2.3 二次根式同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.3 二次根式 课时1 二次根式的乘除法 刷基础 知识点1 二次根式的概念 1下列各式：(:① ;②√-5;③ ;④√₋₃-x²;⑤ ²₉;⑥ 其中是二次根式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2(新考向开放性试题[2025 河南安阳质检]请写出一个含x的二次根式，且x取任意实数二次根式都有意义： 知识点2 二次根式的乘法( 3.[2025 山西长治质检]计算 的结果是( ) A.2 B. C. D.3 4.[2025 重庆开州区期中]估计 的值在 ( ) A.2和3 之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 5.[2025天津滨海新区质检]计算( 的结果等于 . 6.[2025 山东烟台调研]计算： 7[2025 浙江宁波调研]设 ，则 的值是 . 8[2025河南洛阳期中]计算： 知识点3 二次根式的除法( [2025 江苏常州调研]下列计算正确的是( ) 10[2025辽宁沈阳质检]计算 的结果是 17[2025 河北邯郸调研]设长方形的面积为 S，相邻的两边长分别为a，b，若 则b= . 2[2025广西百色期中]对于任意两个不相等的实数a,b(a>b),定义一种新运算:a※b= 例如 则 12※4= 3[2025陕西西安质检]计算： 课时2 二次根式的化简及加减运算 刷基础 知识点1 1.[2025上海徐汇区期中]下列从左到右的变形不一定正确的是 ( ) 2[2025陕西西安质检]若 则化简 的结果是 ( ) A. 3.[2024 河南洛阳期中]化简二次根式 0)正确的是 ( ) 4[2025 山西大同质检]若 则 .(用含a，b的式子表示) 5[2025上海浦东新区期中]如果 20,那么x= . 知识点2 最简二次根式 6[2025 四川宜宾期中]下列是最简二次根式的是 ( ) 7 新考前开放性试题[2025 江苏无锡期中]请写出一个正整数m，使得 是最简二次根式，m= 知识点3 二次根式的加减运算 8.[2025 福建泉州期中]下列计算正确的是( ) 9[2024 江苏扬州期中]计算: 10[2025湖北武汉调研]计算: 刷易错 易错点 忽视二次根式中被开方数的非负性使化简出错( 11化简: 解： (-3)=6. 以上解答过程正确吗?若不正确，请改正. 刷提升 1[中]设 则 可以表示为 ( ) B.10ab C. 2.[2025 浙江湖州调研，中]已知二次根式 与 化简成最简二次根式后，被开方数相同，若a是正整数，则a的最小值为 ( ) A.23 B.21 C.15 D.5 3.[2025 山东枣庄质检，中]如图，实数m在数轴上对应的点 M 到原点的距离为5.下列各数所对应的点中，与点 M 最接近的是 ( ) 4[2025 四川南充质检,中]若 a 是正整数, 是最简二次根式，则a最小为 . 5[2025青海西宁期末，较难]将图(1)中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A 拼接成如图(2)的大正方形.如果正方形A 的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图(1)中原长方形的长是 。 6.[2025湖南衡阳调研，中]已知 5,当x分别取1,2,3,…,2024时,所对应y值的总和是 . 7.[2025 山西吕梁期中，中]如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点 B，点C 与点B关于原点对称，若A，B，C三点对应的数分别为a,b,c, (1)填空:b= ,c= , bc+6= ; (2)化简: 刷素养 核心素养运算能力[2025 北京延庆区期中，较难]阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+ 这样就可以将 进行化简，即 善于思考的小明进行了以下探索： 对于 ，若能找到两个数m和 n，使 且 则 可变形为 2mn,即(m+n)², 从 而 使 得 (其中a,b,m,n均为正数) 例如：因为 所以 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简: (2)化简: (3)若 其中a，b都是整数，求a的值. 课时3 二次根式的混合运算 刷基础 知识点1 分母有理化 [2025 辽宁沈阳质检]化简 的结果是() 2[2025 上海宝山区期中]已知 则m和n的关系为 ( ) A. m=n B. mn=1 C. m=-n D. mn=-1 3[2025 安徽滁州调研]下列各个数中，与 互为倒数的是 ( ) 4[2025 四 川 甘 孜 州 质 检 ]分母 有 理化: 知识点2 二次根式的混合运算 5[2025河北唐山质检]计算 的结果是 ( ) B. [2025 重庆渝中区校级期末]如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在格点(小正方形的顶点)上，则△ABC中BC边上的高的长度是 ( ) 7[2025 云南曲靖质检]定义: 则2⊗4= . 8[2025 浙江绍兴期中]计算: 知识点3 二次根式的化简求值 [2025 河北秦皇岛质检]设 ,其中a=4,b=8,则M的值为 ( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 10[2025 山西晋中质检]若 则 的值是 ( ) C. D. 11[2025 上海长宁区质检]已知实数x，y满足 则 的值等于 12[2025陕西咸阳质检]先化简，再求值： 其中 13.[2025福建泉州期中，中]老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是 ( ) A.小明和小丽 B.小丽和小红 C.小红和小亮 D.小丽和小亮 2[2025河南鹤壁质检，中]张老师在黑板上出了一道计算题：( ，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是 ( ) A.×或÷ B.+或÷ C.+或× D.-或× 3[2025 重庆渝中区期中，中]估计 的值应在 ( ) A.6和7之间 B.7和8之间 C.8和9之间 D.9和10之间 4[2025 河北邯郸调研，中]幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则(A+B)·D+C的值为 A B 5 5 C 10 D 5.[2025 四川成都质检,中]已知x+y=-6, xy=8,则代数式 的值为 . 6.[2025 广东深圳调研，中]数学课上，同学们对王老师黑板上的题很感兴趣，他们答案都不同，且众说纷纭.题目如下：化简： ①小浩说：当a，b，c皆为正数时，化简结果为 ②小特说：当a，b，c皆为负数时，化简结果为 ③小凌说:当a<0,b>0,c<0时，化简结果为 ④小斯说：当a>0,b<0,c<0|时，化简结果为 以上同学的说法正确的是 (填序号). 7[2025 山东济南校级质检，中]阅读下面的计算 过程 请解决下列问题. (1)根据上面的规律，请直接写出计算结果： 且n为正整数) (2)利用上面的解法，请化简： (3)你能化简 且n为正整数)吗?若能，请写出化简过程. 3 二次根式 课时1 二次根式的乘除法 刷基础 1. B 【解析】( 是二次根式； 的被开方数小于0，不是二次根式；( 是三次根式； 的被开方数小于0，不是二次根式； 因为 所以 是二次根式； 因为 所以 是二次根式.故选 B. (答案不唯一)【解析】符合条件的二次根式可以为 故答案为 (答案不唯一). 3. A 【解析】 故选 A. 4. A 【解析】 因为 所以 所以 故选 A. 【解析】 故答案为 6.1 【解析】原式 故答案为1. 【解析】因为 所以 则 故答案为 8.【解】(1)原式 (3)原式 9. B 【解析】 故 A 选项不正确，不符合题意； ，故B 选项正确，符合题意； 故 C 选项不正确，不符合题意； 故 D 选项不正确，不符合题意.故选 B. 10.2 【解析】原式 故答案为2. 【解析】因为 所以 .故答案为 【解析】 故答案为 13.【解】(1)原式 (2)原式 课时2 二次根式的化简及加减运算 刷基础 1. D 【解析】 故A不符合题意；由 可知 所以 所以 故 B 不符合题意；由 可知 所以 故C 不符合题意；当 时， 不成立，故D符合题意.故选 D. 2. B【解析】由非负性可知 所以 所以 故选 B. 3. C 【解析】因为: 所以 故选 C. 4. ab 【解析】因为 所以 故答案为 ab. 5.16 【解析】因为 所以 即 所以 所以 所以. 经检验：x= 16是原方程的解，故答案为16. 6. B 【解析】 不是最简二次根式，故选项A不符合题意； 是最简二次根式，故选项 B 符合题意； 不是最简二次根式，故选项 C 不符合题意； 不是最简二次根式，故选项 D 不符合题意.故选 B. 7.1(答案不唯一)【解析】因为 是最简二次根式，m为正整数，所以m的值可以为1.故答案为1(答案不唯一). 8. D 【解析】 故选项 A 不符会题意； 与 不能合并，故选项B不符合题与 不能合并，故选项C不符合题意； 故选项 D 符合题意.故选 D. 【解析】因为 所以 所以原式 【解】(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4) 原式 刷易错 11.【解】不正确.正确的解答过程如下： 刷提升 1. D 【解析】 因为 所以原式 故选 D. 2. D【解析】因为二次根式 与 化简成最简二次根式后，被开方数相同，且 所以当 时， 当 时,a= 15;当 时， 当 时， (不符合题意，舍).综上，符合条件的正整数a的值为5，15，21，所以a的最小值为5.故选 D.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3. A【解析】由题意可知， 因为 所以 因为 所以数轴上点 M 与数 所对应的点的距离小于点 M 与数· 所对应的点的距离，即数 所对应的点与点 M 最接近，故选 A. 4.3【解析】因为 a是正整数， 是最简二次根式， 所以a最小为3.故答案为3. 【解析】设长方形C 的长为 x，宽为y，则正方形A 的边长为 x，长方形 B 的长为 ，宽为y.因为正方形A 的面积为2，所以 因为拼接后的大正方形的面积是5，所以 所以 所以题图(1)中原长方形的长为 故答案为 6.2036 【解析】 5,当. 时， 当 0时, 当 时， 当 时， 当 时， 所以当x分别取1,2,3,…,2 024 时,所对应的y值的总和是ˊ 故答案为2 036. 7.【解】(1)因为 所以 因为点 C 与点 B 关于原点对称，所以 2，所以 故答案为 (2)原式 刷素养 8.【解】(1)原式 (2)原式 (3)因为 所以 因为a，b都是整数，所以 ,解得b=2,所以 5,解得a=±3. 课时3 二次根式的混合运算 刷基础 1. D 【解析】 故选 D. 2. A 【解析】因为 所以m=n.故选 A. 3. A 【解析】 的 倒 数 是 故选 A. 【解析】 故答案为 5. B 【解析】原式 故选 B. 6. D 【解析】根据题图可得△ABC 的面积为 设 中BC边上的高的长度是x，则 所以 故选 D. 【解析】因为 所以 故答案为 8.答案【解】(1)原式 (2)原式 (3)原式 9. D 【解析】因为( 所以 故选 D. 10. A 【解析】因为 所以 所以 故选 A. 【解析】因为 所以 所以 0，所以 解得 所以 故答案为 12.【解】原式 当 时，原式 刷提升 1. B 【解析】因为 所以小明没有出现错误.因为 所以小丽出现错误.因为 所以小红出现错误.因为2+ 所以小亮没有出现错误.故选 B. 2. C 【解析】当“○”中填的符号是×时,(3- 当“○”中填的符号是÷时， 当“○”中填的符号是+时， 当“○”中填的符号是-时，(3- 因为3和6是有理数， 都是无理数，所以当“○”中填的符号是×或+时，计算结果是有理数.故选 C. 3. C 【解析】 因为64<75<81,所以 所以 的值应在8和9之间.故选C. 【解析】因为方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，所以 所以( 故答案为 【解析】因为： 所以： 所以 故答案为 6.①③④ 【解析】①当a,b,c 皆为正数时,原式 故①正确.②当a，b，c皆为负数时， 所以 无意义，故②错误.③当 时，原式 故③正确.④当( 时，原式 故④正确.综上，①③④正确.故答案为①③④. 7.【解】 故答案为 (3)能. 学科网（北京）股份有限公司 $$