第8章 整式乘法与因式分解-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（沪科版2024）

2 数轴上表示如图所示. 第16题 17. (1) m>n.理由:因为m+n>2n+1,所以m+n- 2n>1.所以m-n>1>0.所以m>n.(2) 当m=n= 0时,mx=ny;当m=n>0时,因为x>y,所以mx>ny; 当m=n<0时,因为x>y,所以mx<ny.综上所述,当 m=n=0时,mx=ny;当m=n>0时,mx>ny;当m= n<0时,mx<ny. 18. (1) 是.(2) 因为不等式-x+4m>1的解集为x< 4m-1,不等式x<-2是关于x 的不等式-x+4m> 1的“覆盖不等式”,所以4m-1≤-2,解得m≤-14. 所以m 的最大整数值为-1. 19. (1) 解方程组 2x+y=1-m, x+2y=2, 得 x=-23m , y=1+ 1 3m. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 因 为3x+2y≤0,所以3× -23m +2× 1+13m ≤0, 解得m≥32. 所以m 的取值范围是m≥32. (2) 解不等式 2x+2 3 <x+a ,得x>2-3a.因为不等式的最小整数解 为2,所以1≤2-3a<2,解得0<a≤13. 所以a的取值范 围是0<a≤13. 20. (1) 设生产乙产品a件,则生产甲产品(50-a)件.由 题意,得(30×4+20)×(50-a)+(30×3+20×4)a≤ 8 000,解得a≤3313. 又因为生产乙产品不少于30件, 所以30≤a≤3313. 因为a为整数,所以a=30,31,32, 33.所以符合条件的生产方案有4种:① 生产甲产品 20件,生产乙产品30件;② 生产甲产品19件,生产乙产 品31件;③ 生产甲产品18件,生产乙产品32件;④ 生产 甲产品17件,生产乙产品33件.(2) 方案①总共需加工 费20×60+30×80=3 600(元);方案②总共需加工费 19×60+31×80=3 620(元);方案③总共需加工费18× 60+32×80=3 640(元);方案④总共需加工费17×60+ 33×80=3 660(元).因为3 660>3 640>3 620>3 600, 所以应生产甲产品20件,生产乙产品30件才能使生产这 批产品的加工费最低. 第8章　整式乘法与因式分解 一、 1. C 2. D 3. B 4. D 5. D 6. A 7. D 8. C 9. C 10. C 二、 11. a(c+2b)(c-2b) 12. -4 解析:(2x-p)(-x+2)=-2x2+4x+px- 2p=-2x2+(4+p)x-2p.因为-2x2+(4+p)x-2p 不含x的一次项,所以4+p=0,解得p=-4. 多项式与多项式相乘时漏乘某一项或符号而导致错误 用一个多项式乘以另一个多项式的每一项时,注 意不要漏乘;当某一项的系数的符号为负号时,要注意 符号变化. 13. 8 14. (1) 1 6 (2) 29 三、 15. (1) -13. (2) -9x7y8. 16. (1) -3(x-y)2.(2) (x-y)(a+4)(a-4). 17. 原式=x2-4.当x=3-1时,原式=-23. 18. (1) M-3N=3a2+4ab-1-3(a2-2ab-1)=3a2+ 4ab-1-3a2+6ab+3=10ab+2.(2) 因为(a-1)2+ |b-2|=0,所以a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2. 所以M-3N=10×1×2+2=22. 19. 因为x+1x=3 ,所以 x+1x 2 =x2+1x2+2=9. 所以x2+1x2=7. (1) x-1x 2 =x2+1x2-2=7-2= 5.(2) 因为 x2+1x2 2 =x4+1x4+2 ,x2+1x2=7 ,所 以x4+1x4= x 2+1x2 2 -2=47. 运用完全平方公式时忽略“2倍乘积项” 在运用完全平方公式时,不要忽略“2倍乘积项”, 否则会造成漏项的错误. 20. (1) 因为A=mx-3,B=2x+n,所以A·B= (mx-3)(2x+n)=2mx2+mnx-6x-3n=2mx2+ (mn-6)x-3n.因为A 与B 的乘积中不含有x项,常数 项是-3,所以mn-6=0,-3n=-3.所以n=1.把n= 1代入mn-6=0,可得m=6.所以m=6,n=1.(2) 根据 (1)可知,A=6x-3,B=2x+1,所以A·B-B2=(6x- 3)(2x+1)-(2x+1)2=12x2+6x-6x-3-(4x2+ 4x+1)=12x2-3-4x2-4x-1=8x2-4x-4. 21. (1) -22.(2) (3a+1,a-2)􀱋(a+2,a-3)=(3a+ 1)(a-3)-(a-2)(a+2)=3a2-9a+a-3-(a2-4)= 3a2-9a+a-3-a2+4=2a2-8a+1.因为a2-4a+ 1=0,所以a2=4a-1.所以(3a+1,a-2)􀱋(a+2,a- 3)=2(4a-1)-8a+1=-1. 22. (1) S草坪=S长方形-S正方形=(3a+b)(2a+b)-(a+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 b)2=6a2+3ab+2ab+b2-a2-2ab-b2=(5a2+3ab)平 方米.(2) 因为(x+2)(x+3)=x2+5x+6=x2+ax+ b,所以a=5,b=6.所以草坪的面积为5×52+3×5×6= 215(平方米).所以购买草坪所需要的总费用为215× 50=10750(元). 23. (1) 原式=(x2-a2)+(x+a)=(x+a)(x-a)+ (x+a)=(x+a)(x-a+1).(2) 原式=(ax-bx)+ (a2-2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+a- b).(3) 原式=(a4+2a2b2+b4)-(2a3b+2ab3)=(a2+ b2)2-2ab(a2+b2)=(a2+b2)(a2+b2-2ab)=(a2+ b2)(a-b)2.因为a2+b2=9,(a-b)2=1,所以原式= 9×1=9. 第9章　分　式 一、 1. B 2. A 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. B 9. D 10. A 二、 11. x(x-2) 找最简公分母的方法 找最简公分母的方法如下:如果各分母的系数都是整 数,那么取它们系数的最小公倍数为最简公分母的系数; 对含有字母的因式,取它们最高次幂的积作为最简公分母 的因式;当分母是多项式时,应先将分母进行因式分解. 12. -3 因忽视分式的值为0的条件而导致错误 在已知分式的值为0,求分式中字母的取值时,一 定要注意分式的值为0的条件.若分式的值为0,则需 同时具备两个条件:(1) 分子为0;(2) 分母不为0.这 两个条件缺一不可. 13. 0.6 14. -2 三、 15. (1) x=4.(2) x=1. 16. 设乙型号分拣机器人每小时分拣x件,则甲型号分拣 机器人每小时分拣(x+50)件.由题意,得1000x+50= 800 x ,解 得x=200.经检验,x=200是原方程的解.答:乙型号分 拣机器人每小时分拣200件. 17. 原式=x-2.解方程x-3x-2-2= 5 2-x ,得x=6.经检 验,x=6是原分式方程的解.当x=6时,原式=6-2=4. 18. (1) 因为 C=x 2+5 x2+2 ,D= 3x2+2 ,所以 C-D= x2+5 x2+2- 3 x2+2= x2+2 x2+2=1>0. 所以C为D 的“雅中式”, C关于D 的“雅中值”为1.(2) 因为M 是N 的“雅中式”, 且M 关于N 的“雅中值”为3,所以M-N=3.因为M= E x+3 ,N= 2xx+3 ,所以 E x+3- 2x x+3=3. 所以E-2x= 3x+9.所以E=5x+9. 19. (1) 1 n= 1 n+1+ 1 n(n+1). (2) 因为右边= 1n+1+ 1 n(n+1)= n n(n+1)+ 1 n(n+1)= n+1 n(n+1)= 1 n = 左边, 所以1 n= 1 n+1+ 1 n(n+1). 20. 因为 xy x+y=1 ,所以x+y=xy.两边都除以xy,得 1 y+ 1 x=1①. 因为 yz y+z=2 ,所以2y+2z=yz.两边都除 以2yz,得 1 z+ 1 y= 1 2②. 因为 xz z+x=3 ,所以3z+3x= xz.两边都除以3xz,得1x+ 1 z= 1 3③. 由①+②+③,得 2 1x+ 1 y+ 1 z =1+12+13=116.所以 1x +1y + 1 z= 11 12. 21. (1) 设B型大礼包每件的进价为x元,则A型大礼包 每件的进价为(x+30)元.依题意,得6000x+30= 5 4× 3600 x , 解得x=90.经检验,x=90是原方程的解且符合题意. 所以x+30=90+30=120.所以A型大礼包每件的进价 为120元,B型大礼包每件的进价为90元.(2) 设A型大 礼包购进m 件,B型大礼包购进n件.由(1)知A型大礼 包每件的进价为120元,B型大礼包每件的进价为90元, 所以m=6000120=50 ,n=360090 =40. 所以1 5m=10 ,50- 1 5m=40 ,1 2n=20. 依题意,得160×10+160(1-a%)× 40-6000+120×20+20×34 (120+a)-3600≥2355, 解得a≤5.所以a的最大值为5. 第10章　相交线、平行线与平移 一、 1. D 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D 7. D 8. D 9. B 10. C 解析:如图,过点B 作BD∥m.因为 m∥n,所 以BD∥m∥n.因为BD∥m,∠1=100°,所以∠ABD= ∠1=100°.又 因 为∠2=30°,所 以∠DBC=180°- ∠ABD-∠2=50°.因为BD∥n,所以∠3+∠DBC= 180°.所以∠3=180°-∠DBC=130°. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 第8章　整式乘法与因式分解 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. (陕西中考)计算2x·(-3x2y3)的结果为 ( ) A. 6x3y3 B. -6x2y3 C. -6x3y3 D. 18x3y3 2. 下列运算结果正确的是 ( ) A. 6m-2m=4 B. m3·m4=m12 C. m8÷m4=m2 D. (-m2n3)2=m4n6 3. 新情境 新科技 2024年9月9日,工业和 信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机,实现 套刻精度≤8nm技术,标志着我国在高端芯 片制造领域取得了关键性进展.已知8nm= 0.000000008m,则0.000000008用科学记 数法可表示为 ( ) A. 8×109 B. 8×10-9 C. 8×1010 D. 8×10-10 4. 下列等式从左到右的变形中,属于因式分解 的是 ( ) A. m(a-2)=am-2m B. (x+3)(x-3)=x2-9 C. x2+3x-5=x(x+3)-5 D. 4x2-1=(2x+1)(2x-1) 5. 已知a=255,b=344,c=533,则a,b,c的大小 顺序是 ( ) A. a<c<b B. c<b<a C. b<c<a D. a<b<c 6. (赤峰中考)已知(x+2)(x-2)-2x=1,则 2x2-4x+3的值为 ( ) A. 13 B. 8 C. -3 D. 5 7. 新考法 新定义题 如果一个正整数能表示 为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整 数是“创新数”.如8=32-12,16=52-32,所 以8,16都是“创新数”.下列正整数是“创新 数”的为 ( ) A. 20 B. 22 C. 26 D. 24 8. 整体思想 若(x-2021)2+(x-2025)2= 34,则(x-2023)2的值是 ( ) A. 5 B. 9 C. 13 D. 17 9. 已知3x=4,3y=6,3z=12,则x,y,z之间的 数量关系正确的是 ( ) A. xy=2z B. x+y=2z C. x+2y=2z D. x+2y=z2 10. 如果(x+a)(x+b)=x2+mx+12,m,a, b都是整数,那么m 的可能值的个数为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、 填空题(每题3分,共12分) 11. 分解因式:ac2-4ab2= . 12. ★已知计算(2x-p)(-x+2)的结果中不 含x的一次项,则p= . 13. 若x-2是多项式x2-6x+m 的一个因 式,则m 的值为 . 答案讲解 14. 数形结合思想 有边长为a 的大 正方形A和边长为b的小正方形 B,现将小正方形B放在大正方形 A内部得到图①,将大正方形A和小正方 形B并列放置后,构造新的正方形得到图 ②,图①②中涂色部分的面积分别是1 和12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 8 (1) 根据图①②中涂色部分的面积,可以得 到a-b= ,ab= ; (2) 若将3个大正方形A和2个小正方形 B按如图③所示的方式摆放,则涂色部分的 面积为 . 第14题 三、 解答题(共58分) 15. (4分)计算: (1) -13 2025 ×32024; (2) (-xy2)3·(-3x2y)2. 16. (6分)分解因式: (1) -3x2+6xy-3y2; (2) a2(x-y)+16(y-x). 17. (6分)(南充中考)先化简,再求值:(x+2)· (3x-2)-2x(x+2),其中x=3-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级 9 答案讲解 18. (6分)已知 M=3a2+4ab-1, N=a2-2ab-1. (1) 请用含a,b 的代数式表示 M-3N; (2) 如果a,b满足(a-1)2+|b-2|=0, 求M-3N 的值. 19. ★(6分)(荆门中考)已知x+1x=3 ,求下面 各式的值: (1) x-1x 2 ; (2) x4+1x4. 20. (6分)已知多项式A=mx-3,B=2x+n, A 与B 的乘积中不含有x 项,常数项是 -3.求: (1) m,n的值; (2) A·B-B2的值. 答案讲解 21. (6分)新考法 新定义题 对于任 意的有理数a,b,c,d,我们规定符 号(a,b)􀱋(c,d)=ad-bc,例如: (1,3)􀱋(2,4)=1×4-3×2=-2. (1) (-2,3)􀱋(4,5)的值为 ; (2) 求(3a+1,a-2)􀱋(a+2,a-3)的值, 其中a2-4a+1=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 10 答案讲解 22. (8分)如图,某市有一块长为(3a+ b)米、宽为(2a+b)米的长方形地 块,规划部门计划在中间留一块边 长为(a+b)米的正方形空地修建雕像,其 余部分铺设草坪(涂色部分). (1) 草坪的面积是多少平方米(用含a,b的 代数式表示)? (2) 若a,b 满足(x+2)(x+3)=x2+ ax+b,草坪的价格为每平方米50元,求购 买草坪所需要的总费用. 第22题 23. (10分)(西宁中考)上课时,老师提出了如 下问题:将2a-3ab-4+6b 进行因式 分解. 【观察】 经过小组合作交流,小明得到了如 下解决方法: 解法一:原式=(2a-3ab)-(4-6b) =a(2-3b)-2(2-3b) =(2-3b)(a-2) 解法二:原式=(2a-4)-(3ab-6b) =2(a-2)-3b(a-2) =(a-2)(2-3b) 【感悟】 当对项数较多的多项式无法直接进 行因式分解时,我们可以将多项式分为若 干组,再利用提公因式法、公式法达到因式 分解的目的,这就是因式分解的分组分解 法.分组分解法在代数式的化简、求值及方 程等学习中起着重要的作用. 【类比】 (1) 请用分组分解法将x2-a2+ x+a进行因式分解; 【挑战】 (2) 请用分组分解法将ax+a2- 2ab-bx+b2进行因式分解; 【运用】 (3) 已知a2+b2=9,(a-b)2=1, 先将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4 进行因 式分解,再求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级