概率中的泊松分布 讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、泊松分布 二、模考中的几何与泊松分布 一、泊松分布 定义：若随机变量 的分布列为 其中 ，则称 服从参数为 的泊松分布记为 . 因为 所以定义是合理的 . 在二项分布中， 越大计算量越大，难以直接计算，但当 足够大时，可以用泊松分布等效二项分布，下面进行说明。 设随机变量 ，记 ，则 对充分大的 与适当大小的 ，有 因此，对充分大的 与适当大小的 有 另外，中心极限定理将表明，当 较大时二项分布还可以由正态分布来近似 . 让我们重看 【例2】 第 （3） 问，可取 ，查泊松分布表可得 即 ，结果没有改变. 在应用中，也常常遇到 无法确的二项分布的情形，此时就直接使用泊松分布来描述 . 例如，来到某售票窗口的人数，进入商场的顾客数，书中印刷错误的个数，布匹上的疵点数，纱锭上面纱断头次数，某放射性物质放射出的 粒子数，热电子的发射数，显微镜下在某观察范围内的微生物数等等. 类似于二项分布，泊松分布也有中心项，计算 知， ，当且仅当 . 所以 为泊松分布的中心项 . 下面再举一个关于泊松分布的例子，以帮助同学们更好地理解， 【例3】周末到达某商场顾客 服从参数为 （人）的分布，其中女性顾客占 . 求到达商场的女性顾客数 的分布列 . 解析： 二、模考中的几何与泊松分布 【华师一附中24届考前卷T19】泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况 . 如果随机变量 的所有可能取值为 ，，，，且 ， ，，， 其中 ，则称 服从泊松分布，记作 . （1） 设 ，且 ，求 ； （2） 已知当 ， 时，可以用泊松分布 近似二项分布 ，即对于 ， ，当 不太大时，有 . （i） 已知甲地区共有 户居民，每户居民每天有 的概率需要一名水电工。试估计某天需要至少 名水电工的概率； （ii） 在 （i） 的基础上，已知乙地区共有 户居民，每户居民每天有 的概率需要一名水 电工。试估计某天两个地区一起至少需要 名水电工的概率. 解析： （1） （2） （i） （ii） 【24届武汉四调T19】已知常数 ，在成功的概率为 的伯努利试验中，记 为首次成功时所需的试验次数， 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布. （1） 对于正整数 ，求 ，并根据 求 ； （2） 对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 ，现提供一种求 的方式：先进行第一次试验 ，若第一次试验失败 ，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助 ，可以认为后续期望仍是 ，即总的试验次数为 ；若第一次试验成功 ，则进行第二次试验 ，当第二次试验成功时 ，试验停止 ，此时试验次数为 ，若第二次试验失败 ，相当于重新试验 ，此时总的试验次数为 （i） 求 ； （ii） 记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ，求 解析： （1） 注： （2） （i） （ii） 注： 题目为什么可以这么假设？究其原因则是几何分布具有无记忆性。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、泊松分布 二、模考中的几何与泊松分布 一、泊松分布 定义 : 若随机变量 的分布列为 其中 ,则称 服从参数为 的泊松分布记为 . 因为 所以定义是合理的. 在二项分布中, 越大计算量越大,难以直接计算,但当 足够大时,可以用泊松分布等效二项分布,下面进行说明。 设随机变量 ,记 ,则 对充分大的 与适当大小的 ,有 因此,对充分大的 与适当大小的 有 另外,中心极限定理将表明,当 较大时二项分布还可以由正态分布来近似. 让我们重看【例 2】第( 3 )问,可取 ,查泊松分布表可得 即 ,结果没有改变. 在应用中,也常常遇到 无法确的二项分布的情形,此时就直接使用泊松分布来描述. 例如, 来到某售票窗口的人数, 进入商场的顾客数, 书中印刷错误的个数, 布匹上的疵点数,纱锭上面纱断头次数,某放射性物质放射出的 粒子数,热电子的发射数, 显微镜下在某观察范围内的微生物数等等. 类似于二项分布, 泊松分布也有中心项, 计算 知, ,当且仅当 . 所以 为泊松分布的中心项. 下面再举一个关于泊松分布的例子, 以帮助同学们更好地理解, 【例 3】周末到达某商场顾客 服从参数为 (人)的分布,其中女性顾客占 . 求到达商场的女性顾客数 的分布列. 解析: 对自然数 ,由全概率公式得 即到达商场的女性顾客数仍照从泊松分布,参数变为 (人). 事实上, 还可以类似证明,到达商场的男性顾客数 服从参数为 (人) 的泊松分布. 一般的泊松分布都可以这样来进行分解。由归纳法泊松分布的随机变量可以分解为任意 个随机的和. 二、模考中的几何与泊松分布 【华师一附中 24 届考前卷 T19】泊松分布是一种重要的离散型分布,用于描述稀有事件的发生情况. 如果随机变量 的所有可能取值为 ,且 其中 ,则称 服从泊松分布,记作 . (1)设 ,且 ,求 ； ( 2 )已知当 时,可以用泊松分布 近似二项分布 ,即对于 ,当 不太大时,有 . ( i )已知甲地区共有 100000 户居民,每户居民每天有 0.00010 的概率需要一名水电工。试估计某天需要至少 2 名水电工的概率； ( ii )在 (i) 的基础上, 已知乙地区共有 200000 户居民, 每户居民每天有 0.00004 的概率需要一名水 电工。试估计某天两个地区一起至少需要 3 名水电工的概率. 解析: (1) 由 得 解得 (2) (i) 设 为甲地区某天需要的水电工数目, 则 ,且 那么, 某天至少需要 2 名水电工的概率约为 (ii) 设 为乙地区某天需要的水电工数目,则 ,且 , 0.00004) 于是 那么, 某天两个地区一起至少需要 3 名水电工的概率约为 【24 届武汉四调 T19】已知常数 ,在成功的概率为 的伯努利试验中,记 为首次成功时所需的试验次数, 的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布. (1)对于正整数 ,求 ,并根据 求 ; (2)对于几何分布的拓展问题,在成功的概率为 的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 ,现提供一种求 的方式: 先进行第一次试验, 若第一次试验失败, 因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮 助,可以认为后续期望仍是 ,即总的试验次数为 ; 若第一次试验成 功,则进行第二次试验,当第二次试验成功时, 试验停止, 此时试验次数为 2, 若第二次试验失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为 (i) 求 ; (ii) 记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ,求 解析: (1) 记 ,则 所以 记 ,则 所以 注: 是差比 (前等差后等比) 数列求和,可以利用错位相减法,以上利用的是裂项求和法 (2) (i) 记 为首次出现连续两次成功时所需的试验次数,则 按照题目所给的方法, 可以得到 所以 故 (ii)(如果利用题目所给的方法就不容易思考了,这时不妨把期望 看成数列,找到关于 的递推式) 期望 表示已经有最后的(n - 1)次连续成功当下一次再成功时即有连续 次成功,则总试验次数为 ,概率为 ; 当下一次不成功时,因为出现试验失败对出现连续 次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是 ,即总的试验次数为 ,概率为 所以 则 设 对比 (1) (2) 式可得 . 又 是以 为首项,以 为公比的等比数列 则 注: 题目为什么可以这么假设? 究其原因则是几何分布具有无记忆性。 学科网（北京）股份有限公司 $$