第21章 二次函数与反比例函数 预学检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

88 第21章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 有下列函数:① y=1- 2x2;② y= 1 x2 ; ③ y=3x(1-3x);④ y=(1-2x)(1+ 2x).其中,属于二次函数的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列函数不属于反比例函数的是 ( ) A. y=3x-1 B. y=- x 3 C. y=- 3 x D. xy=-3 3. (哈尔滨中考)抛物线y=2(x+9)2-3的顶 点坐标为 ( ) A. (9,-3) B. (-9,-3) C. (9,3) D. (-9,3) 4. (广州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴为直线x=-2,则下列结 论正确的是 ( ) 第4题 A. a<0 B. c>0 C. 当x<-2时,y随x的增 大而减小 D. 当x>-2时,y随x的增 大而减小 5. (黔西南中考)在平面直角坐标系中,反比例 函数y= k x (k≠0)的图象如图所示,则一次 函数y=kx+2的图象经过 ( ) 第5题 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 6. (朝阳中考)如图,正比例函数y=ax(a为常 数,且a≠0)和反比例函数y= k x (k为常数, 且k≠0)的图象相交于A(-2,m),B 两点, 则不等式ax>kx 的解集为 ( ) 第6题 A. x<-2或x>2 B. -2<x<2 C. -2<x<0或x>2 D. x<-2或0<x<2 7. (襄阳中考)若点A(-2,y1),B(-1,y2)都 在反比例函数y= 2 x 的图象上,则y1,y2 的 大小关系是 ( ) A. y1<y2 B. y1=y2 C. y1>y2 D. 无法确定 8. (济南中考)某学校要建一块矩形菜地供学 生参加劳动实践,菜地的一边靠墙,另外三 边用木栏围成,木栏总长为40m.如图,设矩 形菜地的一边长为xm,另一边长为ym,当 x在一定范围内变化时,y 随x 的变化而变 化,则y与x之间满足 ( ) 第8题 A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 9. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y= ax+a和二次函数y=-ax2+2x+3(a是 常数,且a≠0)的图象可能是 ( ) A B C D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 89 答案讲解 10. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 0)与x 轴交于点A(5,0),与y轴 交于点C,其对称轴为直线x=2. 有下列结论:① abc>0;② b+3a<0; ③ 当x>0时,y随x的增大而增大;④ 若 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点 A,则点E(k,b)在第四象限.其中,正确 的有 ( ) 第10题 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. 若点(1,2)在反比例函数y= k x 的图象上, 则k= . 12. 将抛物线y=2(x-5)2+8先向左平移 5个单位,再向下平移8个单位,得到的新抛 物线对应的函数表达式为 . 13. (成都中考)在平面直角坐标系中,若反比 例函数y= k-2 x 的图象位于第二、四象限, 则k的取值范围是 . 14. (郴州中考)科技小组为了验证某电路的电 压U(单位:V)、电流I(单位:A)、电阻R (单位:Ω)三者之间的关系:I=UR ,测得数 据如下表: R/Ω 100 200 220 400 I/A 2.2 1.1 1 0.55 则当R=55时,I= . 答案讲解 15. (大庆中考)已知函数y=mx2+ 3mx+m-1的图象与坐标轴恰有 两个公共点,则实数 m 的值为 . 16. 如图①,E 是等边三角形ABC 的边BC 上 一点(不与点B,C 重合),连接AE,以AE 答案讲解 为边向右作等边三角形AEF,连 接CF.已知△ECF 的面积S 与 BE 的长x 之间的函数关系如图 ②所示(P 为抛物线的顶点). (1) 当△ECF 的面积最大时,∠CEF 的度 数为 ; (2) 等边三角形ABC 的边长为 . 第16题 三、 解答题(共52分) 17. (6分)已知y=(m-1)xm 2+1+4x-5是二 次函数. (1) 求m 的值; (2) 写出这个二次函数的表达式及其图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标. 18. (6分)已知抛物线y=x2+4x+3.求: (1) 该抛物线与x轴的交点坐标; (2) 该抛物线的顶点坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 90 19. (6分)已知y=y1-y2,并且y1 与x 成正 比例,y2与x-2成反比例,且当x=-2 时,y=-7;当x=3时,y=13. (1) 求y与x之间的函数表达式; (2) 当x=2时,求y的值. 20. (6分)(苏州中考)如图,一次函数y=kx+ 2(k≠0)的图象与反比例函数y= m x (m≠ 0,x>0)的图象交于点A(2,n),与y 轴交 于点B,与x轴交于点C(-4,0). (1) 求k,m 的值; (2) P(a,0)为x轴上一动点,当△ABP 的 面积为7 2 时,求a的值. 第20题 21. (6分)如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴 交于A,B 两点,与y 轴交于点C,点B 的 坐标为(3,0). (1) 求m 的值及抛物线的顶点坐标; (2) P 是抛物线的对称轴l上一动点,当 PA+PC 的值最小时,求点P 的坐标. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 91 答案讲解 22. (10分)某超市销售一种商品,成 本为每千克40元,规定每千克的 售价不低于成本,且不高于80元, 经市场调查,发现每天的销售量y(单位:千 克)与每千克的售价x(单位:元)满足一次 函数关系,部分数据如下表: 每千克的售价x/元 50 60 70 销售量y/千克 100 80 60 (1) 求y与x之间的函数表达式; (2) 设该商品每天的销售利润为w 元,求 w 与x 之间的函数表达式(利润=收入- 成本); (3) 试说明(2)中w 随x 的变化而变化的 情况,并求出当每千克的售价为多少时获 得的利润最大及最大利润是多少. 答案讲解 23. (12分)(安徽中考)如图①,隧道 截面由抛物线的一部分AED 和 矩形ABCD 构成,矩形的一边BC 的长为12,另一边AB 的长为2.以BC 所 在的直线为x轴,线段BC 的垂直平分线为 y轴,建立平面直角坐标系,E(0,8)是抛物 线的顶点. (1) 求此抛物线对应的函数表达式. (2) 在隧道截面内(含边界)修建“ ”型或 “”型栅栏,点P1,P4在x 轴上,MN 与矩 形P1P2P3P4 的一边平行且相等.栅栏总 长l 为图中粗线段P1P2,P2P3,P3P4, MN 的长度之和. ① 如图②,修建一个“ ”型栅栏,点P2,P3 在抛物线AED 上.设点P1的横坐标为m (0<m≤6),求栅栏总长l与m 之间的函 数表达式和l的最大值. ② 现修建一个总长为18的栅栏,有如图③ ④所示的“ ”型和“”型两种设计方案,请 你从 中 选 择 一 种,求 出 该 方 案 下 矩 形 P1P2P3P4的面积的最大值,及取最大值 时点P1 的横坐标的取值范围(点P1 在点 P4的右侧). 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 39 第21章预学检测 一、 1. C 2. B 3. B 4. C 5. B 6. D 7. C 8. B 9. D 10. C 解析:∵ 抛物线的开口向上,∴ a>0.∵ 对称轴 为直线x=2,∴ -b2a=2.∴ b=-4a<0.∵ 抛物线交 y轴于其负半轴,∴ c<0.∴ abc>0.故①正确.∵ b= -4a,a>0,∴ b+3a=-a<0.故②正确.观察图象可 知,当0<x≤2时,y随x的增大而减小.故③错误.∵ 一 次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A,∴ 5k+b=0, 即k=-b5.∵ b<0,∴ k>0.∴点E(k,b)在第四象 限.故④正确.综上所述,正确的有3个. 二、 11. 2 12. y=2x2 13. k<2 14. 4 15. 1或-45 解析:当m=0时,y=-1,与坐标轴只有 一个交点,不符合题意.当 m≠0时,函数y=mx2+ 3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点分两种情 况:① 过坐标原点,则m-1=0,解得m=1;② 与x 轴、 y轴各有一个交点,则 Δ=(3m)2-4m(m-1)=0, m≠0, 解得 m=-45. 综上所述,m 的值为1或-45. 16. (1) 30° (2) 42 解析:(1) 如图,过点F 作FD⊥ BC,交BC 的延长线于点D.∵ △ABC 和△AEF 都是等 边三角形,∴ AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠ABC= ∠ACB=∠EAF=∠AEF=60°.∴ ∠BAC-∠CAE= ∠EAF- ∠CAE,即 ∠BAE= ∠CAF.在 △ABE 和 △ACF 中, AB=AC, ∠BAE=∠CAF, AE=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △ACF. ∴ BE=CF=x,∠ABE=∠ACF=60°.∴∠DCF= 180°-∠ACB-∠ACF=60°.∴ CD=12CF= 1 2x. ∴ DF= CF2-CD2= x2- 12x 2 = 32x. 设等边 三角形ABC 的边长为a,则CE=BC-BE=a-x. ∴ S=12CE ·DF=12 (a-x)· 32x=- 3 4x 2+ 3 4ax.∴ 当x= - 34a 2× - 34 =12a 时,S 取得最大值,为 0- 3 4a 2 4× - 34 = 316a 2.∴ 当△ECF 的面积最大时,BE= 1 2a ,即E 是BC 的中点.∴ AE⊥BC,即∠AEC=90°. ∵ ∠AEF=60°,∴ ∠CEF=30°.(2) 由(1),得当x= 1 2a 时,S取得最大值,为 316a 2.由图象可知,S 的最大值 为23,∴ 3 16a 2=23,解得a1=42,a2=-42(不合 题意,舍去).∴ 等边三角形ABC 的边长为42. 第16题 三、 17. (1) 由题意,得 m-1≠0, m2+1=2, 解得m=-1.(2) 由 (1),得二次函数的表达式为y=-2x2+4x-5= -2(x-1)2-3,∴ 这个二次函数的图象的开口向下,对 称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-3). 18. (1) 令y=0,得x2+4x+3=0,解得x1=-1, x2=-3.∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(-1,0), (-3,0).(2) ∵ 抛物线y=x2+4x+3=(x+2)2-1, ∴ 该抛物线的顶点坐标为(-2,-1). 19. (1) 设y1=kx,y2= m x-2 ,则y=kx- m x-2. 根据题 意,得 -2k+m4=-7 , 3k-m=13, 解得 k=3,m=-4. ∴ y 与x 之间的 函数表达式为y=3x+ 4 x-2. (2) 当x=2时,y=32+ 4 2-2 =2-4. 20. (1) 把C(-4,0)代入y=kx+2,得0=-4k+2,解 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 40 得k=12.∴ y= 1 2x+2. 把A(2,n)代入y= 1 2x+2 ,得 n=3,∴ 点A 的坐标为(2,3).把A(2,3)代入y= m x ,得 3=m2 ,解得m=6.∴ k=12 ,m=6.(2) 在y= 1 2x+ 2中,令x=0,得y=2,∴ 点B 的坐标为(0,2).∵ P(a, 0)为x轴上一动点,∴ PC=|a+4|.∴ S△BCP= 1 2PC · OB=12×|a+4|×2=|a+4| ,S△ACP= 1 2PC ·yA= 1 2×|a+4|×3= 3 2|a+4|.∵ S△ACP=S△ABP+S△BCP, ∴ 3 2|a+4|= 7 2+|a+4| ,解得a=3或a=-11. 21. (1) 把B(3,0)代入y=-x2+mx+3,得0=-32+ 3m+3,解得m=2.∴ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+ 4.∴ 抛物线的顶点坐标为(1,4).(2) 如图,连接BC,交 抛物线的对称轴l于点P,连接PA,则易得此时PA+ PC的值最小.设直线BC 对应的函数表达式为y=kx+ b.将C(0,3),B(3,0)代入,得 3=b, 0=3k+b, 解得 k=-1, b=3. ∴ 直线BC 对应的函数表达式为y=-x+3.当x=1 时,y=-1+3=2,∴ 当PA+PC的值最小时,点P 的坐 标为(1,2). 第21题 22. (1) 设y与x 之间的函数表达式为y=kx+b(k≠ 0).由题意,得 50k+b=100, 60k+b=80, 解得 k=-2, b=200. ∴ y与x 之 间的函数表达式为y=-2x+200(40≤x≤80).(2) 由题 意,可得w=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x- 8000,∴ w 与x 之间的函数表达式为w=-2x2+ 280x-8000.(3) ∵ w=-2x2+280x-8000=-2(x- 70)2+1800,40≤x≤80,∴ 当40≤x≤70时,w 随x 的 增大而增大,当70<x≤80时,w 随x 的增大而减小.当 x=70时,w 取得最大值,为1800.∴ 当每千克的售价为 70元时获得的利润最大,最大利润是1800元. 23. (1) 由题意,得点A,D 的坐标分别为(-6,2),(6, 2).∵ E(0,8)是抛物线的顶点,∴ 设抛物线对应的函数 表达式为y=ax2+8.将A(-6,2)代入,得(-6)2a+8= 2,解得a=-16.∴ 抛物线对应的函数表达式为y= -16x 2+8.(2) ① ∵ 点P1 的横坐标为m(0<m≤6), 且四边形P1P2P3P4 为矩形,点P2,P3 在抛物线AED 上,∴ 点P2 的 坐 标 为 m,- 1 6m 2+8 .∴ P1P2 = P3P4= MN = - 1 6m 2 +8,P2P3 =2m.∴ l= 3 -16m 2+8 +2m=-12m2+2m+24=-12(m- 2)2+26.∵ -12<0 ,∴ 当m=2时,l取得最大值,为 26.∴ 栅栏总长l 与 m 之间的函数表达 式 为l= -12m 2+2m+24(0<m≤6),l的最大值为26.② 选 “ ”型设计方案:设 P1P2=n,则 P2P3=18-3n. ∴ S矩形P1P2P3P4=(18-3n)n=-3n 2+18n=-3(n- 3)2+27.∵ -3<0,∴ 当n=3时,矩形P1P2P3P4的面积 取得最大值,为27,此时P1P2=3,P2P3=9.令- 1 6x 2+8= 3,解得x=± 30,∴ 此时点P1 的横坐标的取值范围 是- 30+9≤x≤ 30.选“”型设计方案:设P1P2= t,则P2P3= 18-2t 2 =9-t.∴ S 矩形P1P2P3P4=(9-t)· t=-t2+9t=-t-92 2 +814.∵ -1<0,∴ 当t= 9 2 时,矩形P1P2P3P4 的面积取得最大值,为 81 4 ,此时 P1P2= 9 2 ,P2P3= 9 2. 令-16x 2+8=92 ,解得x= ± 21,∴ 此时点P1 的横坐标的取值范围是- 21+ 9 2≤x≤ 21. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈