精品解析：广东省深圳市第二实验学校明远高中2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024～2025学年度高二下学期期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集的含义即可得到答案. 【详解】由得，所以， 又，所以． 故选：C． 2. 已知为纯虚数，则实数（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念列式求解，即可得答案. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得. 故选：A. 3. 若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出圆台的轴截面图，并求棱长，进而利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】圆台的轴截面如下图： 因为母线与下底面所成的角为，所以母线长为， 所以圆台的侧面积为：. 故选：D. 4. 若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 5. 已知前n项和为的等比数列的首项为，，则的所有可能取值之和为（ ） A. 21 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设出公比，利用求出或，从而得到或24，求和即可. 【详解】设公比为q，则，解得或， 当时，，当时，， 故的所有的取值之和为. 故选：A. 6. 已知为第一象限角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用两角差的正切公式化简已知等式，可求得，展开化为齐次式，再弦化切，代入即可求解. 【详解】由，得，解得或. 又为第一象限角，所以， 所以， .故C正确. 故选：C. 7. 如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由余弦定理可得，在中易得，，即可利用数量积的定义求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 8. 若、都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设，则不等式可化为，即，可知函数在上单调递增，则恒成立，所以恒成立，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】不妨设，则不等式可化为， 整理得， 则函数在上单调递增， 故恒成立，所以恒成立. 令，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 故，所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（ ） A. B. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C. 混动类部件优质品率高于其不合格品率 D. 纯电类部件优质品率高于其不合格品率 【答案】BC 【解析】 【分析】由正态分布的性质可判断各选项. 【详解】根据正态分布的性质可知，，，所以，故A错误； 因为，所以X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高”，故B正确； 因为Y对应的正态曲线的对称轴方程为，所以， 又，所以，即混动类部件优质品率高于其不合格品率，故C正确； 因为X对应的正态曲线的对称轴方程为，所以，则纯电类部件优质品率等于其不合格品率，故D错误. 故选：BC. 10. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象变换得函数，结合余弦函数性质依次判断即可. 【详解】将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到， 再将向左平移个单位长度得到， A选项，因为，所以为偶函数，A错误； B选项，当时，，故的图象关于直线对称，B正确； C选项，当时，， 而在区间上单调递增， 故在上单调递增，C正确； D选项，当时，， 故函数的图象关于点对称，D错误. 故选：BC. 11. 已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（ ） A. 均关于轴对称 B. 面积的最大值为 C. 当时，点的纵坐标的最大值大于1 D. 当，有公共点时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据条件求出点的轨迹方程即可判断；B当为的上、下顶点时，的面积最大；C取特殊点即可；D联立的两个方程得出，即，再结合椭圆的性质即可求出. 【详解】设，由，得， 将代入得 ， 所以关于轴对称； 由，知为椭圆，易得其方程为， 所以关于轴对称，故A正确； 当为的上、下顶点时，的面积最大， 故，故B错误； 当时，， 令，得，解得，即， 故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 由椭圆的方程，得， 代入， 得，所以， 因为，所以，解得或（舍去），D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项并化简，令的指数等于，解得的值代入系数即得. 【详解】的展开式的通项， 令，得， 故的系数为. 故答案为： 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】由题知，所以， 求导可得，所以， 故曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 14. 已知正数a，b，c，d互不相等，若数据a，b，c的方差和数据b，c，d的方差相等，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，从而，进一步变形并结合基本不等式即可求解. 【详解】由题知，化简可得， 所以 ， （当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和和差的正弦函数将等式进行化简，进而可求出. （2）根据余弦定理求出，然后根据三角形面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得， 又， 故. 因为，所以，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得. 因为，，， 所以 解得， 所以△ABC的面积. 16. 已知点，为双曲线C：（，）上两点. （1）求双曲线C的方程； （2）若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程列出方程组求解即可. （2）联立直线和双曲线方程组，消元，利用韦达定理可求出线段中点坐标，然后利用垂直关系可列出之间的关系式，最后根据的范围即可求出的范围. 【小问1详解】 将，的坐标代入双曲线C的方程，可得，解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 设，，线段的中点， 联立，消去整理得， 所以，即且①， 所以，， 所以，. 因为，所以， 所以， 所以②. 又③， 由①②③得或， 所以实数m的取值范围是. 17. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 过点在平面内作于，连接， 在直三棱柱中，平面，平面，故， 在平面内，因为，，故， 因为为的中点，故为的中点，所以， 因为，，为的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形，所以， 由题意可知，为的中点，所以， 故为的中点，又因为为的中点，所以，故， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）过点在平面内作于，连接，推导出四边形为平行四边形，可得出，由中位线的性质得出，则，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得，如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 一个不透明的袋子中有n（且）个材质、大小完全相同的小球，袋中小球分别编号为1，2，3，…，n.从袋中任意取两个小球，记这两个小球编号的差的绝对值为X，记这两个小球编号中的最大编号为Y. （1）当时， （ⅰ）求的概率； （ⅱ）求； （2）证明：. 参考公式：. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） X的取值为1，2，…，， 则，，…， ，…，， ， 所以 . Y的取值为2，3，…，n， ，，…，，…，， . 所以 . 故. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）从袋中任意取两个小球，共有种情况，再列举出满足的情况，得到； （ⅱ）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （2）X的取值为1，2，…，，并求出相应的概率，分组求和得到，同理求出Y的取值为2，3，…，n，并求出相应的概率，求和得到，证明出结论. 【小问1详解】 （ⅰ），从袋中任意取两个小球，共有种情况， 当，时，这2个球的编号为1，2； 当，时，这2个球的编号为3，1； 当，时，这2个球的编号为4，1； 当，时，这2个球的编号为5，1； 当，时，这2个球的编号为6，1， 可得当时，的概率为. （ⅱ）X的可能取值为1，2，3，4，5， ，即2个球的编号为1，2；2，3；3，4；4，5；5，6； 故，同理可得，， ，， X 1 2 3 4 5 P . 【小问2详解】 略 19. 已知，. （1）求函数的单调区间； （2）若数列的通项公式为（为自然对数底数），记，（i，），（j，），证明：当时，； （3）若数列满足，，，证明：对任意的，. 【答案】（1）的单调递减区间为，无增区间 （2） 由题知，，所以， 则 ， ， 所以当时，， 即当时，. （3） 由（1）知，函数在区间上单调递减， 又，所以当时，，即，. 因为（），， 令，得；令，得 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且. 因为，所以，，…，， 则，所以. 又因为在上单调递减，所以， 即，即， 所以，则，所以. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数恒为负得出单调减区间； （2）应用分组求和及等比数列求和公式计算结合不等式性质证明即可； （3）应用导函数正负得出函数单调性得出，再化简证明即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， ， 所以函数的单调递减区间为，无增区间. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度高二下学期期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为纯虚数，则实数（ ） A. 3 B. C. D. 3. 若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知前n项和为的等比数列的首项为，，则的所有可能取值之和为（ ） A. 21 B. 20 C. 18 D. 16 6. 已知为第一象限角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 若、都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（ ） A. B. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高” C. 混动类部件优质品率高于其不合格品率 D. 纯电类部件优质品率高于其不合格品率 10. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 11. 已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（ ） A. 均关于轴对称 B. 面积的最大值为 C. 当时，点的纵坐标的最大值大于1 D. 当，有公共点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________. 14. 已知正数a，b，c，d互不相等，若数据a，b，c的方差和数据b，c，d的方差相等，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 已知点，为双曲线C：（，）上两点. （1）求双曲线C的方程； （2）若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围. 17. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 一个不透明的袋子中有n（且）个材质、大小完全相同的小球，袋中小球分别编号为1，2，3，…，n.从袋中任意取两个小球，记这两个小球编号的差的绝对值为X，记这两个小球编号中的最大编号为Y. （1）当时， （ⅰ）求的概率； （ⅱ）求； （2）证明：. 参考公式：. 19. 已知，. （1）求函数的单调区间； （2）若数列的通项公式为（为自然对数底数），记，（i，），（j，），证明：当时，； （3）若数列满足，，，证明：对任意的，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $