专题6 因式分解的方法技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

37 专题六　因式分解的方法技巧 因式分解是代数式中的重要内容,是整式运算的继续,是进一步学习分式、方程、不等式、函 数以及其他数学内容的基础,也是各类考试的常考题型之一.其基本方法有提公因式法、公式法、 分组分解法,一般步骤为一提、二套、三分组.对具有某些特点的多项式还可以采用十字相乘法、 换元法、拆(添)项法等.应注意:因式分解一般是对多项式而言,其结果一定是整式的积的形式, 因式分解一定要分解到不能再分解为止. 类型一 提公因式法 1. ★多项式x2y(a-b)-y(b-a)提公因式 后,余下的部分是 ( ) A. x2+1B. x+1 C. x2-1D. x2y+y 2. 已知x+y=10,xy=1,则代数式x2y+xy2 的值为 . 3. 把(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)分 解因式的结果为(3x+a)(x+b),其中a,b 均为整数,则a+3b的值为 . 4. 分解因式: (1) -24x3y+12x2y-28xy; (2) 6(n-m)2-12(m-n)3; (3) 2x(a-b)+3y(b-a). 类型二 公式法 5. 下列因式分解正确的是 ( ) A. x2+9=(x+3)2 B. a2+2a+4=(a+2)2 C. a3-4a2=a2(a-4) D. 1-4x2=(1+4x)(1-x) 6. 把16m2n2-(m2+4n2)2分解因式的结果为 . 7. 分解因式: (x2+16y2)2-64x2y2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 38 8. 若a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ ab3的值. 类型三 分组分解法 9. 把多项式x2-2xy+y2+2x-2y-8分解 因式的结果是 ( ) A. (x-y-4)(x-y+2) B. (x-y-1)(x-y-8) C. (x-y+4)(x-y-2) D. (x-y+1)(x-y-8) 答案讲解 10. 通过学习,我们知道常用的因式分 解的方法有提公因式法和公式法, 与此同时,某些多项式只用上述一 种方法无法进行因式分解,下面是甲、乙两 名同学对多项式进行因式分解的过程. 甲:x2+xy-2x-2y=(x2+xy)-(2x+ 2y)(先分成两组)=x(x+y)-2(x+ y)=(x+y)(x-2). 乙:a2-b2+2b-1=a2-(b2-2b+1)(先 分成两组)=a2-(b-1)2=(a+b-1)· (a-b+1). 两名同学分解因式的方法叫作分组分解 法.请你仔细观察并解决下面的问题: (1) 试用上述方法分解因式:m2+2mn+ n2+ma+na; (2) 已知x+y=14,且x3+x2y-xy2- y3=0,求x-y的值. 类型四 十字相乘法 11. 若x2+mx-10=(x-5)(x+n),则m+n 的值为 ( ) A. 5 B. -1 C. -5 D. 1 12. (荆门中考)把多项式x3+2x2-3x分解因 式的结果为 . 13. 分解因式:a4-3a2-4= . 14. 利用整式的乘法运算法则推导得出:(ax+ b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我们 知道因式分解是与整式乘法方向相反的变 形,利用这种关系可得acx2+(ad+bc)x+ bd=(ax+b)(cx+d).通过观察可把acx2+ (ad+bc)x+bd 看作以x 为未知数,a,b, c,d为常数的二次三项式,此种因式分解是 把二次三项式的二项式系数ac与常数项 bd分别进行适当分解来凑一次项的系数, 分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 39 叉乘凑中项”,如图①,这种分解的方法称 为十字相乘法.例如:将二次三项式2x2+ 11x+12的二项式系数2与常数项12分别 进行适当分解,如图②,则2x2+11x+12= (x+4)(2x+3). 第14题 根据上述方法分解因式: (1) x2+6x-27; (2) 6x2-7x-3; (3) 20(x+y)2+7(x+y)-6. 类型五 换元法 15. 分解因式:(m+n)2-14(m+n)+49= . 答案讲解 16. 阅读材料,解决问题: 分解因式:(a+b)2+2(a+b)+1. 解:设a+b=x,则原式=x2+ 2x+1=(x+1)2=(a+b+1)2. 这样的解题方法叫作“换元法”,即当复杂 的多项式中,某一部分重复出现时,我们用 字母将其替换,从而简化这个多项式. 用换元法分解因式:(x2-4x+2)(x2- 4x+6)+4. 类型六 拆（添）项法 17. 分解因式:x3-3x+2= . 18. 在对某些多项式分解因式时,需要恢复那 些被合并或相互抵消的项,即把多项式中 的某一项拆成两项或多项,或者在多项式 中添上两个仅符号相反的项,前者称为拆 项,后者称为添项.如x4+4=(x4+4x2+ 4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2-2x+ 2)(x2+2x+2). 按照这种方法把下面的多项式分解因式: (1) x4+4y4; (2) a4+a2b2+b4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 10 3. 因为|a-3|+(b+1)2=0,所以a-3=0,b+1=0. 所以a=3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+ 6b2=3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17× 3×(-1)=78. 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.因为单 项式-2xm+4y2 和 x3y 的积与7x6y3 是同类项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,所以 m+7=6,解得 m=-1.所以原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2- 2ab.因为(a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,所以原式=2. 6. 原式=6xy+9y-8x+5xy-y+6x=11xy-2x+ 8y.因为2x-8y=1,xy=5,所以原式=11×5-1=55- 1=54. 7. 原式=2x4y2+6x2y+x4y2-x2y=3x4y2+5x2y.当 x2y=3时,原式=3(x2y)2+5x2y=3×32+5×3=42. 8. 原式=x2-16+x2-6x+9=2x2-6x-7.因为x2- 3x+1=0,所以x2-3x=-1,即2x2-6x=-2.所以原 式=-2-7=-9. 9. 原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y2+3x2y- x3-y2=-2y2.因为结果中不含x,所以结果与x 的取 值无关.当y=±2时,-2y2=-8,结果不变. 10. (1) a=3,b=2时,这个多项式可化简为x2+4y-7, 当x=y=1时,多项式的值为-2.(2) 存在.该多项式可 化简为(a-2)x2+(b+2)y-7.由题意,得a-2=0,b+ 2=0,解得a=2,b=-2.所以存在实数a,b,即当a=2, b=-2时,不管x,y 取何值,该多项式的值始终是常 数-7. 11. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1).因为x为整数,所以多项式P 能被 5整除. 专题六　因式分解的方法技巧 1. A 在提取公因式时,常出现符号错误 用提公因式法分解因式时,在提取公因式后,确定 余下的因式时常出现符号错误,一般先确定好公因式, 把公因式提出来,再对各项余下的因式进行变形、化 简、计算,确定余下的因式. 2. 10 3. -31 解析:(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)= (3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8).因为把 (2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)分解因式的结果 为(3x+a)(x+b),所以(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+ b).所以a=-7,b=-8.所以a+3b=-7+3× (-8)=-31. 4. (1) 原式=-4xy(6x2-3x+7).(2) 原式=6(m- n)2(1-2m+2n).(3) 原式=2x(a-b)-3y(a-b)= (2x-3y)(a-b). 5. C 6. -(m+2n)2(m-2n)2 解析:原式=(4mn)2-(m2+ 4n2)2=(4mn+m2+4n2)(4mn-m2-4n2)=-(m+ 2n)2(m-2n)2. 7. 原式=[(x2+16y2)+8xy][(x2+16y2)-8xy]= (x+4y)2(x-4y)2. 8. 原式=ab(a+b)2.当a+b=3,ab=2时,原式=18. 9. C 10. (1) m2+2mn+n2+ma+na=(m2+2mn+n2)+ (ma+na)=(m+n)2+a(m+n)=(m+n+a)(m+ n).(2) x3+x2y-xy2-y3=(x3-xy2)+(x2y-y3)= x(x2-y2)+y(x2-y2)=(x+y)(x+y)(x-y)= (x+y)2(x-y).因为x+y=14,且x3+x2y-xy2- y3=0,所以142×(x-y)=0.所以x-y=0. 11. B 12. x(x+3)(x-1) 13. (a2+1)(a+2)(a-2) 14. (1) x2+6x-27=(x+9)(x-3).(2) 6x2-7x- 3=(3x+1)(2x-3).(3) 20(x+y)2+7(x+y)-6= [4(x+y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2). 15. (m+n-7)2 16. 设x2-4x+2=y,则原式=y(y+4)+4=y2+4y+ 4=(y+2)2=(x2-4x+2+2)2=[(x-2)2]2=(x-2)4. 17. (x+2)(x-1)2 解析:原式=x3-4x+x+2= x(x+2)(x-2)+(x+2)=(x+2)(x2-2x+1)=(x+ 2)(x-1)2. 18. (1) x4+4y4=(x4+4x2y2+4y4)-4x2y2=(x2+ 2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). (2) a4+a2b2+b4=(a4+2a2b2+b4)-a2b2=(a2+ b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab). 专题七　分式方程的增根问题 1. A 2. A 3. B 解析:因为关于x 的方程 6(x+1)(x-1)- m x-1= 1有增根,所以x+1=0或x-1=0,解得x=-1或x= 1.原方程去分母,得6-m(x+1)=(x+1)(x-1).因 为易得x=-1不是这个整式方程的根,所以只有x= 1是分式方程的增根. 4. (1) x=2.(2) 因为原分式方程的最简公分母为 2(x2+1),而2(x2+1)>0,所以解这个分式方程不会产 生增根.(3) 方程两边同乘以(x-1)(x+1),得2(x+ 1)+(x-1)=4,解得x=1.检验:当x=1时,(x-1)· (x+1)=0,所以x=1是原分式方程的增根.所以原分式 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈