专题1 实数的运算技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

22 专题一　实数的运算技巧 实数的运算主要包括加、减、乘、除、乘方、开方六种运算,分为三级,第一级为乘方、开方,第 二级为乘、除,第三级为加、减.一般地,同一级运算按从前到后的顺序进行;在混合运算中,按先 乘方、开方,再乘、除,后加、减,有括号的先算括号内的运算顺序进行.在运算过程中,能使用运算 律的应尽量使用运算律简化计算.对具有某些特点或综合性较强的运算,可采用相应的运算技巧 进行运算.常用的方法有拆项法、换元法、错位相减法、因式分解法、乘法公式法等. 类型一 直接计算 1. (营口中考)有下列算式:① (-5)+(+3)= -8;② -(-2)3=6;③ +56 + -16 = 2 3 ;④ -3÷ -13 =9.其中,正确的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 计算: (1) (包头中考)38+(-1)2024= ; (2) (仙桃中考)4-1- 116+ (3- 2)0= ; (3) (陕西中考)25-(-7)0+(-2)×3= ; (4) -32-0.75÷13× [4-(-2)3]= . 3. 计算: (1) -12025+ 25× (-10)-42 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ÷(-5); (2) 3125+ 259+ 3-8× 42+32; (3) -32+1÷4×14- -1 1 4 × (-0.5)2. 类型二 利用运算律简化运算 4. 计算(-8)×3÷(-2)2的结果为 ( ) A. -6 B. 6 C. -12 D. 12 5. 用简便方法计算47× -18 +81×18+26× (-0.125)的结果是 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 拍 照 批 改 23 6. 计算 -12 +14+ -25 + +310 时,下列所 运用的运算律恰当的是 ( ) A. -12 +14􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -25 + +310 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B. 1 4+ - 2 5 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -12 + +310 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C. -12 + 14+ -25 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + +310 D. 1 4+ + 3 10 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + -12 + -25 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 7. 计算: (1) 1 6+ - 2 7 + -56 + +57 = ; (2) -2.5+(-3.26)+5.5+(+7.26)= ; (3) (-25)×(-87)×(-4)= ; (4) ―92223× (―46)= ; (5) -651315÷13= ; (6) -81÷16÷ -214 ÷ -214 = ; (7) ―1 6+ 3 4 ―1 12 ×(―48)= ; (8) 11.8×334- (-11.8)×1.7-11.8× 3 4-11.8× (-0.3)= . 8. 计算: (1) 7 9- 5 6+ 3 18 ÷ -118 -6×1.05- 3.95×6; (2) -32-7× 27-3 +12÷ 12-13-14 ; (3) 5×401×3021599+ (1599+401)× 891599. 类型三 利用拆项法简化计算 9. 计算: (1) -101156 + -101223 +202323 + -112 ; (2) 1 1×3+ 1 3×5+ 1 5×7+ …+ 197×99. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 24 类型四 利用换元法简化计算 答案讲解 10. ★ 转换法 计 算: 1 3+ 1 4+ …+ 1 2 023 × 12+13+…+ 12 022 - 1 2+ 1 3+ …+ 12 023 × 13+14+…+ 12 022 . 类型五 利用错位相减法简化计算 11. 计算: (1) 1+12+ 1 22+ 1 23+ …+ 122023 ; (2) 25+252+253+…+25n. 类型六 利用因式分解法简化计算 12. 计算: (1) 20233-20232-2022 20233+20232-2024 ; (2) 1-122 × 1-132 × 1-142 ×…× 1- 120222 ×1- 120232 . 类型七 利用乘法公式法简化计算 答案讲解 13. 新考法 探究题 你能求出(x- 1)(x99+x98+x97+…+x+1)的 值吗? 遇到这样的问题,我们可以从简单的情形 入手,先计算下列各式的值: (x-1)(x+1)= ; (x-1)(x2+x+1)= ; (x-1)(x3+x2+x+1)= ; … 由此我们可以得到(x-1)(x99+x98+…+ x+1)= . 请你利用上面的结论,完成下面两题的 计算: (1) 299+298+…+2+1; (2) (-3)50+(-3)49+…+(-3)+1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 6 10.经检验,x=10是原方程的根,且符合题意.所以x- 2=8.所以每个甲种商品的进价为8元,每个乙种商品的 进价为10元.(2) 设购进乙种商品y个,则购进甲种商品 (3y-5)个.由题意,得3y-5+y≤95,解得y≤25.所 以商场最多购进乙种商品25个.(3) 由(1)(2)知,(12- 8)(3y-5)+(15-10)y>380,解得y>23 9 17. 因为y 为整数,y≤25,所以y=24或25.所以共有2种方案.方 案一:购进甲种商品67个,乙种商品24个;方案二:购进 甲种商品70个,乙种商品25个. 2 整合提优 专题一　实数的运算技巧 1. C 2. (1) 3 (2) 1 (3) -2 (4) -36 3. (1) 原式=-1+(-4-16)÷(-5)=-1+(-20)÷ (-5)=-1+4=3.(2) 原式=5+53-2×5= 20 3- 10=-103. (3) 原式=-9+116- 5 16=-9 1 4. 4. A 5. B 6. A 7. (1) -521 (2) 7 (3) -8700 (4) 458 (5) -5115 (6) -1 (7) -24 (8) 59 8. (1) 原式=-14+15-3-6×(1.05+3.95)=1-3- 30= -32.(2) 原 式 = -9-2+21+12÷ 6 12- 4 12- 3 12 =10+12÷ -112 =-134.(3) 原式= 5×401× 3021599+1599× 89 1599+401× 89 1599= 401 1599× (5×302+89)+89=4011599× (1510+89)+89=4011599× 1599+89=401+89=490. 9. (1) 原 式 = -1011-56 + -1012-23 + 2023+23 + -1-12 =(-1011-1012+2023- 1)+ -56- 2 3+ 2 3- 1 2 =-213.(2) 原式=12× 2 1×3+ 2 3×5+ 2 5×7+ …+ 297×99 = 12 × 1-13+ 1 3- 1 5+ 1 5- 1 7+ …+197- 1 99 =12× 1-199 =4999. 10. 设a=13+ 1 4+ …+ 12022 ,b=12+ 1 3+ …+ 12022 , 则 b -a = 12. 所 以 原 式 = a+ 12023 ·b - b+ 12023 ·a=ab+ 12023b-ab- 12023a= 12023(b- a)= 12023× 1 2= 1 4046. 利用数式同性解决问题 数式同性就是实数与代数式有相同的性质与运算 规则,在数学学习中,这个原则始终贯穿于数与式的运 算中.利用这一原则可以“以数代式”或“以式代数”,简 便地解决问题.由于本题中的算式“13+ 1 4+ …+ 1 2022 ”“1 2+ 1 3+ …+ 12022 ”比较复杂,我们可以分别 用字母a,b代替,将实数的运算转化为整式的运算,从 而达到简便计算的目的. 11. (1) 设S=1+12+ 1 22+ 1 23+ …+ 122023 ,则2S=2+ 1+12+ 1 22+ …+ 122022. 所以S=2- 122023. 所以原式= 2- 122023. (2) 设S=25+252+253+…+25n,则25S= 252+253+254+…+25n+1.所以25S-S=25n+1- 25.所以S=25 n+1-25 24 . 所以原式=25 n+1-25 24 . 12. (1) 原式=2023 2×(2023-1)-2022 20232×(2023+1)-2024= 20232×2022-2022 20232×2024-2024= 2022×(20232-1) 2024×(20232-1)= 1011 1012. (2) 原式= 1-12 × 1+12 × 1-13 × 1+13 × 1-14 × 1+14 ×…× 1- 12022 × 1+ 12022 × 1- 12023 × 1+ 12023 =12×32×23×43×34× 5 4× …×20212022× 2023 2022× 2022 2023× 2024 2023= 1 2× 2024 2023= 1012 2023. 13. x2-1;x 3-1;x 4-1;x 100-1.(1) 原式=(2-1)× (299+298+…+2+1)=2100-1.(2) 原式=-14× (-3-1)×[(-3)50+(-3)49+…+(-3)+1]= -14× [(-3)51-1]=14× (351+1)=3 51+1 4 . 专题二　与线段、角有关的计算与说理 1. 设∠BON=x°,则∠MOA=2x°.根据题意,得x°- (180°-x°-2x°)=20°,解得x=50.所以∠MOA=2x°= 100°,∠AOB=180°-x°-2x°=30°. 2. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x.所以 AB=AC+ CB=3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.因为 E, F 分别是AB,CD 的中点,所以 BE=12AB=2x ,CF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈