12.2 第1课时 正比例函数的图象与性质-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

17 xy=-8,所以(m-2n)· n-m2 =-8.整理,得(m- 2n)2=16.所以m-2n=±4.因为点A 在第四象限, 所以x>0,即m-2n>0.所以m-2n=4. 第12章　函数与一次函数 12.1 函 数 知识梳理 1. 不同的数值 数值保持不变 2. 唯一确定 自变量 3. (1) 自变量 对应函数值 (2) 数学式子 (3) 两个 变量间 4. (1) 全体实数 (2) 不为0 (3) 公共部分 (4) 实际意义 5. 列表 描点 连线 典例演练 典例1 D 典例2 (1) 根据图象,可知该旅行者9时、10时30分、 11时离开市区的距离分别是5千米、8千米、10千米. (2) 根据图象,可知他停下来休息时离开市区的距离是 8千米.(3) 根据图象,可知郊区与市区之间的距离为 14千米.(4) 根据图象,可知该旅行者距离市区5千米时 是9时.因为上坡时,1小时走了3千米,所以走1千米用 了(6-5)÷3=13 (小时).因为13 小时=20分钟,所以该 旅行者离开市区6千米时的时间为9时+20分钟=9时 20分. 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. C 解析:由图象,得甲比乙早1min出发,故选项A正 确,不符合题意.由图象,得甲、乙两人相遇时,甲行驶的时 间为2min,乙行驶的时间为1min,所以乙的速度是甲的 速度的2倍,故选项B正确,不符合题意.设乙用时xmin 到达B地,则甲用时(x+5+1)min到达B地.因为乙的 速度是甲的速度的2倍,所以乙用的时间是甲用的时间的 一半,即2x=x+5+1,解得x=6.所以甲用时12min,故 选项C错误,符合题意.若甲出发时的速度为原来的2倍, 则此时甲、乙两人的速度相同.因为甲比乙早1min出发, 所以甲比乙提前1min到达B地,故选项D正确,不符合 题意. 5. C 6. y=(12-x)x 7. (1) ①③. 解析:由图象,可知体育场离小强家 2.5km,所以①正确.由图象,可知小强从第15分钟开始 锻炼,第30分钟结束.所以小强锻炼的时间为30-15= 15(min).所以②不正确.由图象,可知小强从第67分钟开 始吃早餐,第87分钟结束.所以小强吃早餐用时87- 67=20(min).所以③正确.综上所述,正确的是①③. (2) 由图象,可知小强从第87分钟开始骑车去往3km外 的学校,第102分钟到达学校.所以小强骑自行车的用时 为102-87=15(min).所以小强骑自行车的平均速度是 3÷15=0.2(km/min). 8. (1) ① 如图.② 由函数图象,得当x=4时,y 的值 为200,当y的值最大时,x=21.(2) 答案不唯一,如① 当 3≤x≤7时,y随x 的增大而增大;② 当x=14时,y 有 最小值,为80.(3) 由图象,可知当y=260时,x=5或 x=10或x=18或x=23.所以当5<x<10或18<x< 23时,y>260,即当天5时至10时或18时至23时,适合 货轮进出该港口. 第8题 12.2 一次函数 第1课时　正比例函数的图象与性质 知识梳理 1. kx+b 2. kx 3. 原点 y=kx 一、三 二、四 5. 增大 上升 减小 下降 典例演练 典例1 (1) 由一次函数的定义,得2-|m|=1,解得 m=±1.又因为m+1≠0,所以m≠-1.所以当m=1,n 为任意实数时,此函数是一次函数.(2) 由正比例函数的 定义,得2-|m|=1,n+4=0,解得m=±1,n=-4.又 因为m+1≠0,所以m≠-1.所以当m=1,n=-4时,此 函数是正比例函数. 典例2 (1) 把(-1,2)代入y=kx,得2=-k,解得 k=-2.所以该正比例函数的表达式为y=-2x.(2) 把 x=2代入y=-2x,得y=-4.因为-4≠-2,所以点 (2,-2)不在此函数的图象上. 预学训练 1. D 2. A 3. C 4. C 5. C 6. A 7. D 8. B 9. D 10. B 解析:因为3>0,所以点A(3,m)在第一或第四象 限.因为-2<0,所以点B(n,-2)在第三或第四象限. 因为点A(3,m),B(n,-2)在不同的象限,所以点A,B 分别在第一、三象限.所以m>0,n<0. 11. -3 12. -2 13. 3 14. > 15. -8≤y≤6 解析:把(2,-4)代入y=kx,得-4= 2k,解得k=-2.所以正比例函数的表达式为y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 -2x.当x=-3时,y=-2x=6;当x=4时,y= -2x=-8.所以当-3≤x≤4时,y 的取值范围是-8≤ y≤6. 16. 二、四 解析:因为ab<0,所以ab<0. 所以函数y= a bx 的图象经过第二、四象限. 17. 一、三 解析:由点P(m,n)在第三象限,得m<0, n<0,所以mn>0. 所以正比例函数y= m nx 的图象经过 第一、三象限. 18. (1) 因为正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点 (3,-6),所以-6=3k,解得k=-2.所以这个函数的表 达式为y=-2x.(2) 函数图象如图所示.(3) 把x=4代 入y=-2x,得y=-2×4=-8≠-2,所以点A(4, -2)不在这个函数的图象上.把x=-1.5代入y= -2x,得y=-2×(-1.5)=3,所以点B(-1.5,3)在这 个函数的图象上.(4) 因为k=-2<0,所以y随x 的增 大而减小.又因为x1>x2,所以y1<y2. 第18题 19. 1 3 解析:因为y随x 的减小而减小,所以k>0,当 x=-3时,y=-1.将x=-3,y=-1代入y=kx,得 -1=-3k,解得k=13. 20. (1) 2 3. 解析:因为正方形ABCD 的边长为2,所 以AB=AD=CD=2.在直线y=2x中,当y=2时,x= 1.所以OA=1.所以OD=1+2=3.所以点C 的坐标 为(3,2).将C(3,2)代入y=kx,得2=3k,解得k= 2 3. (2) k的值不会发生变化.理由:因为正方形的边长为a, 所以AB=AD=CD=a.在直线y=2x 中,当y=a时, x=a2. 所以OA=a2. 所以OD=a2+a= 3 2a. 所以点C 的坐标为 3 2a ,a .将C 32a,a 代入y=kx,得a=k× 3 2a ,解得k=23. 所以k的值不会发生变化. 第2课时　一次函数的图象与性质 知识梳理 1. y=kx y=kx+b 2. (0,b) b 3. |b| 上 下 4. 增大 上升 减小 下降 典例演练 典例1 列表: x 0 1 y=2x 0 2 y=2x+1 1 3 y=2x-1 -1 1 描点、连线,画出函数图象如图所示.由图象可以看出,直 线y=2x+1,y=2x-1都平行于直线y=2x,将直线 y=2x向上平移1个单位长度可得直线y=2x+1,向下 平移1个单位长度可得直线y=2x-1. 典例1图 典例2 (1) 因为y 随x 的增大而减小,所以6+3m< 0.所以m<-2.所以当m<-2时,y 随x 的增大而减 小.(2) 因为一次函数 y=(6+3m)x+(n-4)的图象与 y轴的交点在x 轴的下方,所以6+3m≠0,n-4<0. 所以m≠-2,n<4.所以当m≠-2,n<4时,函数的图象 与y轴的交点在x轴的下方.(3) 因为一次函数 y=(6+ 3m)x+(n-4)的图象经过原点,所以6+3m≠0,n-4= 0.所以m≠-2,n=4.所以当m≠-2,n=4时,函数的图 象经过原点.(4) 因为一次函数 y=(6+3m)x+(n- 4)的图象不经过第四象限,所以6+3m>0,n-4≥0,解 得m>-2,n≥4.所以当m>-2,n≥4时,函数的图象不 经过第四象限. 预学训练 1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 6. C 7. B 解析:当点A 的坐标为(-1,2)时,代入,得-k+ 3=2,解得k=1>0.所以y随x的增大而增大.故选项A 不符合题意.当点A 的坐标为(1,-2)时,代入,得k+ 3=-2,解得k=-5<0.所以y随x的增大而减小.故选 项B符合题意.当点A 的坐标为(2,3)时,代入,得2k+ 3=3,解得k=0.故选项C不符合题意.当点A 的坐标 为(3,4)时,代入,得3k+3=4,解得k=13>0. 所以y随 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 12.2　一次函数 第1课时 正比例函数的图象与性质 1. 一般地,形如y= (k,b为常数, 且k≠0)的函数叫作一次函数. 2. 当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y= kx(k为常数,且k≠0).形如y= (k 为常数,且k≠0)的函数叫作正比例 函数. 3. 一般地,正比例函数y=kx(k 为常数,且 k≠0)的图象是一条经过 的直线, 通常我们把正比例函数y=kx(k为常数,且 k≠0)的图象叫作直线 .当k>0 时,图象经过第 象限;当k<0时, 图象经过第 象限. 4. 因为两点确定一条直线,所以画正比例函数 的图象只要先描出两点,再过这两点画直线 即可. 5. 一般地,正比例函数y=kx(k 为常数,且 k≠0)有下列性质:当k>0时,y 随x 的增 大而 (图象是自左向右 的);当k<0时,y 随x 的增大而 (图象是自左向右 的);|k|越大,y 随x的增大而增大(或减小)的速度越快. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P37练习第1题变式)已知关于x 的函数y=(m+1)x2-|m|+n+4. (1) 当m,n为何值时,此函数是一次函数? (2) 当m,n为何值时,此函数是正比例函数? (1) 根据一次函数中自变量的次数为1, 系数不为0,列关于m 的方程和不等式即可求 解.(2) 根据正比例函数中自变量的次数为1, 系数不为0,且常数项等于0,分别列关于m,n 的方程和关于m 的不等式即可求解. 解答: 解有所悟:正比例函数是一次函数的特例,但一次 函数不一定是正比例函数.如果本题只考虑2- |m|=1这个条件,而忽略自变量的系数不为0这 个条件,那么会产生错解. 典例2 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象 经过点(-1,2). (1) 求该正比例函数的表达式; (2) 点(2,-2)是否在此函数的图象上? (1) 把已知点的坐标代入求出k的值,即 可确定函数表达式.(2) 把x=2代入表达式计 算,求出y的值,即可判断. 解答: 解有所悟:(1) 求正比例函数的表达式时,若已给出 函数表达式的形式,则只要找到图象上一点,将其 坐标代入表达式,即可求出k的值;若未给函数表 达式,则需设出函数表达式,再找出图象上一点,将 其坐标代入表达式,即可求出k的值.(2) 判断一个 点是否在函数图象上,只要将点的横坐标代入函数 表达式,计算出y 的值.若y 的值等于此点的纵坐 标,则点在函数图象上;若y 的值不等于此点的纵 坐标,则点不在函数图象上. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 64 [基础过关] 1. 下列函数中,y是x的正比例函数的是 ( ) A. y=x-1 B. y= 3 x C. y=2x2 D. y=3x 2. 如果函数y=(k-2)x|k-1|是x的正比例函 数,那么k的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 0或2 D. 2 3. 下列变量之间的关系,一个变量是另一个变 量的正比例函数关系的是 ( ) A. 圆的面积S随半径r的变化而变化 B. 用10m长的绳子围成一个长方形,其中 一边的长y(m)随它邻边的长x(m)的 变化而变化 C. 正方形的周长C 随边长a的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油50L,行驶过程中油 箱中的油量Q(L)随行驶路程s(km)的 变化而变化 4. 正比例函数y=-3x 在平面直角坐标系中 的大致图象是 ( ) A B C D 5. 下列正比例函数中,y 随x 的增大而减小 的是 ( ) A. y=8x B. y=0.6x C. y=(2-3)x D. y= 2 5x 6. 若正比例函数y=- 1 2x 的图象经过点 P(m,1),则m 的值为 ( ) A. -2 B. -12 C. 1 2 D. 2 7. 正比例函数y=-5x的图象经过的象限是 ( ) A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 8. 若正比例函数y=-3mx 的值随x 的增大 而增大,则点Q(m,2)在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 已知正比例函数y=- x 2 ,下列结论正确 的是 ( ) A. 图象是一条射线 B. 图象必经过点(-1,2) C. 图象经过第一、三象限 D. y随x的增大而减小 10. 若一个正比例函数的图象经过不同象限的 两点A(3,m),B(n,-2),则一定有( ) A. m>0,n>0 B. m>0,n<0 C. m<0,n>0 D. m<0,n<0 11. 已知y=(m-3)x+9-m2是正比例函数, 则m= . 12. 如果正比例函数y=mxm 2-3 的图象在第 二、四象限,那么m 的值是 . 13. 已知正比例函数y=(2-m)x|m-2|,若y 随x的增大而减小,则m 的值是 . 14. 已知点P1(1,y1),P2(2,y2)在正比例函数 y=- 1 4x 的图象上,则y1 y2(填 “>”“<”或“=”). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 65 15. 正比例函数y=kx的图象经过点(2,-4), 且x的取值范围是-3≤x≤4,则y的取值 范围是 . 16. 已知ab<0,则函数y= a bx 的图象经过第 象限. 17. 已知点P(m,n)在第三象限,则正比例函数 y= m nx 的图象经过第 象限. 18. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过 点(3,-6). (1) 求这个函数的表达式; (2) 直接在如图所示的平面直角坐标系中 画出这个函数的图象; (3) 判断点A(4,-2),B(-1.5,3)是否在 这个函数的图象上; (4) 已知图象上两点C(x1,y1),D(x2, y2),x1>x2,比较y1,y2的大小. 第18题 [综合提升] 答案讲解 19. 已知正比例函数y=kx(k 是常 数,k≠0),当-3≤x≤1时,对应 的y的取值范围是-1≤y≤ 1 3 , 且y 随x 的减小而减小,则k 的值为 . 答案讲解 20. 如图,四边形ABCD 是正方形,点 B,C 分别在直线y=2x 和直线 y=kx上,A,D 是x轴上两点. (1) 如果此正方形的边长为2,那么k= . (2) 若此正方形的边长为a,当a的值变化 时,k的值是否会发生变化? 若不会发生变 化,请说明理由;若会发生变化,试求出a 的值. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备