22.1.2 二次函数 y=ax² 的图像和性质 教案 2025--2026学年人教版九年级数学上册

本文围绕二次函数\(y = ax²\)的图像和性质展开，承接二次函数概念，为后续复杂二次函数学习奠基。通过画图像、探究性质等环节，培养学生抽象能力、推理能力及应用意识，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 本设计亮点在于采用实验探究、观察归纳等教法。从学生层面看，提升动手与思维能力；从教师角度，提供清晰授课思路；从课堂效果讲，有效突破理解图像对称性及应用性质的教学难点。

22.1.2 二次函数 y=ax² 的图像和性质 一、教学目标 1.会用描点法画出二次函数y=ax²的图像，知道该图像是一条抛物线。 2.掌握二次函数y=ax²的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数的增减性。 3.能根据a的取值判断二次函数y=ax²图像的开口方向、开口大小，并能利用其性质解决简单问题。 4.经历画二次函数y=ax²图像的过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养学生的动手操作能力和观察分析能力。 5.在探究二次函数y=ax²性质的过程中，学会通过观察图像归纳总结函数性质，提高学生的数学思维能力。 二、教学重难点 教学重点 1.用描点法画出二次函数y=ax²的图像。 2.掌握二次函数y=ax²的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。 教学难点 1.理解二次函数y=ax²图像的对称性。 2.灵活运用二次函数y=ax²的性质解决实际问题。 三、教学方法 实验探究法：让学生动手画出二次函数y=ax²的图像，通过亲身体验来感知图像的特点，为探究性质奠定基础。 观察归纳法：引导学生观察画出的图像，归纳总结出二次函数y=ax²的性质，培养学生的观察能力和归纳能力。 讲练结合法：在讲解知识点后，及时安排练习题，让学生巩固所学知识，做到学以致用。 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 回顾旧知 提问学生：“我们上节课学习了二次函数的概念，谁能说一说二次函数的一般形式是什么？”（学生回答：y=ax²+bx+c，其中a≠0） 接着问：“当b=0，c=0时，二次函数的形式是什么呢？”（学生回答：y=ax²） 引入新课 教师说：“y=ax²是一种最简单的二次函数，这节课我们就来研究它的图像和性质。” 板书课题：22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质。 （二）探究新知（25 分钟） 1.画二次函数y=x²的图像 教师引导学生按照列表、描点、连线的步骤画y=x²的图像。 列表：让学生选取一些x的值，包括正数、负数和 0，计算出对应的y值 x ..... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...... y=x2 ...... 9 4 1 0 1 4 9 描点：学生根据表格中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点。 连线：引导学生用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到y=x²的图像。 教师强调：连线时要注意曲线的平滑性，不能画成折线。 2.认识抛物线 告诉学生：二次函数y=x²的图像是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y=x²。 说明：抛物线是轴对称图形，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，y=x²的顶点是原点(0,0)。 3..探究y=ax²（a≠0）的图像和性质 让学生分别画出y=2x²和y=-x²，y=-x²的图像。 引导学生观察这几个函数的图像，思考以下问题： 抛物线y=ax²的开口方向与a的取值有什么关系？（当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下） 抛物线y=ax²的对称轴是什么？顶点坐标是什么？（对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0,0)） 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而怎样变化？在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而怎样变化？当x=0时，y的值有什么特点？（当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当x=0时，y有最小值 0） 当a<0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而怎样变化？在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而怎样变化？当x=0时，y的值有什么特点？（当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最大值 0） 抛物线y=ax²的开口大小与|a|有什么关系？（|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽） 师生共同总结二次函数y=ax²的性质： 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当x=0时，y有最小值 0。 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当x=0时，y有最大值 0。 |a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽。 （三）巩固练习（10 分钟） 1.填空题 抛物线y=3x²的开口向___，对称轴是___，顶点坐标是___，当x=0时，y有最___值，是___。 2.抛物线y=x²的开口向___，对称轴是___，顶点坐标是___，当x>0时，y随x的增大而___。 3.下列抛物线中，开口最宽的是（ ） A. y=2x² B. y=-3x² C. y=x² D. y=-x² 4.对于抛物线y=ax²，若a>0，则当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系是（ ） A. y1<y2 B. y1>y2 C. y1=y2 D. 无法确定 5.已知抛物线y=ax²经过点(1,-2)，求a的值，并说出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （四）课堂小结（7 分钟） 1.教师引导学生回顾本节课所学内容，包括二次函数y=ax²的图像是抛物线，以及它的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等）。 2.让学生说一说在画图像和探究性质过程中的收获和遇到的问题，师生共同解决。 3.强调：a的取值决定了抛物线y=ax²的开口方向和开口大小，我们要熟练掌握这些性质并能灵活运用。 （五）布置作业（3 分钟） 必做题：教材对应练习题，画出y=3x²和y=-x²的图像，并写出它们的性质。 选做题：已知点A(-2,y1)，B(1,y2)在抛物线y=-x²上，比较y1和y2的大小。 五、板书设计 22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质 1.抛物线的定义：二次函数的图像是一条抛物线 2.y=x²的图像画法：列表、描点、连线 3.y=ax²（a≠0）的性质： 开口方向：a>0向上，a<0向下 对称轴：y轴 顶点坐标：(0,0) 4.增减性： a>0：x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大 a<0：x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小 最值：a>0有最小值 0；a<0有最大值 0 开口大小：|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽 六、教学反思 本节课通过让学生动手画图，自主探究二次函数y=ax²的图像和性质，充分调动了学生的学习积极性。在教学过程中，大部分学生能够跟上节奏，掌握所学知识，但也有部分学生在画图像时不够规范，在理解增减性方面存在困难。在今后的教学中，要加强对这些学生的指导，多让他们进行练习，同时可以采用小组合作的方式，让学生之间相互帮助，共同提高。此外，还可以增加一些与实际生活相关的例题，让学生体会数学的实用性，提高学习兴趣。 学科网（北京）股份有限公司 $$