第10讲 双曲线（十大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第10讲 双曲线 【苏教版2019】 模块一 双曲线的标准方程 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【题型1 双曲线定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【变式1.1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【变式1.2】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【变式1.3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2】（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 【变式2.3】（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式3.2】（24-25高二上·湖北恩施·阶段练习）已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4】（24-25高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·山东·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·重庆·期中）已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 模块二 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 【例5】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式5.1】（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式5.2】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【变式5.3】（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【题型6 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例6】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二上·重庆·期末）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 双曲线的渐近线方程】 【例7】（24-25高二上·安徽·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二上·天津河北·期末）已知双曲线（，）的离心率为2，则它的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【题型8 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例8】（24-25高二下·四川泸州·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·四川南充·期末）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．5 【变式8.2】（24-25高二上·湖南永州·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A．2 B． C． D．3 【变式8.3】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9 双曲线中的最值问题】 【例9】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式9.2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【变式9.3】（24-25高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【题型10 双曲线的实际应用问题】 【例10】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【变式10.3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 3．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北保定·期末）若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 二、多选题 9．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 10．（24-25高二上·重庆·期末）记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能为圆 B．曲线可能为等轴双曲线 C．若，则为焦点在轴上的双曲线 D．若，则为焦点在轴上的椭圆 11．（24-25高二上·云南文山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 三、填空题 12．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则 . 13．（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 14．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 16．（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 17．（24-25高二·全国·课后作业）设声速是a（），在相距10a（）的A､B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6，已知声强与距离的平方成反比.试建立适当的坐标系. (1)求点P所在曲线的方程； (2)若哨所B处的声强是哨所A处声强的9倍，试求炮弹爆炸点P的坐标. 18．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 19．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 双曲线 【苏教版2019】 模块一 双曲线的标准方程 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【题型1 双曲线定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【解题思路】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【解答过程】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】结合图象，及双曲线的对称性及定义可得答案. 【解答过程】由题可得. 如图，设双曲线右焦点为，因为与都关于原点中心对称，则， 由双曲线的定义知. 故选：D.    【变式1.2】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【解题思路】根据双曲线的定义求解． 【解答过程】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】由双曲线的定义即可求解. 【解答过程】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B. 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2】（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解. 【解答过程】由双曲线的焦点在x轴上， 可得，即m的范围为， 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【解答过程】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 【解题思路】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项. 【解答过程】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确； 对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确； 对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误； 对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【解题思路】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【解答过程】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B． 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可. 【解答过程】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【解答过程】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二上·湖北恩施·阶段练习）已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先确定，的值，再根据焦点所在位置直接写出双曲线的标准方程. 【解答过程】由已知：，，故，由双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【解答过程】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4】（24-25高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【解答过程】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【解答过程】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二上·山东·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直接法求解. 【解答过程】解：由题意可得， 化简得． 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二上·重庆·期中）已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【解答过程】圆 ，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C. 模块二 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型5 双曲线中的焦点三角形问题】 【例5】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 【变式5.1】（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【解题思路】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【解答过程】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：C. 【变式5.2】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【解题思路】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值. 【解答过程】由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以， 则的面积为， ，解得. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出，，由椭圆、双曲线的定义求出，，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【解答过程】由曲线：的方程可得 ，， 由椭圆的定义可得． 又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，不妨设在双曲线右支上， 双曲线的定义可得．，， 在中，由余弦定理可得， ， 的面积为.    故选：A. 【题型6 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例6】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由渐近线斜率结合点在双曲线上列出等式，求解即可. 【解答过程】由，可得渐近线方程为：， 所以，即， 又点在双曲线上，可得：， 联立解得：， 所以双曲线的方程为：， 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的几何性质可得. 【解答过程】由题意可设双曲线的方程为， 由题意，，故，故双曲线的方程为， 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【解答过程】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高二上·重庆·期末）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【解答过程】因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B. 【题型7 双曲线的渐近线方程】 【例7】（24-25高二上·安徽·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由方程确定即可求解. 【解答过程】根据题意，，可知， 所以渐近线方程为：． 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线方程确定渐近线方程，结合已知求参数值即可. 【解答过程】由题设，则双曲线的渐近线为，即为，所以. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设有得出参数关系，进而写出双曲线的渐近线方程. 【解答过程】由题设，则渐近线为. 故选：B. 【变式7.3】（24-25高二上·天津河北·期末）已知双曲线（，）的离心率为2，则它的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由离心率为2，利用双曲线的性质可得，由此可得渐近线的方程． 【解答过程】由得双曲线的渐近线方程为． ∵双曲线的离心率为2， ∴，解得， ∴双曲线的渐近线方程为 ． 故选：D． 【题型8 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例8】（24-25高二下·四川泸州·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出、的值，即可得出该双曲线的离心率的值. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 故该双曲线的离心率为. 故选：D. 【变式8.1】（24-25高二上·四川南充·期末）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．5 【解题思路】首先根据题意判定双曲线的焦点所在的轴，由此设出双曲线的标准方程，然后根据渐近线方程得到双曲线基本量的关系，进而得到离心率. 【解答过程】因为， 所以点在两渐近线的右侧， 双曲线的中心在原点，焦点在轴上， 故可设双曲线的标准方程为， 渐近线方程为， 结合已知渐近线方程为得， 故双曲线的离心率. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二上·湖南永州·期末）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A．2 B． C． D．3 【解题思路】根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解． 【解答过程】由题意，双曲线渐近线方程为， 因为一条渐近线与直线平行，可得， 则，即双曲线的离心率为． 故选：C． 【变式8.3】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，将向量的数量积转化成坐标运算，结合双曲线的几何性质，化简，得到相关不等式，解不等式即可得到结果. 【解答过程】设，则，即， 设双曲线的半焦距为，则 所以， ， 因为双曲线上的点坐标都满足，所以. 则有即，所以 故选：D. 【题型9 双曲线中的最值问题】 【例9】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解答过程】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式9.1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【解题思路】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【解答过程】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 【变式9.2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【解题思路】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【解答过程】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 【变式9.3】（24-25高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【解题思路】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【解答过程】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 【题型10 双曲线的实际应用问题】 【例10】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据横截面圆的最小半径得到的值，再根据离心率以及之间的关系得到双曲线的标准方程，最后将代入即可求得结果. 【解答过程】因为彩陶摆件横截面圆的最小半径为，所以，则， 又双曲线的离心率为，所以，即，则， 所以，可得双曲线的方程为， 将代入可得，所以该彩陶摆件的高为， 故选：D. 【变式10.1】（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可. 【解答过程】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设为曲线上任一点， 则， 所以点的轨迹为双曲线的右支，且，， ， 点的轨迹方程为． 故选：B. 【变式10.2】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【解答过程】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D. 【变式10.3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由双曲线方程可得，且焦点在y轴上，即可得焦点坐标. 【解答过程】由双曲线方程可知：，且焦点在y轴上， 则，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：B. 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【解题思路】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【解答过程】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 3．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，求解关于的一元二次不等式得答案． 【解答过程】解：方程表示双曲线， ，解得或 的取值范围是 故选：D. 4．（24-25高二上·河北保定·期末）若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据双曲线的离心率公式求出的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程. 【解答过程】已知离心率，由离心率公式可得（这是因为，两边同时除以得到，再开方就得到）. 所以，平方可移项得到. 可得. 对于双曲线（，），其渐近线方程为. 已经求得，将其代入渐近线方程，可得渐近线方程为. 故选：A. 5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合双曲线的定义求得正确答案. 【解答过程】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 6．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程. 【解答过程】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D. 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【解答过程】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由 . 根据双曲线的定义： . 所以 . 所以. 故选：A. 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 【解题思路】根据双曲线的性质直接求解即可. 【解答过程】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意，求得双曲线其中一条渐近线方程为，由双曲线的两条渐近线的夹角为，得到直线的倾斜角为或，求得或，利用离心率的公式，分类讨论，即可求解. 【解答过程】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或，则或， 解得或， 当时，可得，此时双曲线的离心率为； 当时，可得，此时双曲线的离心率为. 故选：AD. 10．（24-25高二上·重庆·期末）记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能为圆 B．曲线可能为等轴双曲线 C．若，则为焦点在轴上的双曲线 D．若，则为焦点在轴上的椭圆 【解题思路】易知当时，曲线为圆，即A正确，假设曲线为等轴双曲线，但方程无解，可得假设不成立，即B错误；再根据双曲线标准方程定义可判断C正确，又利用椭圆标准方程可得D正确. 【解答过程】对于A，易知当时，即时，曲线方程为， 也即，表示圆，即A正确； 对于B，若曲线可能为等轴双曲线可知，显然此方程无解， 因此曲线不可能为等轴双曲线，即B错误； 对于C，若，可知，方程可化为， 此时为焦点在轴上的双曲线，即C正确； 对于D，若，可得，且， 所以为焦点在轴上的椭圆，即D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二上·云南文山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【解题思路】由已知及双曲线的定义得且、，再依次判断各项的正误. 【解答过程】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则 2或14 . 【解题思路】利用双曲线标准方程及其定义计算即可求出结果. 【解答过程】由双曲线可知， 所以，因此的最小值为； 再由双曲线定义可知， 可知2或14. 故答案为：2或14. 13．（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 【解题思路】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求得双曲线方程，令，可求结论. 【解答过程】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意，，所以， 因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线方程为，因为斧高12cm， 令，得，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 4 . 【解题思路】由题意，易知为直角三角形，根据勾股定理和双曲线的定义计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【解答过程】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 故答案为：4. 四、解答题 15．（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【解题思路】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为. 16．（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 【解题思路】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为, 渐近线方程为，顶点为. 17．（24-25高二·全国·课后作业）设声速是a（），在相距10a（）的A､B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6，已知声强与距离的平方成反比.试建立适当的坐标系. (1)求点P所在曲线的方程； (2)若哨所B处的声强是哨所A处声强的9倍，试求炮弹爆炸点P的坐标. 【解题思路】（1）以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，设出方程，即可求得结果； （2）根据题意，求得，结合点的坐标满足双曲线方程，联立方程组即可求得点的坐标. 【解答过程】（1）以A､B所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设､，则点满足， 故点在以为焦点的双曲线上，设其方程为， 则，解得， 故点P所在曲线的方程为； （2）根据题意可得：，即， 又，故可得，设点坐标为， 由点在双曲线上，故可得，则， 由，故可得，即， 整理得：，解得（舍）或，此时，， 故点的坐标为. 18．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 【解题思路】（1）根据三角形面积以及离心率计算可得结果； （2）设，结合双曲线定义以及勾股定理计算可求得的长，再由正切值定义计算可得. 【解答过程】（1）设点，由题意知． 则，解得． 由题意知，所以， 所． 所以双曲线的方程为． （2）设，则由双曲线定义得，则． 由勾股定理得，则． 由题意知，代入上式得， 解得或（舍去）， 所以． 19．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【解题思路】（1）根据双曲线的性质，利用焦点到渐近线的距离和焦距以及即可求解； （2）设双曲线的左焦点为，根据双曲线定义将转化为，即可得出当，，三点共线时取得最小值，进而求解即可. 【解答过程】（1）双曲线的焦距为， 半焦距，右焦点， 右焦点到渐近线的距离为， 一条渐近线方程为，即， ，得， ， 双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义可知，， ， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故的最小值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$