第10讲 函数的表示-【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第10讲 函数的表示 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：函数的表示方法 考点2：求函数解析式 考点3：常规分段函数 考点4：函数图像及其运用 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】函数的表示法 1．函数的表示法 表示法 含义 优点 缺点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 简洁、全面地概括了两个变量的关系，求函数值比较方便 不够形象、直观且有的函数没有解析式 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 无需计算，查表就能得到函数值 只能表示自变量取值个数较少的函数 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 可以直观地表示函数值的变化趋势，有利于研究函数的性质 不够精确，只能近似地求出诸多函数值；有的函数也无法画出图象 2．描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点（x，f（x）），在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 【知识点2】分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 【注意】 1．分段函数是一个函数，而不是几个函数; 2．分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段函数值取值范围的并集; 3．书写时，用一个大括号把各段合并，写成一个函数的形式，并指出各段函数自变量的取值范围; 4．处理分段函数问题时，应先明确自变量在哪一段再选择相应的对应关系来分析: 5．画分段函数图象时，先在同一坐标系下根据每一段上的解析式画出各段的图象，再组合到一起 要特别注意各段端点是否包括在内，若是，则用实心圆点表示，否则，用空心圆圈表示 【知识点3】函数解析式的求法 1．待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2．换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3．配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g（x），便得的解析式． 4．方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式．例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：函数的表示方法 【例1】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论. 【详解】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 【例2】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数由下表给出，则等于（    ） x 1 2 3 4 2 3 4 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据函数的对应关系，求得，再求，即可求得答案. 【详解】由已知，得， 所以. 故选：B. 【例3】一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示，，，，工人从点向点移动，并沿着垂直于的方向喷洒农药，记工人距点的距离为，已喷洒农药的农田面积为，则与之间的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】分类讨论和时的函数解析式，由此可求与之间的函数解析式. 【详解】过作于，则，则为等腰直角三角形， 当时，； 当时，， 综上所述，与之间的函数解析式为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【详解】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·浙江·期中）图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（   ） A．（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价. B．（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价. C．（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变. D．（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变. 【答案】A 【分析】当乘客量为0时，看成本变化，直线的倾斜程度看票价变化. 【详解】解：（2）直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线平行，说明票价不变； （3）：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜角变大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了. 故选：A 【变式3】根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 【答案】 【分析】根据定义域和值域直接构造函数即可. 【详解】的定义域包含数集，值域包含数集， 对于每一组数据，都有， 可令，代入均满足题意． 故答案为：. 考点2：求函数解析式 【例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 【答案】 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【例5】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 【例6】已知，则的解析式为______________． 【答案】 【解析】令，则，∴，故答案为：． 【变式1】已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【分析】设函数解析式为，应用待定系数法计算求参即可求解. 【详解】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． 【变式2】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期中）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，得到，对照系数得到方程组，求出，得到解析式； （2）换元法求解，令，得到，求出解析式. 【详解】（1）设，故， 所以，解得， 所以； （2）令，则， 故， 故. 【变式3】求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 考点3：常规分段函数 【例7】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若函数，则 . 【答案】/0.25 【分析】直接代入求值即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 【变式1】已知函数，若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况即可求解. 【详解】当，即时， 由得， 所以； 当，即时， 由，解得. 故答案为：或. 【变式2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的表达式求出. 【详解】因为函数，所以. 故答案为：. 【变式3】已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 【答案】（1）；（2）图象见解析. 【解析】（1），，则； （2）函数的图象如下图所示： 考点4：函数图像及其运用 【例8】向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案. 【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C选项的图象符合条件， 故选：C. 【变式1】已知A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由等边三角形可知，线段的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；对于C，由扇形可知，线段长度先增大，再不变，后减小，故C错误：对于D，由圆可知，线段的长度不会呈线性变化，故D错误；对于B，由正方形可知，线段的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确． 【变式2】某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项. 【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越大， 然后高度的增加量越来越小，最后高度一定，故C符合题意. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】考察函数的定义域，以及图象过原点，当时，，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，，可得，故函数的定义域为， 当时，，即函数的图象过原点，排除B选项； 当时，，则，排除AD选项. 故选：C. 模块三 知识检测 考点1：函数的表示方法 1．（2024高二下·福建·学业考试）某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出生产成本与产量的函数关系，再代入求出函数值. 【详解】令生产零件件的成本为元， 当时，， 当时，， 因此，当时，， 所以当时，生产成本为1750元. 故选：B 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数表示为： x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据自变量所在区间判断出的值，然后根据表中数据可知值域. 【详解】因为满足，所以， 由表中数据可知：的取值仅有三个值：，所以的值域为. 故选：B. 4．已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 【答案】 1 3 【分析】根据函数和表格中的数据中的对应关系，即可求解. 【详解】根据函数和表格中的数据，可得： 由和，可得，所以； 又由，所以. 故答案为：；. 5．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数，则＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 【答案】0 【分析】根据给定的数表，直接计算得解. 【详解】依题意，有. 故答案为：0. 考点2：求函数解析式 6．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 7．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 【答案】 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 8．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】换元法求解函数解析式. 【详解】令，则，故，故 故答案为： 9．若函数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得. 【详解】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. 10．（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 11．已知函数满足，则函数 ． 【答案】 【分析】构造关于的方程组后可解得. 【详解】由题知用代换得到，， 与两式联立，消去， 解得． 故答案为：. 考点3：常规分段函数 12．（多选）（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则或 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域为 【答案】AD 【分析】根据分段函数的定义及性质依次判断各选项即可. 【详解】对A，，故A正确； 对B，由，若，则，解得，不合题意， 若，则，解得，故B错误； 对C，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D，当时，的值域是， 当时，的值域为， 所以函数在上的值域为，故D正确. 故选：AD. 13．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数则 ． 【答案】/ 【分析】利用分段函数解析式先求，再求的值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·期末）设函数，则 . 【答案】 【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，可得 ，将代入即可求解. 【详解】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故答案为：6. 15．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数则＝ 【答案】10 【分析】利用分段函数求值即可. 【详解】由已知得． 故答案为： . 考点4：函数图像及其运用 16．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数的图象如图所示，，则（    ） A．-1或3 B．4 C．-1 D．不存在 【答案】B 【分析】根据函数图象，依次求解即可. 【详解】根据函数图象，由知，，或， 当，；当，不存在， 故选：. 17．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的对称和翻折的性即可求解. 【详解】由图②可知，将在的图象沿着轴对称得到， 然后再沿着轴翻折，即可得到. 故选：B 18．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化成或，结合图象即可求解. 【详解】由图象可知当时， 可得：或 也即：或， 当时， 可得：或， 也即：或， 所以可转化成： 解得：或， 或解得：， 综上可知：原不等式的解集为：. 故选：B 19．（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【分析】根据函数图像的意义逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，充电结束时，由图像可知，电量是，A选项正确； B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为，B选项错误； C选项，由图像，内电量下降的速度平均为， 内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确. 故选：ACD 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 2．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知的图象恒过点，则函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据函数图象过点可得答案. 【详解】因为的图象恒过点，所以当时，， 即函数的图象恒过点． 故答案为：． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 【答案】 【分析】求出泳池正常使用时的总水量和随时间变化排出的水量，即可求出与之间的函数解析式. 【详解】由题，泳池正常使用时总的水量为，随时间的推移排出的水量为， 又因为泳池排完所有水总共用时为， 故泳池内水面高度与时间之间的函数解析式为． 4．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【详解】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 【答案】 【分析】由函数为一次函数可设，再结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】因为是一次函数， 可设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以的解析式是． 6．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设，则. ，解得，或， 或. （2）令，则，， 即. 7．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）求下列函数的解析式. (1)已知函数，求； (2)已知是一次函数，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法，设，代入已知式求解； （2）设，代入已知条件求得参数值得解． 【详解】（1）因为函数， 令则， 因为，所以， 所以. （2）设，由得，则， 又因为，所以，解得， 所以． 8．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解； （2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得： ， 通过消元可得. （2）由题意可得， 因为的图象的对称轴为，在上单调递增， 所以， ， 所以在上的值域为. 9．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【详解】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 第10讲 函数的表示 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：函数的表示方法 考点2：求函数解析式 考点3：常规分段函数 考点4：函数图像及其运用 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】函数的表示法 1．函数的表示法 表示法 含义 优点 缺点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 简洁、全面地概括了两个变量的关系，求函数值比较方便 不够形象、直观且有的函数没有解析式 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 无需计算，查表就能得到函数值 只能表示自变量取值个数较少的函数 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 可以直观地表示函数值的变化趋势，有利于研究函数的性质 不够精确，只能近似地求出诸多函数值；有的函数也无法画出图象 2．描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点（x，f（x）），在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 【知识点2】分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 【注意】 1．分段函数是一个函数，而不是几个函数; 2．分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段函数值取值范围的并集; 3．书写时，用一个大括号把各段合并，写成一个函数的形式，并指出各段函数自变量的取值范围; 4．处理分段函数问题时，应先明确自变量在哪一段再选择相应的对应关系来分析: 5．画分段函数图象时，先在同一坐标系下根据每一段上的解析式画出各段的图象，再组合到一起 要特别注意各段端点是否包括在内，若是，则用实心圆点表示，否则，用空心圆圈表示 【知识点3】函数解析式的求法 1．待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2．换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3．配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g（x），便得的解析式． 4．方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式．例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：函数的表示方法 【例1】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数由下表给出，则等于（    ） x 1 2 3 4 2 3 4 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【例3】一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示，，，，工人从点向点移动，并沿着垂直于的方向喷洒农药，记工人距点的距离为，已喷洒农药的农田面积为，则与之间的函数解析式为 ． 【变式1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（    ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·浙江·期中）图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（   ） A．（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价. B．（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价. C．（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变. D．（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变. 【变式3】根据列表中的数据选择合适的模型，则函数 ． 考点2：求函数解析式 【例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 【例5】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【例6】已知，则的解析式为______________． 【变式1】已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【变式2】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期中）（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； 【变式3】求下列函数的解析式． （1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知，求． 考点3：常规分段函数 【例7】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若函数，则 . 【变式1】已知函数，若，则x的值为 ． 【变式2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数，则 . 【变式3】已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 考点4：函数图像及其运用 【例8】向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【变式1】已知A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   模块三 知识检测 考点1：函数的表示方法 1．（2024高二下·福建·学业考试）某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数表示为： x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 5．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数，则＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 考点2：求函数解析式 6．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 7．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 8．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知，则 ． 9．若函数满足，则 ． 10．（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 11．已知函数满足，则函数 ． 考点3：常规分段函数 12．（多选）（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则或 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域为 13．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数则 ． 14．（24-25高一上·上海·期末）设函数，则 . 15．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数则＝ 考点4：函数图像及其运用 16．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数的图象如图所示，，则（    ） A．-1或3 B．4 C．-1 D．不存在 17．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（   ）    A． B． C． D． 18．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的值为 ． 2．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知的图象恒过点，则函数的图象恒过点 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 4．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 6．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 7．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）求下列函数的解析式. (1)已知函数，求； (2)已知是一次函数，，求. 8．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 9．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】函数的表示法 1．函数的表示法 表示法 含义 优点 缺点 解析法 用数学表达式表示两个 变量之间的对应关系 简洁、全面地概括了两个变量 的关系，求函数值比较方便 不够形象、直观且有的函数没有解 析式 列表法 列出表格来表示两个变 量之间的对应关系 无需计算，查表就能得到函数 值 只能表示自变量取值个数较少的函 数 图象法 用图象表示两个变量之 间的对应关系 可以直观地表示函数值的变化 趋势，有利于研究函数的性质 不够精确，只能近似地求出诸多函 数值；有的函数也无法画出图象 2．描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量 x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点（x，f（x）），在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 【知识点 2】分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量 x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义 域的交集是空集． 3．分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象， 再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段 函数，然后作出函数的图象． 【注意】 1．分段函数是一个函数，而不是几个函数; 2．分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段函数值取值范围的并集; 3．书写时，用一个大括号把各段合并，写成一个函数的形式，并指出各段函数自变量的取值范围; 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 4．处理分段函数问题时，应先明确自变量在哪一段再选择相应的对应关系来分析: 5．画分段函数图象时，先在同一坐标系下根据每一段上的解析式画出各段的图象，再组合到一起 要特别注意各段端点是否包括在内，若是，则用实心圆点表示，否则，用空心圆圈表示 【知识点 3】函数解析式的求法 1．待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2．换元法：主要用于解决已知   f g x 的解析式，求函数  f x 的解析式的问题． （1）先令  g x t ，注意分析 t的取值范围； （2）反解出 x，即用含 t的代数式表示 x； （3）将   f g x 中的 x度替换为 t的表示，可求得  f t 的解析式，从而求得  f x ． 3．配凑法：由已知条件     f g x F x ，可将  F x 改写成关于  g x 的表达式，然后以 x替代 g（x），便 得  f x 的解析式． 4．方程组法：主要解决已知  f x 与  f x 、 1f x       、 1f x      ……的方程，求  f x 解析式．例如：若条件 是关于  f x 与  f x 的条件（或者与 1f x       ）的条件，可把 x代为 x （或者把 x代为 1 x ）得到第二个式子， 与原式联立方程组，求出  f x ． 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：函数的表示方法 【例 1】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度 h与时间 t满足的函数图象是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - A． B． C． D． 【例 2】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数  f x 由下表给出，则  1f f  等于（ ） x 1 2 3 4  f x 2 3 4 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【例 3】一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示， 120mAB  ， 60mBC  ， 60mCD  ，工人从A点向 B点移动，并沿着垂直于 AB的方向喷洒农药，记工人距A点的距离 为 mx ，已喷洒农药的农田面积为 2my ，则 y与 x之间的函数解析式为 ． 【变式 1】（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数    f x g x、 列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） x 1 2 3 4  f x 2 3 4 1 x 1 2 3 4  g x 2 4 1 3 A．   1 4f f  B．   1 1g g  C．   1 3f g  D．   1 2g f  【变式 2】（24-25高一上·浙江·期中）图（1）是某条公共汽车线路收支差额 y关于乘客量 x的图象 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是 （ ） A．（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价. B．（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价. C．（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变. D．（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变. 【变式 3】根据列表中的数据选择合适的模型，则函数  f x  ． x 1 2 4 6  f x 6 3 1.5 1 考点 2：求函数解析式 【例 4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数  f x 满足     22 2 2f x f x x    ，则函数  f x 的解析式为 【例 5】（24-25 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数 ( )f x 的定义域为 R，且满足 2( ) 2 ( )f x f x x x    ， 则 ( )f x 的解析式是 ( )f x  ． 【例 6】已知 2( 1)f x x  ，则 ( )y f x 的解析式为______________． 【变式 1】已知  f x 是一次函数．且    2f f x x  ．求函数  f x 的解析式． 【变式 2】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期中）（1）已知  f x 是一次函数，且 ( 1) 6 4f x x   ，求  f x 的 表达式； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - （2）已知   21 2f x x x   ，求  f x 的表达式； 【变式 3】求下列函数的解析式． （1）已知 2( ) 2f x x x  ，求 (2 1)f x  ； （2）已知 ( 1) 2f x x x   ，求 ( )f x ； （3）已知 1( ) 2 3 2f x f x x        ，求 ( )f x ． 考点 3：常规分段函数 【例 7】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若函数   2 1, 0 1 , 0 1 x x f x x x        ，则 ( ( 2))f f   . 【变式 1】已知函数   2 1, 0 1 , 0 x x f x x x        ，若  2 1 3f x   ，则 x的值为 ． 【变式 2】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知函数   1 , 0 1 , 0 x x xf x x x x         ，则 1 2 f       . 【变式 3】已知函数   2 4, 0 2 ,0 4 2, 4 x x f x x x x x x          ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - （1）求   5f f 的值； （2）画出函数  f x 的图象． 考点 4：函数图像及其运用 【例 8】向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间 的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1】已知 A为某封闭图形边界上一定点，动点 P从点 A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点 P 运动的时间为 x，线段 AP的长度为 y，表示 y与 x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - A． B． C． D． 【变式 2】某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间 间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度 y与时间  0t t t 时刻恰好倒满 的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式 3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数 1 x y x   的图象大致为（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - A． B． C． D． 模块三 知识检测 考点 1：函数的表示方法 1．（2024高二下·福建·学业考试）某工厂生产零件 x件，当 10x 时，每生产 1件的成本为 100元，超过 10件时，每生产 1件的成本为 150元，当 x=15时，生产成本为（ ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数  y f x 的对应关系如下表，函数  y g x 的图象是如下图的 曲线 ABC，其中      1,3 , 2,1 , 3,2A B C ，则  2[ ]f g （ ） x 1 2 3  f x 2 3 0 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - A．3 B．2 C．1 D．0 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在  2 2 , 上的函数  y f x 表示为： x  2,0 0  0,2 y 1 0 2 设  1f m ，  f x 的值域为 M，则（ ） A．  1, 2,0,1m M   B．  2, 2,0,1m M    C．  1, | 2 1m M y y     D．  2, | 2 1m M y y      4．已知函数 ( )f x ， ( )g x 分别由下表给出 x 1 2 3 ( )f x 2 3 1 ( )g x 3 2 1 （1）则当 ( ( )) 2g f x  时， x  ． （2）则 ( (2))f g  ． 5．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知下列表格表示的是函数  y f x ，则   1f f  ＝ ． x -2 -1 0 2 y 3 2 1 0 考点 2：求函数解析式 6．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知  1 2f x x   ，则函数  f x 的解析式为（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - A．   2f x x B．   2 1f x x  （ 1x  ） C．   2 2 2f x x x   （ 1x  ） D．   2 2 3x x xf    （ 1x  ） 7．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数  f x 对任意 x满足    3 2 4f x f x x   ，则  f x  . 8．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知 2(2 ) 2f x x  ，则 ( )f x  ． 9．若函数  f x 满足   12 2f x f x x        ，则  f x  ． 10．（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在R 上的函数  f x 满足    3 12 2f x f x x    ，则函数  f x 的解析式是 ． 11．已知函数  f x 满足     22 6 7f x f x x x     ，则函数  f x  ． 考点 3：常规分段函数 12．（多选）（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知函数   2 3, 3 2 , 3 x x f x x x x        ，则（ ） A．  1 3f   B．若   1f a  ，则 1a  或 4a   C．函数  f x 在  ,  上单调递减 D．函数  f x 在 0,4 上的值域为  1,3 13．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 2 2, 1 ( ) 1 1, 1 x x f x x x x         则 1 2 f f        ． 14．（24-25高一上·上海·期末）设函数   2 0 1 2 0 x x x f x x x        ， ， ，则   1f f   . 15．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知函数   2 2 3 2 x x f x x x       ， ， ， ， 则    2 3f f  ＝ 考点 4：函数图像及其运用 16．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数  f x 的图象如图所示，    2f f x  ，则 x （ ） A．-1或 3 B．4 C．-1 D．不存在 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 17．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为  y f x ，则图②对应的函数是（ ） A．  y f x  B．  y f x   C．  y f x  D．  y f x   18．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数  f x 的图象如图所示，则关于 x的不等式  1 0x f x   的解集为 （ ） A．    , 2 2,     B．      , 1 0,1 3,      C．    0,1 2,   D．      , 2 0,1 2,      19．（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试 6小时结束）， 得到了剩余电量 y（单位：百分比）与测试时间 t（单位： h）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的 有（ ） A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在5h时电量为 0 C．该手机在0h 3h 内电量下降的速度比3h 5h 内下降的速度更快 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - D．该手机在5h 6h 进行了充电操作 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数      2 2 1 2 1 x x x f x x x       ，则   1f f  的值为 ． 2．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知  f x 的图象恒过点( )1, 1- ，则函数  3f x  的图象恒过点 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）一个游泳池的底面是一个正方形，边长为 ma ，泳池正常使用时水面高 度为 mH ，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是 3m minv ，求泳池内水面高 度 mh 与时间 mint 之间的函数解析式． 4．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数  f x 满足    1 4 3f x f x x    ，且  f x 的图象经 过点 13(2, ) 2 A  . (1)求  f x 的解析式； (2)若对 x R ，不等式  f x mx 恒成立，求实数m的取值范围. 5．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知  f x 是一次函数且    3 1 2 1 2 17f x f x x     ，求  f x 的 解析式． 6．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·期中）（1）已知  f x 是一次函数，且    9 4f f x x  ，求  f x 的解析式； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - （2）已知函数   21 2f x x x   ，求  f x 的解析式； 7．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）求下列函数的解析式. (1)已知函数 2( 1) 2 4 3( 1)f x x x x     ，求 ( )f x ； (2)已知 ( )f x 是一次函数， (0) 1, ( 1) ( ) 2f f x f x    ，求 ( )f x . 8．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数  f x 满足    3 2 1f x f x x    . (1)求  f x 的解析式； (2)求函数    g x xf x  在  2,4 上的值域. 9．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数   2 2 , 0 ,0 2 1 3 , 2 2 x x f x x x x x x             ． (1)求  0f ，  2f ，   2f f 的值； (2)若   1f m   ，求m的值； (3)作出函数 ( )f x 的大致图象，并求 1x  时， ( )f x 的值域． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 14 -