专题8 平行线中与角有关的计算问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

43 专题八　平行线中与角有关的计算问题 平行线是初中数学的重要基础知识,运用平行线的性质与判定能解决求角问题以及判断两 条直线是否平行等问题.如果题中有平行线存在,那么总有相等的角存在;如果题中没有平行线, 那么可以通过判定两直线平行或者构造平行线得到相等的角. 类型一 平行线的性质与判定 1. (长沙中考)如图,在三角形ABC中,∠BAC= 60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第1题 第2题 2. (陕西中考)如图,l∥AB,∠A=2∠B.如果 ∠1=108°,那么∠2的度数为 ( ) A. 36° B. 46° C. 72° D. 82° 3. (徐州中考)如图,在三角形ABC中,若DE∥ BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG= 115°,则∠C= . 第3题 4. 如图,∠ABD=∠EFD,∠FEC 与∠ECD 互补,当∠FEC=150°,∠ABC=46°时, ∠BCE 的度数为 . 第4题 答案讲解 5. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,∠B=80°,AE 平分∠BAD, 交BC 于点E,∠BCD=50°. (1) 求∠BAD 的度数; (2) 试说明:AE∥DC. 第5题 6. 如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,求 ∠2的度数. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 44 类型二 过一个拐点作平行线 7. (泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形 ABC 的两个顶点B,C 分别落在直线l,m 上.若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数为 ( ) 第7题 A. 45° B. 39° C. 29° D. 21° 8. (潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其 底部支架AB 与吊线FG 平行,灯杆CD 与 底部支架AB 所成锐角α=15°,顶部支架 EF 与灯杆CD 所成锐角β=45°,则EF 与 FG 所成锐角的度数为 ( ) 第8题 A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 9. ★ 新考法 过程性学习 两条平行线间的拐 点问题经常可以通过作一条直线的平行线 来解决.例如:如图①,MN∥PQ,点C,B 分 别在直线MN,PQ 上,点A 在直线MN, PQ 之间,连接AC,AB.试说明:∠CAB= ∠MCA+∠PBA. 解:如图①,过点A 作AD∥MN. 因为MN∥PQ,AD∥MN, 所以AD∥MN∥PQ. 所以∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB. 所以∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+ ∠PBA. 【类比应用】 已知直线AB∥CD,P 为平面内 一点,连接PA,PD. (1) 如 图 ②,∠A =50°,∠D =150°,求 ∠APD 的度数; (2) 如图③,设∠PAB=α,∠CDP=β,直接 写出α,β,∠P 之间的数量关系: ; (3) 如图④,AP⊥PD,AN 与DP 交于点 O,DN 平分∠PDC,∠PAN+12∠PAB= ∠P,运用(2)中的结论,求∠N 的度数. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 45 类型三 过多个拐点作平行线 答案讲解 10. ★如 图,AB ∥CD,∠MBN = 3 2∠ABM ,∠MDN=32∠CDM. 试说明:2∠BND+5∠BMD=720°. 第10题 11. 如图,AB∥DF,DE 和 AC 分 别 平 分 ∠FDC 和 ∠BAE.若 ∠DEA =46°, ∠ACD=56°,求∠FDC 的度数. 第11题 答案讲解 12. 已知直线AB∥CD,点E 在直线 AB 上,点F 在直线CD 上,G 是 平面内一点. (1) 如图①,点G 在直线 AB,CD 之间.若 ∠BEG=30°,∠EGF=75°,求∠DFG 的 度数. (2) 如图②,点G 在直线AB,CD 之间. FN 平分∠CFG,延长GE 交FN 于点M, EM 平分∠AEN.当∠FNE+12∠FGE= 54°时,求∠AEN 的度数. (3) 如图③,点G 在直线AB 的上方,FK 平分∠CFG,EL 平分∠AEG,直线 KF 与 直线LE 相交于点H.试猜想∠EGF 与 ∠EHF 之间的数量关系,并说明理由. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 11 方程无解. 5. B 6. A 7. -1 8. 方程两边同乘以(x+2)(x-2),得x+2-4=k(x- 2).因为原方程有增根x=-2,所以将x=-2代入,得 -2+2-4=k×(-2-2),解得k=1. 9. C 10. D 11. D 12. 6 13. 1(答案不唯一,只要 m≠-2即可) 14. 去分母,得3(x-1)+5x=x+m.整理,得7x=m+ 3,解得x=m+37 . 因为分式方程不会产生增根,所以x≠ 0且x-1≠0.所以x≠0且x≠1.所以m+37 ≠0 且 m+3 7 ≠1. 所以m≠-3且m≠4.所以当m 的取值满足 m≠-3且m≠4时,分式方程不会产生增根. 15. (1) 原方程去分母、整理,得mx=-8.当方程的根 为x=4时,4m=-8,解得m=-2.(2) 若原方程有增 根,则(x+2)(x-2)=0.所以x=-2 或 x=2.当 x= -2时,-2m=-8,解得m=4;当 x=2 时,2m=-8,解 得m=-4.所以若原方程有增根,则m=±4. 16. D 解析:解分式方程,得2(2x+1)=mx.整理,得 (m-4)x=2.当m-4=0,即m=4时,整式方程无解,原 分式方程也无解.当m-4≠0时,x= 2m-4. 因为分式方 程无解,所以x=0或x=-12. 因为x= 2m-4≠0 ,所 以 2 m-4=- 1 2. 所以m=0.所以m 的值为0或4. 17. B 解析:解方程 xx-3+ 3a 3-x=2a. 两边都乘以x- 3,得x-3a=2a(x-3).整理,得(2a-1)x=3a.因为原 分式方程无解,所以分两种情况讨论:① 当2a-1=0,即 a=12 时,整式方程无解,原分式方程也无解.② 当2a- 1≠0,即a≠12 时,因为原分式方程的增根为x=3,所 以3(2a-1)=3a,解得a=1,此时原分式方程产生增根, 原分式方程无解.综上所述,a的值为1或12. 忽略分式方程无解的两种情况而出错 已知分式方程无解,求其中字母的取值应分如下 两种情况讨论:① 将分式方程转化为整式方程后,字母 的取值使原分式方程有增根,即使原分式方程的最简 公分母为0;② 整式方程本身无解.在实际解题中,容 易忽略使整式方程无解的字母的取值,从而导致错 误.本题易忽略整式方程(2a-1)x=3a 无解,而遗漏 答案a=12. 18. 1 解析:方程两边都乘以x-2,得1+m(x-2)= -(1-x).整理,得(m-1)x=2(m-1).当m-1≠0,即 m≠1时,整式方程有解,解得x=2,为分式方程的增根; 当m-1=0,即m=1时,整式方程有解,为任意实数. 所以当m=1时,分式方程 1x-2+m= 1-x 2-x 有解. 19. 去分母,得6x-(x+m)+3(x-1)=0.整理,得 8x=m+3,解得x=m+38 . 因为原分式方程有解,所 以x≠1且x≠0,即m+38 ≠1 且m+3 8 ≠0. 所以m≠5且 m≠-3.所以当m≠5且m≠-3时,原分式方程有解. 20. 去分母,得x+4+m(x-4)=m+3.整理,得(m+ 1)x=5m-1.分情况讨论:① 当m+1=0,即m=-1 时,整式方程无解,则分式方程也无解.② 当m+1≠0,即 m≠-1时,因为原分式方程的增根为x=4或x=-4, 此时分式方程无解,所以把x=4代入(m+1)x=5m-1, 得4(m+1)=5m-1,解得m=5;把x=-4代入(m+ 1)x=5m-1,得-4(m+1)=5m-1,解得m=-13. 综 上所述,m=-1或5或-13. 21. (1) 去分母,得3(x-1)+6(x+1)=mx,去括号,得 3x-3+6x+6=mx,移项、合并同类项,得(m-9)x= 3.当x=-1时,9-m=3,解得m=6;当x=1时,m- 9=3,解得m=12.所以m 的值为6或12.(2) 分两种情 况讨论:当m-9=0,即m=9时,整式方程(m-9)x= 3无解,则原分式方程无解.当m≠9时,因为原分式方程 的增根为x=-1或x=1,所以当x=-1时,-(m- 9)=3,解得m=6;当x=1时,m-9=3,解得m=12.综 上所述,m 的值为6或9或12.(3) 因为(m-9)x=3, 所以x= 3m-9. 因为方程的解为整数,所以 m-9= ±3,±1.当m-9=3时,m=12(不合题意,舍去);当 m-9=-3时,m=6(不合题意,舍去);当m-9=1时, m=10;当m-9=-1时,m=8.所以m=8或10. 专题八　平行线中与角有关的计算问题 1. C 2. A 3. 55° 4. 16° 5. (1) 因为 AD∥BC,所以 ∠B+∠BAD=180°.因 为 ∠B=80°,所以 ∠BAD=100°.(2) 因为 AE 平分 ∠BAD,所 以 ∠DAE =50°.因 为 AD ∥BC,所 以 ∠AEB= ∠DAE =50°.因 为 ∠BCD =50°,所 以 ∠BCD=∠AEB.所以 AE∥DC. 6. 如图,延长AE 交l2 于点B.因为l1∥l2,∠1=40°, 所以∠3=∠1=40°.因为∠α=∠β,所以AB∥CD.所 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 以∠2+∠3=180°.所以∠2=180°-∠3=140°. 第6题 7. B 8. A 9. (1) 如图,过点P 作PE∥AB.因为 AB∥CD,PE∥ AB,所以 AB∥PE∥CD.所以 ∠APE=∠A=50°, ∠DPE+∠D=180°.所以 ∠DPE=180°-150°=30°. 所以 ∠APD=∠APE+∠DPE=50°+30°=80°. (2) α+β-∠P=180°.(3) 因为 AP⊥PD,所以 ∠P= 90°.因为 ∠PAN+12∠PAB=∠P ,所以 ∠PAN+ 1 2∠PAB=90°. 因为 ∠POA+∠PAN=180°-∠P= 90°,所以 ∠POA=12∠PAB. 因为 ∠POA=∠NOD, 所以 ∠NOD= 12∠PAB. 因为 DN 平分∠PDC,所 以 ∠ODN=12∠PDC. 所以 ∠N=180°-∠NOD- ∠ODN=180°- 12 (∠PAB+ ∠PDC).由 (2),得 ∠PAB+∠PDC-∠P=180°,所以 ∠PAB+∠PDC= 180°+∠P.所以 ∠N=180°-12 (∠PAB+∠PDC)= 180°-12 (180°+∠P)=180°-12× (180°+90°)=45°. 第9题 利用拐点作辅助线研究角之间的数量关系 当两条平行线之间存在拐点时,通常过拐点作平 行线,构造出同位角、内错角、同旁内角,为运用平行线 的性质创造条件.本题先利用拐点添加辅助线,再计算 角的度数. 10. 过点 M 向右作 ME∥AB,过点 N 向左作 NF∥ AB.因为 AB∥CD,所以 ME∥AB∥CD∥NF.所以 ∠BME = ∠ABM,∠DME = ∠CDM,∠BNF + ∠ABN =180°,∠DNF + ∠CDN = 180°.所 以 ∠BMD = ∠BME + ∠DME = ∠ABM + ∠CDM, ∠BNF + ∠ABN + ∠DNF + ∠CDN =360°,即 ∠BND+ ∠ABN + ∠CDN =360°.因 为 ∠MBN = 3 2∠ABM ,∠MDN= 3 2∠CDM ,所以∠ABN=52∠ABM , ∠CDN =52∠CDM. 所以∠BND+52∠ABM+ 5 2∠CDM= 360°.所以∠BND+ 52 (∠ABM+∠CDM)=360°.所以 ∠BND+52∠BMD=360°. 所以2∠BND+5∠BMD= 720°. “凹凸形”的平行线问题的求解方法 如图①,解答“内凹形”的平行线问题时有以下结 论:若∠B+∠D=∠BPD,则AB∥CD;若AB∥CD, 则∠B+∠D=∠BPD.其方法是过点P 作PE∥AB 或作PE∥CD,利用“内错角相等,两直线平行”或“两直 线平行,内错角相等”来解答.如图②,解答“外凸形”的 平行线问题时有以下结论:若∠B+∠BED+∠D= 360°,则 AB∥CD;若 AB∥CD,则∠B+∠BED+ ∠D=360°.其方法是过点E 作EF∥AB 或作EF∥ CD,利用“同旁内角互补,两直线平行”或“两直线平 行,同旁内角互补”来解答. 11. 过点C 向右作CN∥AB,过点E 向右作EM∥AB. 因为AB∥DF,所以AB∥CN∥EM∥DF.所以∠BAC= ∠NCA,∠NCD =∠FDC,∠FDE=∠DEM,∠MEA= ∠BAE.所以∠DEA=∠DEM +∠MEA=∠FDE+ ∠BAE=46°.∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC= 56°.所 以 ∠FDE + ∠BAE + ∠BAC + ∠FDC=∠DEA+∠ACD=102°.因为DE 和AC 分别 平分 ∠FDC 和 ∠BAE,所 以 ∠FDC = 2∠FDE = 2∠EDC,∠BAE=2∠BAC=2∠EAC.所以∠FDE+ ∠BAE+∠BAC+∠FDC=3(∠FDE+∠BAC).所 以∠BAC+∠FDE= 34°.又因为∠BAC +∠FDC= ∠BAC+2∠FDE =56°,所 以 ∠FDE = 22°.所 以 ∠FDC=2∠FDE=44°. 12. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.因为AB∥CD,所 以 AB∥CD∥GR.所 以∠BEG=∠EGR,∠DFG= ∠FGR.所 以∠BEG+∠DFG=∠EGR+∠FGR= ∠EGF.因为∠BEG=30°,∠EGF=75°,所以∠DFG= 45°.(2) 因为FN 平分∠CFG,EM 平分∠AEN,所以可 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 设∠CFN = ∠GFN =β,∠AEM=∠NEM=α.如图 ②,过点G 作GP∥CD,过点 N 作NQ∥AB.又因为 AB∥CD,所 以 NQ∥AB∥CD∥GP.所 以∠QNF= ∠CFN=β,∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM= α,∠PGF=∠DFG=180°-2β.所以∠FNE=∠QNF- ∠QNE=β-2α,∠FGE=∠PGE+∠PGF=α+180°- 2β.又因为∠FNE+ 1 2∠FGE=54° ,所以β-2α+ 1 2 (α+180°-2β)=54°,解得α=24°.所以∠AEN=2α= 48°.(3) ∠EGF=2∠EHF.理由:因为FK 平分∠CFG, EL 平 分 ∠AEG,所 以 可 设 ∠CFK = ∠GFK =n, ∠AEL=∠LEG=m.如图③,过点H 作HI∥CD,过点 G 作GJ∥AB.因为AB∥CD,所以GJ∥AB∥CD∥HI. 所以 ∠JGE= ∠AEG=2m,∠JGF= ∠CFG=2n, ∠IHK= ∠CFK =n,∠IHL = ∠AEL =m.所 以 ∠EGF=∠JGE-∠JGF=2m -2n=2(m -n), ∠EHF=∠IHL-∠IHK =m-n.所 以∠EGF= 2∠EHF. 第12题 整合提优自主检测 一、 1. C 2. A 3. C 4. C 5. D 6. B 7. A 8. D 解析:因为AD+BC=75AB=AC+CD+BD+ CD,AC+BD=9,AB=AC+BD+CD,所以75 (9+ CD)=2CD+9.所以CD=6,即t=6.所以方程3x- 7(x-1)=t2-2 (x+3)可化为3x-7(x-1)=3- 2(x+3),解得x=5. 9. A 10. C 解析:若c=0,因为a2+b2=3ab=c,所以a2+ b2=0.所以易得a=0,b=0.所以a=b=c.所以选项A 正确.若a=b=c,因为a2+b2=3ab=c,所以2a2= 3a2=a.所以易得a=0.所以c=0.所以选项B正确.若 c=3,因为a2+b2=3ab=c=3,所以ab=1,a2+b2= (a+b)2-2ab=3.所以(a+b)2=5.所以a+b= ±5.所以选项C错误.若c≠0,因为a2+b2=3ab=c, 所以a≠0,b≠0.所以ba+ a b= a2+b2 ab = 3ab ab=3. 所以选 项D正确. 二、 11. 52 12. m≥-1 13. a<1且a≠0 14. (1) 70° (2) ∠AOE=2∠BOD 三、 15. (1) 3 2. (2) 2. 16. 记 2x-5≤4①, 2x-1 3 < 3x+1 2 ②. 解不等式①,得x≤92;解不等 式②,得x>-1.所以不等式组的解集是-1<x≤92. 所以不等式组的正整数解是1,2,3,4. 17. (1) 种植花卉的面积=(4a+b)(2a+b)-(a+b)2- a[4a+b-(a+b)]=8a2+4ab+2ab+b2-a2-2ab- b2-3a2=(4a2+4ab)m2.(2) 当a=3,b=2时,种植花 卉的面积为4×32+4×3×2=60(m2). 18. (1) 13 7× 1+ 2 5 =3-25.(2) 3n-2 n+2× 1+ 2 n = 3-2n. 理由:因为左边=3n-2n+2× 1+ 2 n =3n-2n+2× n+2 n = 3n-2 n ,右边=3-2n= 3n n- 2 n= 3n-2 n ,左边=右 边,所以等式成立. 19. (1) 平行.因为AD∥BC,所以∠A+∠B=180°.又 因为∠B=∠D=120°,所以∠A+∠D=180°.所以AB∥ CD.(2) 因为AD∥BC,∠B=∠D=120°,所以∠DAB= 60°.因 为 AC 平 分 ∠BAE,AF 平 分 ∠DAE,所 以 ∠EAC=12∠BAE ,∠EAF=12∠DAE. 所以∠FAC= ∠EAC+∠EAF=12 (∠BAE+∠DAE)=12∠DAB= 30°.(3) ① 如图①,当点E 在线段CD 上时,由(1),可得 AB∥CD,所以∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.又 因 为 ∠EAC= 12 ∠BAC ,所 以 ∠ACD =2∠EAC, ∠AED=3∠EAC.所以∠ACD∶∠AED=23.② 如图 ②,当点E 在DC 的延长线上时,由(1),可得AB∥CD, 所 以 ∠ACD = ∠BAC,∠AED = ∠BAE.又 因 为 ∠EAC= 12 ∠BAC ,所 以 ∠EAC = ∠BAE.所 以 ∠ACD=2∠EAC,∠AED=∠EAC.所 以∠ACD∶ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈