年级上·广东河源·期末）下列图形中具有稳定性的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性、多边形不具有稳定性解答即可． 【详解】解：A、三角形具有稳定性，符合题意； B、长方形不具有稳定性，不符合题意； C、梯形不具有稳定性，不符合题意； D、正方形不具有稳定性，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和多边形的不稳定性，属于应知应会题型，熟知三角形具有稳定性而多边形具有不稳定性是解题的关键． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A． 太阳能热水器 B． 活动衣架 C． 三脚架 D． 篮球架 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性，逐一进行判断即可． 【详解】A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意； C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·月考）生活中许多物品利用了四边形的不稳定性，下列物品中，没有利用这一性质的是______． A．伸缩晾衣架 B．活动挂架 C．电梯轿厢 D．折叠椅 【答案】C 【分析】四边形的不稳定性是指四边形边长确定时，其形状和大小可以改变的性质，据此分析各选项物品是否利用这一性质。 【详解】解： • 伸缩晾衣架在伸缩过程中，四边形的形状发生改变，利用了四边形的不稳定性； • 活动挂架通过改变形状来调整角度等，利用了四边形的不稳定性； • 电梯轿厢在运行时，其形状和大小保持稳定，没有利用四边形的不稳定性； • 折叠椅在折叠和展开时，四边形的形状改变，利用了四边形的不稳定性。 故选：C。 【点睛】本题考查四边形不稳定性的实际应用，理解四边形不稳定性的特征，并能结合物品的工作原理进行判断是解答的关键。 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 1．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．2，4，8 B．5，5，10 C．2，10，13 D．3，6，8 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边是解题的关键； 根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，所以长度为2，4，8的三条线段不能组成三角形； B、因为，所以长度为5，5，10的三条线段不能组成三角形； C、因为，所以长度为2，10，13的三条线段不能组成三角形； D、因为，所以长度为3，6，8的三条线段能组成三角形； 故选：D. 2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．判断各选项中较短的两边之和是否大于第三边，若是则可组成三角形．据此即可解答． 【详解】A．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D．由于，则本选项中的三条线段能组成三角形，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知三角形的三边长分别为3、x、10，则x的值可能是（    ） A．6 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系，得到的取值范围，即可． 【详解】解：由题意，得：，即：， ∴x的值可能是10； 故选C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．（24-25七年级上·安徽六安·开学考试）盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（    ）的小棒才能围成一个三角形 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长为， 则， 即， 故选：C 【点睛】此题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期中）下列各组中的三条线段能组成三角形的是（  ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，5，9 D．3，9，7 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算，可选出答案． 【详解】解：A、∵3+4＜8，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、∵5+6=11，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、∵4+5=9，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、∵3+7＞9，∴能组成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 6．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）用下列长度的3根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（    ） A．2，2，5 B．1，2，3 C．3，4，5 D．2，3，6 【答案】C 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、2+2=4＜5，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、1+2=3，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、3+4=7＞5，能组成三角形，故本选项符合题意； D、2+3=5＜6，不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 7．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（   ） A．两点之间线段最短 B．矩形的四个角时直角 C．三角形的稳定性 D．长方形的对称性 【答案】C 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉三角形稳定性的性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：木工在做完门框后，为防止门框变形，斜拉两个木条，是根据三角形具有稳定性． 故选：C． 8．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键．根据图示，三角形的性质即可求解， 【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列图形中有稳定性的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，直接由三角形具有稳定性进行作答即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性， ∴下列图形中有稳定性的是直角三角形 故选：A 10．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的（    ） A．任意两边之和大于第三边 B．任意两边之差小于第三边 C．稳定性 D．三角形三个内角的和为 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键．根据三角形的稳定性可以解答． 【详解】解：建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的稳定性． 故选：C． 11．（24-25八年级上·北京海淀·期中）一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边的长度可取的整数值为 （写出一个即可）． 【答案】4，5，6（写出一个即可） 【分析】由构成三角形三边成立的条件可得第三条边的取值范围． 【详解】设第三条长为x ∵2+5=7，5-2=3 ∴3＜x＜7． 故第三条边的整数值有4、5、6． 故答案为：4，5，6（写出一个即可） 【点睛】本题考查了构成三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，关键为“任意”两边均满足此关系． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有 种． 【答案】3 【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数． 【详解】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4； 根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4． 故填：3． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例： ． 【答案】自行车的车架，衣架（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性结合日常生活作答即可． 【详解】解：三角形具有稳定性，在日常生活中自行车的车架，衣架用到三角形的这一特性． 故答案为：自行车的车架，衣架（答案不唯一） 14．（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，乐山致江路大桥于2024年12月25日顺利通车，许多市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现的知识是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解释即可． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得三角形的稳定性是解释依据， 故答案为：三角形的稳定性． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知三角形的两边长分别是3和7，如果第三边长为x（x是整数），则x最大为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，如果第三边长为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴最大整数为． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)的周长为16，是等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴； （2）∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 17．（24-25八年级上·全国·课后作业）请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明． 已知：如图，．求证：，，． 【答案】证明见解析． 【分析】利用两点之间的线段最短来证明即可． 【详解】证明：AC是以点A、点C为端点的线段， （两点之间线段最短）． 同理，． 【点睛】本题考查了三角形的三边之间的关系，即三角形的任意两边之和大于第三边，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 18．（2021七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 19．（24-25八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是的边上任意一点，求证：．    【答案】见解析 【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结论． 【详解】证明：在中，， 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系得到不等关系． 20．（23-24八年级下·河南·阶段练习）如图，菱形中，过顶点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)填空：四边形_________为正方形．（填“可能”或“不可能”） 【答案】(1)见详解 (2)不可能 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的性质，三角形三边关系的应用等知识． （1）利用菱形的性质得出，，再利用线段的和差可得出，即可证明四边形是平行四边形，再利用即可得出平行四边形为矩形． （2）由菱形的性质可得出，由三角形三边关系可得出，等量代换，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即 ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴， ∴平行四边形为矩形． （2）四边形不可能为正方形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形不可能为正方形， 故答案为：不可能． 学科网（北京）股份有限公司 $$