专题7 分式方程的增根问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

10 3. 因为|a-3|+(b+1)2=0,所以a-3=0,b+1=0. 所以a=3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+ 6b2=3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17× 3×(-1)=78. 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.因为单 项式-2xm+4y2 和 x3y 的积与7x6y3 是同类项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,所以 m+7=6,解得 m=-1.所以原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.因为(a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,所以原式=2. 6. 原式=6xy+9y-8x+5xy-y+6x=11xy-2x+ 8y.因为2x-8y=1,xy=5,所以原式=11×5-1=55- 1=54. 7. 原式=2x4y2+6x2y+x4y2-x2y=3x4y2+5x2y.当 x2y=3时,原式=3(x2y)2+5x2y=3×32+5×3=42. 8. 原式=x2-16+x2-6x+9=2x2-6x-7.因为x2- 3x+1=0,所以x2-3x=-1,即2x2-6x=-2.所以原 式=-2-7=-9. 9. 原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y2+3x2y- x3-y2=-2y2.因为结果中不含x,所以结果与x 的取 值无关.当y=±2时,-2y2=-8,结果不变. 10. (1) a=3,b=2时,这个多项式可化简为x2+4y-7, 当x=y=1时,多项式的值为-2.(2) 存在.该多项式可 化简为(a-2)x2+(b+2)y-7.由题意,得a-2=0,b+ 2=0,解得a=2,b=-2.所以存在实数a,b,即当a=2, b=-2时,不管x,y 取何值,该多项式的值始终是常 数-7. 11. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1).因为x为整数,所以多项式P 能被 5整除. 专题六　因式分解的方法技巧 1. A 在提取公因式时,常出现符号错误 用提公因式法分解因式时,在提取公因式后,确定 余下的因式时常出现符号错误,一般先确定好公因式, 把公因式提出来,再对各项余下的因式进行变形、化 简、计算,确定余下的因式. 2. 10 3. -31 解析:(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)= (3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8).因为把 (2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)分解因式的结果 为(3x+a)(x+b),所以(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+ b).所以a=-7,b=-8.所以a+3b=-7+3× (-8)=-31. 4. (1) 原式=-4xy(6x2-3x+7).(2) 原式=6(m- n)2(1-2m+2n).(3) 原式=2x(a-b)-3y(a-b)= (2x-3y)(a-b). 5. C 6. -(m+2n)2(m-2n)2 解析:原式=(4mn)2-(m2+ 4n2)2=(4mn+m2+4n2)(4mn-m2-4n2)=-(m+ 2n)2(m-2n)2. 7. 原式=[(x2+16y2)+8xy][(x2+16y2)-8xy]= (x+4y)2(x-4y)2. 8. 原式=ab(a+b)2.当a+b=3,ab=2时,原式=18. 9. C 10. (1) m2+2mn+n2+ma+na=(m2+2mn+n2)+ (ma+na)=(m+n)2+a(m+n)=(m+n+a)(m+ n).(2) x3+x2y-xy2-y3=(x3-xy2)+(x2y-y3)= x(x2-y2)+y(x2-y2)=(x+y)(x+y)(x-y)= (x+y)2(x-y).因为x+y=14,且x3+x2y-xy2- y3=0,所以142×(x-y)=0.所以x-y=0. 11. B 12. x(x+3)(x-1) 13. (a2+1)(a+2)(a-2) 14. (1) x2+6x-27=(x+9)(x-3).(2) 6x2-7x- 3=(3x+1)(2x-3).(3) 20(x+y)2+7(x+y)-6= [4(x+y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2). 15. (m+n-7)2 16. 设x2-4x+2=y,则原式=y(y+4)+4=y2+4y+ 4=(y+2)2=(x2-4x+2+2)2=[(x-2)2]2=(x-2)4. 17. (x+2)(x-1)2 解析:原式=x3-4x+x+2= x(x+2)(x-2)+(x+2)=(x+2)(x2-2x+1)=(x+ 2)(x-1)2. 18. (1) x4+4y4=(x4+4x2y2+4y4)-4x2y2=(x2+ 2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). (2) a4+a2b2+b4=(a4+2a2b2+b4)-a2b2=(a2+ b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab). 专题七　分式方程的增根问题 1. A 2. A 3. B 解析:因为关于x 的方程 6(x+1)(x-1)- m x-1= 1有增根,所以x+1=0或x-1=0,解得x=-1或x= 1.原方程去分母,得6-m(x+1)=(x+1)(x-1).因 为易得x=-1不是这个整式方程的根,所以只有x= 1是分式方程的增根. 4. (1) x=2.(2) 因为原分式方程的最简公分母为 2(x2+1),而2(x2+1)>0,所以解这个分式方程不会产 生增根.(3) 方程两边同乘以(x-1)(x+1),得2(x+ 1)+(x-1)=4,解得x=1.检验:当x=1时,(x-1)· (x+1)=0,所以x=1是原分式方程的增根.所以原分式 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 方程无解. 5. B 6. A 7. -1 8. 方程两边同乘以(x+2)(x-2),得x+2-4=k(x- 2).因为原方程有增根x=-2,所以将x=-2代入,得 -2+2-4=k×(-2-2),解得k=1. 9. C 10. D 11. D 12. 6 13. 1(答案不唯一,只要 m≠-2即可) 14. 去分母,得3(x-1)+5x=x+m.整理,得7x=m+ 3,解得x=m+37 . 因为分式方程不会产生增根,所以x≠ 0且x-1≠0.所以x≠0且x≠1.所以m+37 ≠0 且 m+3 7 ≠1. 所以m≠-3且m≠4.所以当m 的取值满足 m≠-3且m≠4时,分式方程不会产生增根. 15. (1) 原方程去分母、整理,得mx=-8.当方程的根 为x=4时,4m=-8,解得m=-2.(2) 若原方程有增 根,则(x+2)(x-2)=0.所以x=-2 或 x=2.当 x= -2时,-2m=-8,解得m=4;当 x=2 时,2m=-8,解 得m=-4.所以若原方程有增根,则m=±4. 16. D 解析:解分式方程,得2(2x+1)=mx.整理,得 (m-4)x=2.当m-4=0,即m=4时,整式方程无解,原 分式方程也无解.当m-4≠0时,x= 2m-4. 因为分式方 程无解,所以x=0或x=-12. 因为x= 2m-4≠0 ,所 以 2 m-4=- 1 2. 所以m=0.所以m 的值为0或4. 17. B 解析:解方程 xx-3+ 3a 3-x=2a. 两边都乘以x- 3,得x-3a=2a(x-3).整理,得(2a-1)x=3a.因为原 分式方程无解,所以分两种情况讨论:① 当2a-1=0,即 a=12 时,整式方程无解,原分式方程也无解.② 当2a- 1≠0,即a≠12 时,因为原分式方程的增根为x=3,所 以3(2a-1)=3a,解得a=1,此时原分式方程产生增根, 原分式方程无解.综上所述,a的值为1或12. 忽略分式方程无解的两种情况而出错 已知分式方程无解,求其中字母的取值应分如下 两种情况讨论:① 将分式方程转化为整式方程后,字母 的取值使原分式方程有增根,即使原分式方程的最简 公分母为0;② 整式方程本身无解.在实际解题中,容 易忽略使整式方程无解的字母的取值,从而导致错 误.本题易忽略整式方程(2a-1)x=3a 无解,而遗漏 答案a=12. 18. 1 解析:方程两边都乘以x-2,得1+m(x-2)= -(1-x).整理,得(m-1)x=2(m-1).当m-1≠0,即 m≠1时,整式方程有解,解得x=2,为分式方程的增根; 当m-1=0,即m=1时,整式方程有解,为任意实数. 所以当m=1时,分式方程 1x-2+m= 1-x 2-x 有解. 19. 去分母,得6x-(x+m)+3(x-1)=0.整理,得 8x=m+3,解得x=m+38 . 因为原分式方程有解,所 以x≠1且x≠0,即m+38 ≠1 且m+3 8 ≠0. 所以m≠5且 m≠-3.所以当m≠5且m≠-3时,原分式方程有解. 20. 去分母,得x+4+m(x-4)=m+3.整理,得(m+ 1)x=5m-1.分情况讨论:① 当m+1=0,即m=-1 时,整式方程无解,则分式方程也无解.② 当m+1≠0,即 m≠-1时,因为原分式方程的增根为x=4或x=-4, 此时分式方程无解,所以把x=4代入(m+1)x=5m-1, 得4(m+1)=5m-1,解得m=5;把x=-4代入(m+ 1)x=5m-1,得-4(m+1)=5m-1,解得m=-13. 综 上所述,m=-1或5或-13. 21. (1) 去分母,得3(x-1)+6(x+1)=mx,去括号,得 3x-3+6x+6=mx,移项、合并同类项,得(m-9)x= 3.当x=-1时,9-m=3,解得m=6;当x=1时,m- 9=3,解得m=12.所以m 的值为6或12.(2) 分两种情 况讨论:当m-9=0,即m=9时,整式方程(m-9)x= 3无解,则原分式方程无解.当m≠9时,因为原分式方程 的增根为x=-1或x=1,所以当x=-1时,-(m- 9)=3,解得m=6;当x=1时,m-9=3,解得m=12.综 上所述,m 的值为6或9或12.(3) 因为(m-9)x=3, 所以x= 3m-9. 因为方程的解为整数,所以 m-9= ±3,±1.当m-9=3时,m=12(不合题意,舍去);当 m-9=-3时,m=6(不合题意,舍去);当m-9=1时, m=10;当m-9=-1时,m=8.所以m=8或10. 专题八　平行线中与角有关的计算问题 1. C 2. A 3. 55° 4. 16° 5. (1) 因为 AD∥BC,所以 ∠B+∠BAD=180°.因 为 ∠B=80°,所以 ∠BAD=100°.(2) 因为 AE 平分 ∠BAD,所 以 ∠DAE =50°.因 为 AD ∥BC,所 以 ∠AEB= ∠DAE =50°.因 为 ∠BCD =50°,所 以 ∠BCD=∠AEB.所以 AE∥DC. 6. 如图,延长AE 交l2 于点B.因为l1∥l2,∠1=40°, 所以∠3=∠1=40°.因为∠α=∠β,所以AB∥CD.所 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 40 专题七　分式方程的增根问题 分式方程的增根是去分母后整式方程的根,但不是原分式方程的根.分式方程的增根问题是 解分式方程的延伸,是考试的高频考点,也是考试的难点.解答分式方程的增根问题,应牢牢抓住 增根的定义,将分式方程问题转化为整式方程问题来解决.此类问题有时还涉及方程有无解问 题,加大了问题的难度. 类型一 已知分式方程，判断它的增根 1. 如果分式方程3-x x-4+ m x-4=1 有增根,那么 增根是 ( ) A. x=4 B. x=1 C. x=-1 D. x=-3 2. 方程 12 x2-1- 6 x-1= 1 x+1 的增根为 ( ) A. x=1 B. x=±1 C. x=-1 D. x=0 3. 若关于x 的方程 6(x+1)(x-1)- m x-1=1 有增根,则它的增根是 ( ) A. x=0 B. x=1 C. x=-1 D. x=1或-1 4. 阅读材料,解决问题: 解分式方程时可能会产生增根的原因是什 么呢? 事实上,解分式方程时产生增根,主 要是在去分母这一步造成的.根据等式的基 本性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一 个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.但 是,当等式两边同乘以0时,就会出现0=0 的特殊情况.因此,解方程时,方程左右两边 不能同乘以0.而去分母时会在方程左右两 边同乘以公分母,此时无法知道公分母的值 是否为0,未知数的取值范围就可能扩大了. 如果去分母后得到的整式方程的根使所乘 以的公分母的值为0,那么此根即为增根.增 根是整式方程的根,但不是原分式方程的 根.所以解分式方程必须验根. (1) 若解分式方程1-x x-2+2= 1 2-x 时产生了 增根,则这个增根是 . (2) 小明认为解分式方程 2x x2+1- 3 2x2+2= 0时,不会产生增根.为什么? (3) 解方程:2 x-1+ 1 x+1= 4 x2-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 拍 照 批 改 41 类型二 已知分式方程的增根，求参数的值 5. 若关于x 的分式方程x+1x-1+1= m 1-x 有增 根x=1,则m 的值为 ( ) A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 6. 已知关于x 的分式方程 xx-2-1= m x2-4 的 增根是x=2,则m 的值为 ( ) A. 8 B. 4 C. -8 D. -4 7. 若方程x+k x2-1+ x 1+x=2 有增根x=-1,则 k= . 8. 已知关于x 的方程 1x-2- 4 x2-4= k x+2 有 增根x=-2,求k的值. 类型三 已知分式方程有无增根，求参数的值 9. 若关于x的方程k-1x-1- x x-1=0 没有增根, 则k的值不可能是 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 10. 若关于x 的方程x-1x-3=2+ k x-3 有增根, 则k的值为 ( ) A. ±3 B. 3 C. -3 D. 2 11. 已 知 关 于 x 的 分 式 方 程 2x-1 + mx (x-1)(x+2)= 1 x+2 有增根,则m 的值为 ( ) A. 1.5 B. -6 C. 1或-2 D. 1.5或-6 12. 当 m= 时,解分式方程13+ m 3(2x-1)= 2 2x-1 会出现增根. 13. 若关于x的分式方程 2x-4=3+ m 4-x 没有 增根,则m= (写出一个即可). 答案讲解 14. 当m 的取值满足什么条件时,关 于x 的方程3x+ 5 x-1= x+m x(x-1) 不会产生增根? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 42 15. 已知关于x 的分式方程 2x-2+ mx x2-4= 2 x+2. (1) 若方程的根为x=4,求m 的值; (2) 若方程有增根,求m 的值. 类型四 已知分式方程有无解，求参数的值 16. (遂宁中考)若关于x 的方程2x= m 2x+1 无 解,则m 的值为 ( ) A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4 17. ★若关于x 的分式方程 xx-3+ 3a 3-x=2a 无解,则a的值为 ( ) A. 1 B. 1或12 C. -1或12 D. 以上都不是 18. 当m= 时,分式方程 1x-2+m= 1-x 2-x 有解. 19. 当m 为何值时,分式方程 6x-1- x+m x(x-1)+ 3 x=0 有解? 20. 若关于x 的方程 1x-4+ m x+4= m+3 x2-16 无 解,求m 的值. 答案讲解 21. 已知关于x的方程 3x+1+ 6 x-1= mx (x+1)(x-1). (1) 若方程有增根,求m 的值; (2) 若方程无解,求m 的取值范围; (3) 若方程的解为整数,求整数m 的取值 范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级