第10章 相交线、平行线与平移-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

3 b)2=6a2+3ab+2ab+b2-a2-2ab-b2=(5a2+3ab)平 方米.(2) 因为(x+2)(x+3)=x2+5x+6=x2+ax+ b,所以a=5,b=6.所以草坪的面积为5×52+3×5×6= 215(平方米).所以购买草坪所需要的总费用为215× 50=10750(元). 23. (1) 原式=(x2-a2)+(x+a)=(x+a)(x-a)+ (x+a)=(x+a)(x-a+1).(2) 原式=(ax-bx)+ (a2-2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+a- b).(3) 原式=(a4+2a2b2+b4)-(2a3b+2ab3)=(a2+ b2)2-2ab(a2+b2)=(a2+b2)(a2+b2-2ab)=(a2+ b2)(a-b)2.因为a2+b2=9,(a-b)2=1,所以原式= 9×1=9. 第9章　分　式 一、 1. B 2. A 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. B 9. D 10. A 二、 11. x(x-2) 找最简公分母的方法 找最简公分母的方法如下:如果各分母的系数都是整 数,那么取它们系数的最小公倍数为最简公分母的系数; 对含有字母的因式,取它们最高次幂的积作为最简公分母 的因式;当分母是多项式时,应先将分母进行因式分解. 12. -3 因忽视分式的值为0的条件而导致错误 在已知分式的值为0,求分式中字母的取值时,一 定要注意分式的值为0的条件.若分式的值为0,则需 同时具备两个条件:(1) 分子为0;(2) 分母不为0.这 两个条件缺一不可. 13. 0.6 14. -2 三、 15. (1) x=4.(2) x=1. 16. 设乙型号分拣机器人每小时分拣x件,则甲型号分拣 机器人每小时分拣(x+50)件.由题意,得1000x+50= 800 x ,解 得x=200.经检验,x=200是原方程的解.答:乙型号分 拣机器人每小时分拣200件. 17. 原式=x-2.解方程x-3x-2-2= 5 2-x ,得x=6.经检 验,x=6是原分式方程的解.当x=6时,原式=6-2=4. 18. (1) 因为 C=x 2+5 x2+2 ,D= 3x2+2 ,所以 C-D= x2+5 x2+2- 3 x2+2= x2+2 x2+2=1>0. 所以C为D 的“雅中式”, C关于D 的“雅中值”为1.(2) 因为M 是N 的“雅中式”, 且M 关于N 的“雅中值”为3,所以M-N=3.因为M= E x+3 ,N= 2xx+3 ,所以 E x+3- 2x x+3=3. 所以E-2x= 3x+9.所以E=5x+9. 19. (1) 1 n= 1 n+1+ 1 n(n+1). (2) 因为右边= 1n+1+ 1 n(n+1)= n n(n+1)+ 1 n(n+1)= n+1 n(n+1)= 1 n = 左边, 所以1 n= 1 n+1+ 1 n(n+1). 20. 因为 xy x+y=1 ,所以x+y=xy.两边都除以xy,得 1 y+ 1 x=1①. 因为 yz y+z=2 ,所以2y+2z=yz.两边都除 以2yz,得 1 z+ 1 y= 1 2②. 因为 xz z+x=3 ,所以3z+3x= xz.两边都除以3xz,得1x+ 1 z= 1 3③. 由①+②+③,得 2 1x+ 1 y+ 1 z =1+12+13=116.所以 1x +1y + 1 z= 11 12. 21. (1) 设B型大礼包每件的进价为x元,则A型大礼包 每件的进价为(x+30)元.依题意,得6000x+30= 5 4× 3600 x , 解得x=90.经检验,x=90是原方程的解且符合题意. 所以x+30=90+30=120.所以A型大礼包每件的进价 为120元,B型大礼包每件的进价为90元.(2) 设A型大 礼包购进m 件,B型大礼包购进n件.由(1)知A型大礼 包每件的进价为120元,B型大礼包每件的进价为90元, 所以m=6000120=50 ,n=360090 =40. 所以1 5m=10 ,50- 1 5m=40 ,1 2n=20. 依题意,得160×10+160(1-a%)× 40-6000+120×20+20×34 (120+a)-3600≥2355, 解得a≤5.所以a的最大值为5. 第10章　相交线、平行线与平移 一、 1. D 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D 7. D 8. D 9. B 10. C 解析:如图,过点B 作BD∥m.因为 m∥n,所 以BD∥m∥n.因为BD∥m,∠1=100°,所以∠ABD= ∠1=100°.又 因 为∠2=30°,所 以∠DBC=180°- ∠ABD-∠2=50°.因为BD∥n,所以∠3+∠DBC= 180°.所以∠3=180°-∠DBC=130°. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 作平行线转移角的方法 在利用平行线的性质求角度时,如果直接求解有 困难,那么可以通过作平行线的方法把某个角转移到 一个合适的位置,建立已知角和未知角之间的联系,利 用角的和差求解. 二、 11. 连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段 最短 12. 50° 13. 14或40 解析:因为∠1与∠2的两边分别平行, 所以∠1与∠2相等或互补.所以(2x-3)°=(3x-17)°或 (2x-3)°+(3x-17)°=180°,解得x=14或x=40.所 以x的值为14或40. 因遗漏一种情况而致错 两边分别平行的一对角之间可能有两种数量关 系:相等或互补.因此,应分两种情况讨论.本题容易遗 漏一种情况而导致错误. 14. (1) 64 (2) 2x 三、 15. (1) ① 答案不唯一,如图①,线段PQ 即为所求 作.② 如图①,线段CN 即为所求作.(2) 如图②,直线 CD 即为所求作. 第15题 16. (1) 如图①所示.(2) 如图②所示.(3) 如图③所示. 第16题 17. 对顶角相等;等量代换;CD;同位角相等,两直线平 行;∠ADC;CF;同旁内角互补,两直线平行;两直线平 行,内错角相等. 18. (1) 因为点O 在直线AB 上,所以∠BOD+∠AOD= 180°.因为∠BOD 的度数是∠AOD 度数的5倍,所以 ∠AOD=16×180°=30° ,∠BOD=56×180°=150°. (2) 因为OE⊥DC,所以∠EOC=90°.因为∠BOC= ∠AOD=30°,所以∠BOE=∠EOC-∠BOC=90°- 30°=60°. 19. 由条件可知∠AEF=∠GEF+∠AEG=70°,因为 ∠FEH=90°,∠H =55°,所以∠EFH =90°-55°= 35°.因为 FH 平分∠EFD,所以∠EFH=∠HFD= 35°.所 以 ∠EFD = ∠EFH + ∠HFD =70°.所 以 ∠AEF=∠EFD.所以AB∥CD. 20. ∠EFG= ∠AEF + ∠CGF;∠EFG+ ∠BEF + ∠DGF=360°. (1) 125°. 解析:因为∠BEF+∠EFG+∠DGF=360°, ∠EFG=110°,所以∠BEF+∠DGF=250°.因为 M 是 ∠BEF 和∠DGF 的 平 分 线 的 交 点,所 以∠BEM + ∠DGM=12× (∠BEF+∠DGF)=125°.所以∠EMG= ∠BEM+∠DGM=125°. (2) 设∠DGM =x.因为 EM ⊥GM,所以∠EMG= 90°.因为∠BEM+∠DGM=∠EMG,所以∠BEM= 90°-x.所以∠AEM=180°-∠BEM=180°-(90°- x)=90°+x.因为 EF 平分∠AEM,所以∠AEF= 1 2∠AEM=45°+ 1 2x. 因为 GM 平分∠DGF,所以 ∠DGF=2∠DGM=2x.所以∠CGF=180°-∠DGF= 180°-2x.所以∠EFG=∠AEF+∠CGF=45°+12x+ (180°-2x)=225°-32x. 因为∠EFG 比∠DGF 大15°, 所以∠EFG-∠DGF=15°.所以225°-32x-2x=15° , 解得x=60°.所以∠DGF=2x=120°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 第10章　相交线、平行线与平移 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. (青海中考)如图,数学老师用双手表示了 “三线八角”图形(两大拇指代表被截直线,食 指代表截线),则从左至右依次表示 ( ) 第1题 A. 同旁内角、同位角、内错角 B. 同位角、内错角、对顶角 C. 对顶角、同位角、同旁内角 D. 同位角、内错角、同旁内角 2. 如图所示为一把剪刀的示意图,当剪刀口 ∠AOB 增加30°时,∠COD 的度数 ( ) 第2题 A. 增加60° B. 不变 C. 减少30° D. 增加30° 3. 过直线l外一点P 画l的垂线CD,下列各图 中,三角尺操作正确的是 ( ) A B C D 4. 新情境 日常生活 某小区准备开发一块长 为32m、宽为21m的长方形空地.如图,将 这块空地种上草坪,中间修一条弯曲的小 路,小路的左边线向右平移1m就是它的右 边线,则这条小路的面积为 ( ) 第4题 A. 32m2 B. 22m2 C. 21m2 D. 20m2 5. 如图,直线l1∥l2,分别与直线l交于点A, B,把一块含30°角的三角尺按如图所示的位 置摆放,若∠1=40°,则∠2的度数是 ( ) 第5题 A. 100° B. 110° C. 115° D. 120° 6. 如图,点E 在BC 上.下列条件中,不能判定 AB∥DE 的是 ( ) 第6题 A. ∠B=∠5 B. ∠3=∠4 C. ∠B+∠BED=180° D. ∠1=∠2 7. (新疆生产建设兵团中考)如图,AB 与CD 相交于点O.如果∠A=∠B=30°,∠C= 50°,那么∠D 的度数为 ( ) 第7题 A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 拍 照 批 改 15 8. 若四条直线在平面内交点的个数为a,则a 的可能取值有 ( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 9. 如图,直线AB 与CD 相交于点O,EO⊥ AB,FO⊥CD,垂足均为O.若∠AOC= 35°,则∠EOF 的度数为 ( ) 第9题 A. 155° B. 145° C. 130° D. 125° 答案讲解 10. ★(德阳中考)如图,直线m∥n, ∠1=100°,∠2=30°,则∠3的度 数为 ( ) 第10题 A. 70° B. 110° C. 130° D. 150° 二、 填空题(每题3分,共12分) 11. 如图,要从河中引水灌溉农田,通常会从灌 溉点A 沿着垂直于河岸的方向修建引水渠 AB,这么做的原理是 . 第11题 12. 如图,直线a∥b,∠1=75°,∠2=25°,则∠3 的度数为 . 第12题 13. ★ 分类讨论思想 已知∠1与∠2的两边分 别平行,且∠1,∠2的度数分别为(2x- 3)°,(3x-17)°,则x的值为 . 答案讲解 14. 有长方形纸片ABCD,E,F 分别是 AD,BC上一点,∠DEF=x(0°<x< 45°).将纸片沿EF 折叠成图①(点 C,D的对应点分别为C',D'),再沿GF 折叠 成图②(点C',D'的对应点分别为N,M). 第14题 (1) 如果x=32°,那么∠FGD'的度数为 °; (2) 如图②,若GP 平分∠MGF 交直线EF 于点P,则∠GPE= (用含x的式 子表示). 三、 解答题(共58分) 15. (8分)(1) 在如图①所示的网格中不用量 角器与三角尺,仅用直尺作图. ① 经过点P,作线段PQ 平行于直线AB; ② 过点C,作线段CN 垂直于直线CB. (2) 如图②,C 是∠AOB 的边OA 上一点, 请用直尺和圆规,过点C 作直线OB 的平 行线(保留作图痕迹,不写作法). 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 16 16. (8分)如图,在8×8的正方形网格中有三 角形ABC,点A,B,C 均在格点上. (1) 作出点B 到直线AC 的最短路径BD; (2) 在(1)的条件下,过点C 作出AB 的平 行线,交BD 于点E; (3) 经过平移,三角形ABC 的顶点A 平移 到点B,作出平移后的三角形BFG(其中 F,G 分别是三角形ABC 的顶点B,C 的对 应点). 第16题 17. (10分)将下面的推理过程及依据补充 完整. 如图,点D 在AE 上,点B 在FC 上,∠1= ∠3,∠A=∠C,试说明:∠E=∠F. 第17题 解:因为∠1=∠3(已知), ∠1=∠2( ), 所以∠2=∠3( ). 所以AB∥ ( ). 所以∠A+ =180°(两直线平行, 同旁内角互补). 又因为∠A=∠C(已知), 所以∠C+∠ADC=180°(等量代换). 所以AE∥ ( ). 所以∠E=∠F( ). 18. (10分)如图,直线AB,CD 相交于点O, OE⊥CD,且∠BOD 的度数是∠AOD 度 数的5倍.求: (1) ∠AOD,∠BOD 的度数; (2) ∠BOE 的度数. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 17 19. (10分)如图,∠AEG=26°,∠GEF=44°, ∠FEH =90°,∠EHF=55°,FH 平 分 ∠EFD.试说明:AB∥CD. 第19题 答案讲解 20. (12分)如图①,AB∥CD,过点F 作FP∥AB,由平行线的传递性, 可得FP∥CD.利用平行线的性质, 我们不难发现:∠EFG,∠CGF 与∠AEF 之间的数量关系是 , ∠EFG,∠DGF 与∠BEF 之间的数量关 系是 . 第20题 利用发现的数量关系解决问题: (1) 如图②,AB∥CD,M 是∠BEF 和 ∠DGF 的平分线的交点,∠EFG=110°, 则∠EMG 的度数是 . (2) 如图③,AB∥CD,GM 平分∠DGF, EM⊥GM,EF 平分∠AEM.若∠EFG 比 ∠DGF 大15°,求∠DGF 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶