专题2 与线段、角有关的计算与说理-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

25 专题二　与线段、角有关的计算与说理 有关线段、角的计算的题目往往渗透了一些数学思想,如方程思想、分类讨论思想、整体思想 等,借助数学思想并结合几何图形可以进行线段、角之间的转化.特别是一些动态问题,动点会带 来线段的相对位置、长度的变化,角的运动会带来角的相对位置和大小的变化,解决这类问题要 明确运动的方向、速度,用已知的量表示变化的量,从而解决问题. 类型一 方程思想 1. 如图,点O 在直线MN 上,过点O 引射线 OA 和OB,且∠MOA=2∠BON,∠BON 比∠AOB 大20°,求∠MOA 和∠AOB 的 度数. 第1题 2. ★如图,C,B是线段AD 上的两点,AC∶CB∶ BD=3∶1∶4,E,F 分别是AB,CD 的中 点,且EF=14,求AB,CD 的长. 第2题 类型二 分类讨论思想 3. 已知线段AB=60,C 为直线AB 上一点, AB=54BC. (1) 求线段BC 的长; (2) E 为线段AC 上一点,AE=14AC ,F 为 线段BC 上一点,CF=2FB,求线段 EF 的长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 26 类型三 整体思想 4. (1) 如图,点C 在线段AB 上,AC=10cm, BC=8cm,M,N 分别为AC,BC 的中点.求 线段MN 的长. (2) 若C 为线段AB 上一点,且满足AC+ BC=acm,M,N 分别为AC,BC 的中点,试 猜想MN 的长度,并说明理由. (3) 若点C 在线段AB 的延长线上,且满足 AC-BC=bcm,M,N 分别为AC,BC 的中 点,试猜想MN 的长度.请你先画出图形,再 写出猜想,并说明理由. 第4题 5. 现在我们用两块三角尺(一块含45°角,一块 含30°角)来探究两个角之间的关系. (1) 如图①,将两块三角尺的直角顶点C 叠 放在一起,使CD 落在∠BCE 内部. ① 若CD 平分∠BCE,则∠DCE 的度数为 °,∠ACB 的度数为 °; ② 猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何关系, 并说明理由. (2) 如图②,将含45°角的三角尺的直角顶点 与另一块三角尺60°角的顶点重合在一起, 使CD 落在∠BCE 的内部,求∠ACB+ ∠DCE 的度数. (3) 根据以上探究,有同学提出,将任意两个 锐角的顶点重合在一起,使一个角的一边落 在另一个角的内部,都有类似的结论.如图 ③,∠AOB=α,∠COD=β(α,β都是锐角), 它们的顶点O 重合在一起,OC 在∠AOB 的 内部,则∠AOD 与∠BOC 的大小有何关系? 请说明理由. 第5题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 27 类型四 动态问题 6. ★如图①,M 是线段AB 上一点,C,D 两点 分别同时从点M,B 出发,分别以1cm/s, 3cm/s的速度沿直线BA 运动,运动方向如 箭头所示. (1) 若AB=10cm,2cm<AM<4cm,当点 C,D 运动了2 s时,求AC+MD 的长; (2) 若当点C,D 运动时,总有MD=3AC, 求AM 与AB 之间的数量关系; (3) 如图②,若AM=14AB ,N 是直线AB 上一点,且AN-BN=MN,求MNAB 的值. 第6题 答案讲解 7. 将一副三角尺按如图①所示的方式 摆放,其中∠D=30°,∠BAC=45°, ∠C=∠E=90°. (1) 求∠DBA 的度数; (2) 将三角尺DBE 绕点B 按逆时针方向旋 转到如图②所示的位置,且BM,BN 分别平 分∠ABD,∠CBE,求∠MBN 的度数; (3) 若将三角尺BDE 继续绕点B 按逆时针 方向旋转到如图③所示的位置,其他条件不 变,则∠MBN 的大小是否会发生变化? 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 6 10.经检验,x=10是原方程的根,且符合题意.所以x- 2=8.所以每个甲种商品的进价为8元,每个乙种商品的 进价为10元.(2) 设购进乙种商品y个,则购进甲种商品 (3y-5)个.由题意,得3y-5+y≤95,解得y≤25.所 以商场最多购进乙种商品25个.(3) 由(1)(2)知,(12- 8)(3y-5)+(15-10)y>380,解得y>23 9 17. 因为y 为整数,y≤25,所以y=24或25.所以共有2种方案.方 案一:购进甲种商品67个,乙种商品24个;方案二:购进 甲种商品70个,乙种商品25个. 2 整合提优 专题一　实数的运算技巧 1. C 2. (1) 3 (2) 1 (3) -2 (4) -36 3. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+(-20)÷ (-5)=-1+4=3.(2) 原式=5+53-2×5= 20 3- 10=-103. (3) 原式=-9+116- 5 16=-9 1 4. 4. A 5. B 6. A 7. (1) -521 (2) 7 (3) -8700 (4) 458 (5) -5115 (6) -1 (7) -24 (8) 59 8. (1) 原式=-14+15-3-6×(1.05+3.95)=1-3- 30= -32.(2) 原 式 = -9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(3) 原式= 5×401× 3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89=4011599× (1510+89)+89=4011599× 1599+89=401+89=490. 9. (1) 原 式 = -1011-56 + -1012-23 + 2023+23 + -1-12 =(-1011-1012+2023- 1)+ -56- 2 3+ 2 3- 1 2 =-213.(2) 原式=12× 2 1×3+ 2 3×5+ 2 5×7+ …+ 297×99 = 12 × 1-13+ 1 3- 1 5+ 1 5- 1 7+ …+197- 1 99 =12× 1-199 =4999. 10. 设a=13+ 1 4+ …+ 12022 ,b=12+ 1 3+ …+ 12022 , 则 b -a = 12. 所 以 原 式 = a+ 12023 ·b - b+ 12023 ·a=ab+ 12023b-ab- 12023a= 12023(b- a)= 12023× 1 2= 1 4046. 利用数式同性解决问题 数式同性就是实数与代数式有相同的性质与运算 规则,在数学学习中,这个原则始终贯穿于数与式的运 算中.利用这一原则可以“以数代式”或“以式代数”,简 便地解决问题.由于本题中的算式“13+ 1 4+ …+ 1 2022 ”“1 2+ 1 3+ …+ 12022 ”比较复杂,我们可以分别 用字母a,b代替,将实数的运算转化为整式的运算,从 而达到简便计算的目的. 11. (1) 设S=1+12+ 1 22+ 1 23+ …+ 122023 ,则2S=2+ 1+12+ 1 22+ …+ 122022. 所以S=2- 122023. 所以原式= 2- 122023. (2) 设S=25+252+253+…+25n,则25S= 252+253+254+…+25n+1.所以25S-S=25n+1- 25.所以S=25 n+1-25 24 . 所以原式=25 n+1-25 24 . 12. (1) 原式=2023 2×(2023-1)-2022 20232×(2023+1)-2024= 20232×2022-2022 20232×2024-2024= 2022×(20232-1) 2024×(20232-1)= 1011 1012. (2) 原式= 1-12 × 1+12 × 1-13 × 1+13 × 1-14 × 1+14 ×…× 1- 12022 × 1+ 12022 × 1- 12023 × 1+ 12023 =12×32×23×43×34× 5 4× …×20212022× 2023 2022× 2022 2023× 2024 2023= 1 2× 2024 2023= 1012 2023. 13. x2-1;x 3-1;x 4-1;x 100-1.(1) 原式=(2-1)× (299+298+…+2+1)=2100-1.(2) 原式=-14× (-3-1)×[(-3)50+(-3)49+…+(-3)+1]= -14× [(-3)51-1]=14× (351+1)=3 51+1 4 . 专题二　与线段、角有关的计算与说理 1. 设∠BON=x°,则∠MOA=2x°.根据题意,得x°- (180°-x°-2x°)=20°,解得x=50.所以∠MOA=2x°= 100°,∠AOB=180°-x°-2x°=30°. 2. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x.所以 AB=AC+ CB=3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.因为 E, F 分别是AB,CD 的中点,所以 BE=12AB=2x ,CF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 1 2CD= 5 2x. 因为 EF=14,所以 BE+CF-CB=14. 所以 2x+52x-x=14 ,解得x=4.所以 AB=4x=16, CD=5x=20. 解关系复杂的线段或角的计算题的方法 解关系复杂的线段或角的计算题时,往往通过设 未知数(如本题中出现比,可以设每份为x),并根据已 知条件,用未知数表示其他量,然后根据题目中的等量 关系列方程求解. 3. (1) 因为 AB=60,AB= 54BC ,所 以 BC=48. (2) ① 当点C在线段AB 上时(如图①),因为 AB=60, BC=48,所以 AC=AB-BC=12.因为 AE=14AC , 所以 AE=3.所以 CE=AC-AE=9.因为 CF=2FB, BC=BF+CF,所以 BF=16,CF=32.因为 EF=EC+ CF,所以 EF=41.② 当点C 在线段AB 的延长线上时 (如图②),因为 AB=60,BC=48,所以 AC=AB+BC= 108.因为 AE=14AC ,所以 AE=27.所以 BE=AB- AE=33.因为 CF=2FB,BC=BF+CF,所以 BF=16, CF=32.因为 EF=BE+BF,所以 EF=49.综上所述, EF 的长为41或49. 第3题 4. (1) 因为M,N 分别为AC,BC 的中点,AC=10cm, BC=8cm,所以 CM=12AC=5cm ,CN=12BC= 4cm.所以 MN=CM+CN=9cm.(2) MN=12acm. 理 由:因为 M,N 分别为AC,BC 的中点,所以 CM = 1 2AC ,CN=12BC. 所以 MN=CM+CN=12AC+ 1 2BC= 1 2 (AC+BC)=12acm. (3) 如图所示.MN= 1 2bcm. 理由:因为 M,N 分别为AC,BC 的中点,所 以 AM=MC=12AC ,CN=BN=12BC. 所以 MN= MC-CN=12AC- 1 2BC= 1 2 (AC-BC)=12bcm. 第4题 5. (1) ①45;135.② ∠ACB+∠DCE=180°.理由:因 为∠ACD=∠BCE=90°,所以∠DCE=90°-∠BCD. 所以 ∠ACB+ ∠DCE= ∠ACD + ∠BCD + (90°- ∠BCD)=90°+90°=180°.所以∠ACB+∠DCE= 180°.(2) 由题意得,∠BCE=90°,∠ACD=60°.因为 ∠ACD=60°,所以∠DCE=60°-∠ACE.所以∠ACB+ ∠DCE = ∠BCE + ∠ACE + ∠DCE = ∠BCE + ∠ACE+ (60°- ∠ACE)=90°+60°=150°.所 以 ∠ACB+∠DCE=150°.(3) ∠AOD+∠BOC=α+β.理 由:因为∠AOB=α,所以∠AOC=α-∠BOC.因为 ∠COD=β,所以∠AOD=∠COD+∠AOC=β+α- ∠BOC.所以∠AOD+∠BOC=α+β. 6. (1) 当点C,D 运动了2s时,CM=2cm,BD= 6cm.因为 AB=10cm,CM=2cm,BD=6cm,所以 AC+MD=AB-CM -BD=10-2-6=2(cm). (2) 因为 C,D 两点的运动速度分别为1cm/s,3cm/s, 所以 BD=3CM.又因为 MD=3AC,所以 BD+MD= 3CM+3AC,即BM=3AM.所以 AM=14AB. (3) 如图 ①,当点 N 在线段AB 上时,因为 AN-BN=MN, AN-AM=MN,所以 BN=AM=14AB. 所以 MN= 1-14- 1 4 AB=12AB,即MNAB =12.如图②,当点N 在线段AB 的延长线上时,因为 AN-BN=MN,AN- BN=AB,所以 MN=AB,即MNAB =1. 综上所述,MN AB 的 值为1 2 或1. 第6题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况都一一列举出来,并利用线段的和差倍 分关系进行计算. 7. (1) ∠DBA=∠DBC-∠ABC=60°-45°=15°. (2) 设∠ABE=x°,则∠ABD=60°-x°,∠CBE=45°- x°.因 为 BM,BN 分 别 平 分 ∠ABD,∠CBE,所 以 ∠ABM = 12 ∠ABD = 1 2 (60°-x°),∠EBN = 1 2∠EBC= 1 2 (45°-x°).所以 ∠MBN=∠ABM + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 ∠ABE+∠EBN=12 (60°-x°)+x°+12 (45°-x°)= 52.5°.(3) 设∠ABE=y°,则∠ABD=60°+y°,∠CBE= 45°+y°.因为 BM,BN 分别平分∠ABD,∠CBE,所 以 ∠ABM = 12 ∠ABD = 1 2 (60°+y°),∠EBN = 1 2∠CBE= 1 2 (45°+y°).所以 ∠MBN=∠ABM - ∠ABE+∠EBN=12 (60°+y°)-y°+ 1 2 (45°+y°)= 52.5°,即∠MBN 的大小不会发生变化. 专题三　“含参”方程（组） 和不等式（组） 1. C 2. 0 3. 0 4. C 5. B 6. 1 7. 把 x=2, y=1 代入 2x+ (m-1)y=2, nx+y=1, 得 4+m-1=2 , 2n+1=1, 解 得 m=-1, n=0. 所以 (m+n)2024=1. 8. 因 为 关 于 x,y 的 方 程 组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有相同的解,所以方程组 3x-y=2 , x+2y=1 的解 也是它们的解,解得 x=57 , y= 1 7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 将 x=57 , y= 1 7 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代入其他两个方 程,得 5 7a+ 1 7b=4 , 5 7a- 1 7b=-2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=75 , b=21. 9. 因 为 关 于 x,y 的 方 程 组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与 x-4y=23, bx+ay=8 的 解 是 对 称 解,所 以 得 出 方 程 组 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=- 11 2 , y=1, 即第一个方程组的解是 x=-112 , y=1, 第 二 个 方 程 组 的 解 是 x=1, y=- 11 2. 把 x=-112 , y=1 代入ax-by=-4,得-112a-b=-4①.把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ay=8,得b-112a=8②.由①②,得 a=-411 , b=6. 所以 a=-411,b=6,第一个方程组的解为 x=-112 , y=1, 第二个方程组的解为 x=1, y=- 11 2. 10. 将 x=-3, y=-1 代入方程组中的4x-by=-2,得-12+ b=-2,所以b=10.将 x=5, y=4 代入方程组中的ax+5y= 15,得 5a+20=15,所 以 a= -1.所 以 a2025 + -b10 2024 =(-1)2025+(-1)2024=-1+1=0. 11. B 12. 4或-4 13. C 14. m≠-1 15. D 16. A 17. B 18. a≥1 19. 由x-m>0,得x>m;由x-m<1,得x<m+1. 所以不等式组的解集为m<x<m+1.因为不等式组的 每一个解都不在2≤x<5的范围内,所以m+1≤2或 m≥5,即 m≤1或m≥5. 20. C 21. 6<a≤8 22. m≤32 利用方程(组)解的不等关系求参数的取值范围 由方程(组)解的不等关系列出不等式,求出方程 (组)中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解除 未知数以外还含有其他参数的方程(组),二是要会根 据解的不等关系列出不等式. 23. 记方程组 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②. ①+②,得3x+ 3y=-3m-3,所以x+y=-m-1.因为x+y>-3, 所以-m-1>-3.所以m<2.因为m 是非负整数,所 以m=1或m=0. 24. 由方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k, 可得4x+4y=4-k.所 以x +y =1- k 4. 因 为 关 于 x,y 的 方 程 组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,所以1-k4>0,解 得k<4.解不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x , 得 x≥-1,x≤k. 因 为关于x 的不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,所以k≥ -1.综上所述,-1≤k<4.所以符合条件的整数k的值 为-1,0,1,2,3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈