24.1.4 圆周角 （课件）- -2025—2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级(上)数学教学课件 第24章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角-定理、推论、圆内接四边形 【探究】如图,∠BOC是什么角,∠BAC的顶点和边有哪些特点? A C O B A C O B A C O B （两个条件必须同时具备，缺一不可） 圆周角 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 探究新知 圆周角的定义 圆内角 圆外角 圆周角： 判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. · C O B A (2) · C O B A (1) · C O A B (3) · C O B A (5) · C O A B (6) 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ · C O B A (4) 顶点不在圆上 如图,连接BO,CO,得圆心角∠BOC.通过测量试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系. 测量与猜测 A C O B A C O B A C O B 你能证明你的猜测吗？ 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 知识归纳 圆周角定理 A C O B A C O B A C O B 推导格式： ∴ ∵BC=BC. ︵ ︵ 1.如图,已知CD是⊙O的直径,⊙O的弦AB⊥CD于点 E,若∠AOD=60º，则∠BCD的度数为( ) A.30º B.40º C.50º D.60º 2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50º, ∠ABC=47º,∠AOB=______. A A E O B C D 166º B A C O 1.如图1,∠D,∠C,∠E是什么角？它们对的弧是那条弧？ O E C D B A 图1 2.∠D,∠C,∠E有什么大小关系？ 3.把你得出的结论用文字描述出来. 同弧所对的圆周角相等. 5.把你得出的结论用文字描述出来. 等弧所对的圆周角相等. 4.如图2,点A、B、C、D在同一个圆上,若AB=AC，则∠BDA与∠CDA是否相等,为什么？ ︵ ︵ A C B D O 图2 圆周角定理推论1： 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 同弧或等弧所对的圆周角相等. 知识归纳 圆周角定理的推论 1 O E C D B A 图1 A C B D O 图2 推导格式： ∴∠C=∠D ∵AB=AB. ︵ ︵ ∵∠C=∠D ∴AB=AB. ︵ ︵ 1.判断：(1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等( ) (2)相等的弦所对的圆周角也相等 ( ) 2.若∠A=44º,则∠O=____.∠D=____.若∠O=44º,则∠D=____. 3.如图,点A,B,C,D在同一个圆上,AC,BD为四边形ABCD的对角线. 完成下列填空∠1=_____.∠2=_____.∠3=_____.∠5=____. √ × 88º 22º 44º ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 O A B C D A B C D O 1 4 5 6 7 8 3 2 【例3】在⊙O中,∠CBD=30º,∠BDC=20º.求∠BAD的度数. O A B D C 解：连接AC. ∴∠BAC=∠BDC=20º,∠CAD=∠CBD=30º. ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=50º. ∵BC=BC,CD=CD. ︵ ︵ ︵ ︵ 【探究】如图,线段AB是☉O的直径,点C是☉O上的任意一点(除点A、B外),那么,∠ACB就是直径AB所对的圆周角,∠ACB会是什么特殊角? · O A C B 解：∵OA=OB=OC， ∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. ∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180º. ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180º÷2=90º. ∴△AOC、△BOC都是等腰三角形. · O A C B 圆周角定理推论2： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 知识归纳 圆周角定理的推论2、3 90º的圆周角所对的弦是直径. 推导格式： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C=90º， ∴AB是⊙O的直径， ∵∠C=90º， 一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形. 圆周角定理推论3： 【例1】如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm.∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长． A C B D O 1.如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30º,则∠A的度数为(　　) A.30º B.45º C.60º D.75º C A O C D B 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接多边形： O C D B E A O A C D B O B C D E F A 探究新知 圆内接四边形及定理 探究性质：如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,⊙O为四边形ABCD的外接圆. 【猜想】∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为： ∠A+∠C=180º,∠B+∠D=180º 【想一想】如何证明你的猜想呢？ A O C B D 方法一：把圆周角转化为圆心角； 方法二：把圆周角转化为弧. 圆内接四边形定理: 推导格式： ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º. 圆的内接四边形的对角互补. 1.如图,在⊙O中,∠BOD=120º,那么∠BCD是( 　) A.120º B.100º C.80º D.60º 2.四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠A=110º, ∠B=80º,则∠C= ,∠D= . 3.四边形ABCD内接于⊙O,∠A:∠C=1:3,则∠A=_____. 4.四边形ABCD内接于⊙O,AC垂直平分BD,∠BAC=40º,则∠BCD=___ A 70º 100º 45º 100º B O D A C C O D B A E 想一想 图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 圆内接四边形定理推论： 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 推导格式： ∵四边形ABCD内接于⊙O. ∴∠DCE=∠A. 探究新知 圆内接四边形定理的推论 【例3】如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G. 求证：∠FGD=∠ADC. O D E G A B C F 证明：∵AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E, ∴∠FGD=∠ADC. ∴∠FGD=∠ACD. ∴弧AC=弧AD, ∴∠ADC=∠ACD, ∵四边形ACDG内接于⊙O, 如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138º,则它的外角∠DCE等于( ) A.69º B.42º C.48º D.38º A D C B E O A 1.如图,AB是⊙O的直径,C,D在⊙O上,∠ABD=40º,则∠BCD=_____. 2.如图,△ABC内接于⊙O上,∠C=30º,AB=2,则⊙O的半径是_____. 3.等边△ABC内接于⊙O,P是⊙O上的一点,且不与A、B重合,则∠APB=___________. 4.若弧BC的度数为100º,点A在⊙上则∠BOC=___,∠BAC=________ 50º A B O C D C A B O 2 120º或60º 100º 50º或130º 圆周角 圆周角 定理 推论1 1.顶点在圆上 2.两边都与圆相交的角 同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 圆周角 推论3 90º的圆周角所对的弦是直径. 圆内接 四边形 定理：圆内接四边形的对角互补. 推论：圆内接四边形的外角等于它的内对角. $$