第09讲 椭圆（十大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第09讲 椭圆 【苏教版2019】 模块一 椭圆的标准方程 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型1 椭圆定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式1.1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【变式1.2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆的焦点为 为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·陕西·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二下·辽宁·开学考试）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·陕西汉中·期末）“”是“方程 表示椭圆”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3 椭圆方程的求解】 【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·山东青岛·期中）经过、两点椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·山东·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型4 椭圆的动点轨迹方程的求法】 【例4】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式4.3】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 模块二 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 【例5】（24-25高二上·广东茂名·期末）已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A．6 B．4 C． D．8 【变式5.1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【变式5.3】（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 模块三 椭圆的简单几何性质 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型6 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例6】（24-25高二上·天津·期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 椭圆的焦距与长轴、短轴】 【例7】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【变式7.1】（24-25高二上·山东东营·阶段练习）已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B．6 C． D．12 【变式7.2】（24-25高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【变式7.3】（24-25高二上·湖北·阶段练习）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例8】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为上不与共线的两点满足周长的最大值为20，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二上·福建泉州·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型9 椭圆中的最值问题】 【例9】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式9.1】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式9.2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式9.3】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型10 椭圆的实际应用问题】 【例10】（2025·贵州毕节·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（24-25高二上·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 【变式10.3】（24-25高二上·浙江·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）椭圆的短轴长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 3．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·贵州·阶段练习）长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 6．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广西百色·期末）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 10．（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 11．（2025·山东济南·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 三、填空题 12．（24-25高二上·天津滨海新·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 13．（24-25高二上·宁夏·期末）方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 14．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 16．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标． 17．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆C：（）的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F. (1)若，，求椭圆的标准方程； (2)若，求椭圆的离心率. 18．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 19．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 椭圆 【苏教版2019】 模块一 椭圆的标准方程 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型1 椭圆定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【解题思路】根据椭圆的定义即可得解. 【解答过程】由椭圆，得，则， 所以. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【解题思路】根据椭圆的定义即可求出. 【解答过程】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 【变式1.2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆的焦点为 为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得. 【解答过程】由椭圆方程：，可知， 因，故. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高二上·陕西·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解题思路】由椭圆的定义可知，再由，解方程即可得出答案. 【解答过程】因为，则， 由椭圆的定义可知：， 又因为，解得：. 故选：B. 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用方程中表示椭圆的特征列式求解. 【解答过程】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二下·辽宁·开学考试）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用方程表示椭圆求得，可得“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 【解答过程】由方程表示椭圆，可得，解得， 因为， 所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】借助椭圆定义计算即可得. 【解答过程】由题意可得 ，解得或. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二上·陕西汉中·期末）“”是“方程 表示椭圆”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】列出表示椭圆的关于m的不等式组求解，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【解答过程】方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B. 【题型3 椭圆方程的求解】 【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【解答过程】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 【变式3.1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可. 【解答过程】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·山东青岛·期中）经过、两点椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设出椭圆一般方程，由待定系数法求解即可. 【解答过程】设椭圆方程为（，，） 则，解得， 所以椭圆方程为. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二上·山东·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知椭圆的焦点坐标为，，所以，又长轴长为，即，进而求出b的值，即可得到答案. 【解答过程】因为椭圆的焦点坐标为，，所以所求椭圆的焦点在轴上，且．因为所求椭圆的长轴长为，即，所以，所以，所以所求椭圆的方程是． 故选：C． 【题型4 椭圆的动点轨迹方程的求法】 【例4】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【解答过程】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 【变式4.1】（24-25高二上·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程. 【解答过程】设点、，设线段上靠近点的三等分点为， 由题意可得，则， 所以，，所以，， 则，化简得， 故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【解题思路】设点，由题意，根据中点坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【解答过程】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式4.3】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用相关点法求动点轨迹方程. 【解答过程】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A. 模块二 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 【例5】（24-25高二上·广东茂名·期末）已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A．6 B．4 C． D．8 【解题思路】根据椭圆的定义求解． 【解答过程】根据椭圆方程可得，则，由椭圆的定义得，， ，所以的周长为. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，，，可得的面积. 【解答过程】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解. 【解答过程】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以， 所以点的纵坐标为，所以. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【解题思路】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【解答过程】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为 ． 故选：C. 模块三 椭圆的简单几何性质 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型6 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例6】（24-25高二上·天津·期末）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据离心率公式以及长轴长，结合的关系即可求解. 【解答过程】设椭圆方程为，则，解得， 故椭圆方程为， 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆中的关系求解即可. 【解答过程】由题意可得解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【解答过程】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 【变式6.3】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出椭圆的离心率，设椭圆的标准方程为，根据已知列方程即可. 【解答过程】设焦点在轴上的椭圆：， 由已知得，即①， 又椭圆：的离心率为，所以②， ①②联立解得，， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 【题型7 椭圆的焦距与长轴、短轴】 【例7】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【解题思路】根据椭圆方程，根据焦点在x轴表示出焦距可求出m． 【解答过程】由椭圆焦距为2，焦点在x轴上， 得，则，得，解得，∴m的值为5， 故选：A． 【变式7.1】（24-25高二上·山东东营·阶段练习）已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（    ） A． B．6 C． D．12 【解题思路】根据椭圆的标准方程以及其离心率的定义求出，再根据长轴长的定义可得答案. 【解答过程】由题意可知，解得，即， 所以椭圆长轴长为. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【解题思路】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果. 【解答过程】椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， 椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， ∴两个椭圆中只有焦距相等. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高二上·湖北·阶段练习）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【解答过程】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，， 因为长轴长是短轴长的两倍，所以， 所以，得. 故选：D. 【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例8】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆方程可知 值，根据焦点坐标得到 值，从而求出，代入离心率公式即可求解. 【解答过程】解：根据题意，可知，因为， 所以，即， 所以椭圆的离心率为． 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为上不与共线的两点满足周长的最大值为20，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用三角形中两边之和大于第三边，即可求得结果. 【解答过程】记的另一个焦点为，由三角形的三边关系知，当且仅当三点共线时等号成立， 故的周长为，解得：， 故的离心率为， 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二上·福建泉州·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【解答过程】依题意及椭圆的定义可知， 则，又，所以， 则离心率. 故选：D. 【变式8.3】（24-25高二上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【解答过程】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 【题型9 椭圆中的最值问题】 【例9】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【解题思路】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【解答过程】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故， 故选：C. 【变式9.1】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【解答过程】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【变式9.2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【解题思路】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解. 【解答过程】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则，    又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立. 故选：D. 【变式9.3】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【解答过程】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 【题型10 椭圆的实际应用问题】 【例10】（2025·贵州毕节·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【解答过程】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A. 【变式10.1】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【变式10.2】（24-25高二上·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解. 【解答过程】由题设知，解得， 所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为． 故选：C. 【变式10.3】（24-25高二上·浙江·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，解出即可得出离心率. 【解答过程】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为， 则由题意得， 解得， 所以该椭圆形轨道的离心率. 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由焦点在轴上的椭圆方程的特征求解即可． 【解答过程】，解得. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）椭圆的短轴长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【解题思路】根据椭圆的标准方程求出b，即可求解. 【解答过程】因为椭圆，所以，即， 所以椭圆的短轴长为， 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【解答过程】设椭圆方程为，则且，得， 故椭圆方程为. 故选：A. 4．（25-26高三上·贵州·阶段练习）长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设 ，，找出，再根据得到，即可求解． 【解答过程】设，，， 则有， 即，由题意可得， 即，即， 故选：A． 5．（24-25高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 【解题思路】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，，所以， 故的周长为． 故选：C. 6．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知椭圆的两焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【解题思路】根据已知条件求得，利用椭圆的定义求得正确答案. 【解答过程】由椭圆的标准方程可得， 由椭圆的定义可得. 故选：D. 7．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可. 【解答过程】且，则， 因，，则在中利用余弦定理可得， ，解得， 又，则. 故选：C. 8．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【解答过程】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·广西百色·期末）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 【解题思路】先把椭圆方程转化为标准方程，再分别判断各个选项即可. 【解答过程】方程可化为， 表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确； 由方程可得，，， 故焦距，C错误，D正确. 故选：BD. 10．（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【解题思路】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【解答过程】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD. 11．（2025·山东济南·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【解题思路】由椭圆方程求得的值，可得椭圆离心率判断A；由椭圆定义结合焦半径范围判断B与C；由基本不等式求得的最大值判断D. 【解答过程】已知椭圆，则，，， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高二上·天津滨海新·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 【解题思路】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【解答过程】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为：. 13．（24-25高二上·宁夏·期末）方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【解题思路】根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】因为方程所表示的曲线是椭圆， 所以满足，解得或, 因此的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 【解题思路】根据条件得到，再由，即可求解. 【解答过程】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍， 则，即，所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【解题思路】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 16．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标． 【解题思路】（1）设椭圆方程为，即可得到、、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，根据椭圆的性质计算可得. 【解答过程】（1）依题意设椭圆的标准方程为， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可得，所以长轴长为，短轴长为， 离心率，顶点坐标为，. 17．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆C：（）的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F. (1)若，，求椭圆的标准方程； (2)若，求椭圆的离心率. 【解题思路】（1）由顶点坐标与已知长，建立方程，可得答案； （2）由方程表示出顶点与焦点坐标，由垂直直线，建立齐次方程，可得答案. 【解答过程】（1）由，则， 由，则，可得， 解得，所以方程为. （2）由，则， 所以直线的斜率，直线的斜率， 由，则，即，由，则， 由，则，解得. 18．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 【解题思路】（1）根据椭圆定义可得答案； （2）设，可得，与椭圆方程联立可得答案. 【解答过程】（1）由，，动点满足， 可得动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，， 所以，，， 所以轨迹的标准方程为； （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 设，可得， 又，解得，，则的纵坐标为. 19．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 【解题思路】（1）求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）利用椭圆定义结合余弦定理可求得的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】（1）因为椭圆的焦距为，得， 又，则，得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）因为点是椭圆上的一点，则有， 可得，① 又由结合余弦定理，得② ①②可得，即， 则的面积. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$