21.3 二次函数与一元二次方程-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

68 21.3　二次函数与一元二次方程 1. 在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当y=0时,得到一元二次方程 ,则一元 二次方程的根就是二次函数的图象与 轴交点的 坐标. 2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况决定一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况: (1) 当抛物线与x轴有两个交点时,b2-4ac 0,则方程有 个 的实数根; (2) 当抛物线与x轴有且只有一个交点时,b2-4ac 0,则方程有 个 的实数根; (3) 当抛物线与x轴无交点时,b2-4ac 0,则方程 实数根. 3. 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的 ,这个结果一般是 ,也可以通 过解一元二次方程求二次函数图象与x轴交点的 坐标. 典例1 已知函数y=ax2-(3a+1)x+2(a+ 1)的图象与x 轴只有一个交点,则a 的值为 . 本题考查了函数图象与x 轴的交点的问 题,解题时,围绕着a的取值,分类讨论,即可求 出a的值. 解答: 解有所悟:解此题时,不能看到“已知图象与x 轴只 有一个交点”就盲目认为函数所对应的一元二次方 程根的判别式Δ=0,因为这个函数不一定是二次 函数,要注意二次项系数是否为常数,若不是常数, 则该函数也有可能是一次函数,所以要分类讨论. 典例2 已知y=x2-kx+3k-9是关于x的二 次函数. (1) 求证:无论k为何值,该二次函数的图象与 x轴都有交点; (2) 若该函数图象的顶点在x 轴上,试确定k 的值. (1) 计算出Δ的值并说明其为非负数即 可证明;(2) 利用顶点公式,列出关于k的方程 即可求得k的值. 解答: 解有所悟:(1) 判断二次函数的图象与x 轴的交点 情况,关键是计算b2-4ac的值,然后与0进行比 较;(2) 解答这类问题要牢记二次函数图象的顶点 坐标的公式表示,即-b2a ,4ac-b 2 4a . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 69 [基础过关] 1. 抛物线y=x2-3x+4与x 轴交点的个 数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图 所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=0的根为 ( ) 第2题 A. x1=1,x2=-3 B. x1=0,x2=-3 C. x1=0,x2=1 D. x1=x2=-1 3. (潍坊中考)若抛物线y=x2+x+c与x 轴 只有一个公共点,则c的值为 ( ) A. -14 B. 1 4 C. -4 D. 4 第4题 4. 如图,抛物线y=ax2 与直线 y=bx+c的两个交点分别为 A(-3,9),B(1,1),则方程 ax2-bx-c=0的解为 . 答案讲解 5. 已知抛物线对应的函数表达式为 y=x2-(k+2)x+2k-2. (1) 求证:该抛物线与x 轴必有两 个不同的交点; (2) 若该抛物线与直线y=x+k2-1的 一个交点在y 轴上,求该抛物线的顶点 坐标. [综合提升] 答案讲解 6. (河南中考)如图,抛物线y=x2+ mx 与直线y=-x+b 相交于点 A(2,0)和点B. (1) 求m 和b的值. (2) 求点B 的坐标,并结合图象写出不等式 x2+mx>-x+b的解集. (3) 设M 是直线AB 上的一个动点,将点M 向左平移3个单位得到点N.若线段MN 与 抛物线只有一个公共点,求点 M 的横坐标 xM 的取值范围. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 30 作BE⊥x 轴于点E,连接AB,AC,则BE=4,OC=1. ∵ 抛物线y=x2+2x+1的顶点A 的坐标为(-1,0),直 线y=-x+1与x轴的交点D 的坐标为(1,0),∴ AD= 2.∴ S△ABC=S△ABD-S△ACD = 1 2AD ·BE-12AD · OC= 1 2×2×4- 1 2×2×1=3. 预学训练 1. C 2. A 3. A 4. y=2x2+2x-4 -12 ,-92 5. y=- 1 2x 2+2x+52 6. y=-x2-2x 或y=-x2-2x+8 解析:∵ 抛物线 y= -x2 +mx+n 的 对 称 轴 过 点 A (-1,5), ∴ - m2×(-1)=-1 ,解得m=-2.∴ y=-x2-2x+ n.∵ y=-x2-2x+n=-(x+1)2+1+n,∴ 抛物线的 顶点为(-1,1+n).∵ 点A 与抛物线的顶点B 之间的距 离为4,∴ 1+n=1或1+n=9,解得n=0或n=8.∴ 抛 物线对应的函数表达式为y=-x2-2x 或y=-x2- 2x+8. 7. y=-2x2+4x+6 解析:根据题意,得a=-2.∵ 抛 物线y=ax2+bx+c 与x 轴两个交点的坐标分别为 (-1,0),(3,0),∴ 该抛物线对应的函数表达式为y= -2(x+1)(x-3),即y=-2x2+4x+6. 8. (1) ∵ 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(1, -8),(5,0),∴ 1+b+c=-8, 25+5b+c=0, 解得 b=-4 , c=-5. (2) 由 (1)可知,二次函数的表达式为y=x2-4x-5=(x- 2)2-9,∴ 该二次函数图象的顶点坐标为(2,-9),对称 轴为直线x=2. 9. (1) ∵ 抛物线y=x2-(m+3)x+9的顶点C在x轴 正半轴上,∴ 4×1×9-[-(m+3)]2 4×1 =0 ,解得m=3或 m=-9.又∵ -- (m+3) 2 >0 ,∴ m>-3.∴ m=3. (2) 由(1),得m=3,∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-6x+9.联立 y=x2-6x+9, y=x+3, 解得 x=1, y=4 或 x=6, y=9. 结合题图,可得点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(6,9). 10. (1) 把A(-4,0),C(2,0)代入y=ax2+bx-4,得 16a-4b-4=0, 4a+2b-4=0, 解得 a= 1 2 , b=1. ∴ 抛物线对应的函数表 达式为y= 1 2x 2+x-4.(2) 过点M 作MN⊥AC,垂足 为N.易得抛物线y= 1 2x 2+x-4与y轴的交点B 的坐 标为(0,-4),即 OB=4.又∵ 点 M 的坐标为 m, 1 2m 2+m-4 (-4<m<0),∴ ON=-m,MN= -12m 2-m+4,AN=m-(-4)=m+4.易得四边形 MNOB 为 梯 形,∴ S=S△AMN +S梯形MNOB -S△AOB = 1 2 (m+4) -12m2-m+4 +12 -12m2-m+4+ 4 ×(-m)-12×4×4=-m2-4m=-(m+2)2+ 4.∴ 当m=-2时,S最大值=4.∴ S关于m 的函数表达式 为S=-m2-4m,S的最大值为4. 11. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1, 0)和点B(3,0),∴ -1-b+c=0, -9+3b+c=0, 解得 b=2 , c=3. ∴ 抛物 线对应的函数表达式为y=-x2+2x+3.(2) 在y= -x2+2x+3中,令x=0,得y=3,∴ 点C 的坐标为(0, 3).∵ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴ 点D 的坐标 为(1,4).(3) 设点P 的坐标为(x,y)(x>0,y>0),则 S△COE= 1 2 ×3×1= 3 2 ,S△ABP = 1 2 ×4y=2y. ∵ S△ABP=4S△COE,∴ 2y=4× 3 2 ,解得y=3.令-x2+ 2x+3=3,解得x1=0(不合题意,舍去),x2=2.∴ 点P 的坐标为(2,3).(4) 存在.设点 M 的坐标为(m,n).若 AB 为对角线,则-1+32 = 0+m 2 ,0+0 2 = 3+n 2 ,∴ m=2, n=-3.∴ 点M 的坐标为(2,-3).若AM 为对角线,则 -1+m 2 = 3+0 2 ,0+n 2 = 0+3 2 ,∴ m=4,n=3.∴ 点M 的 坐标为(4,3).若AC为对角线,则-1+02 = 3+m 2 ,0+3 2 = 0+n 2 ,∴ m=-4,n=3.∴ 点M 的坐标为(-4,3).综上 所述,点M 的坐标为(2,-3)或(4,3)或(-4,3). 21.3 二次函数与一元二次方程 知识梳理 1. ax2+bx+c=0 x 横 2. (1) > 两 不相等 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 (2) = 两 相等 (3) < 没有 3. 根 近似值 横 典例演练 典例1 0或1 解析:∵ 函数y=ax2-(3a+1)x+ 2(a+1)的图象与x轴只有一个交点,∴ 当a=0时,函数 y=ax2-(3a+1)x+2(a+1),即y=-x+2是一次函 数,其图象与x 轴有且只有一个交点(2,0);当a≠0时, 函数y=ax2-(3a+1)x+2(a+1)是二次函数,令y= 0,得ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0,此时Δ=[-(3a+ 1)]2-4a·2(a+1)=0,即a2-2a+1=0,解得a1= a2=1.∴ a的值为0或1. 典例2 (1) 令y=0,得x2-kx+3k-9=0.∵ Δ= (-k)2-4(3k-9)=(k-6)2≥0,∴ 关于x 的一元二次 方程x2-kx+3k-9=0一定有实数根,即无论k为何 值,该二次函数的图象与x轴都有交点.(2) ∵ 二次函数 y=x2 -kx+3k-9 的 图 象 的 顶 点 在 x 轴 上, ∴ 4×1×(3k-9)-k2 4×1 =0 ,解得k1=k2=6.∴ k 的值 为6. 预学训练 1. A 2. A 3. B 解析:∵ 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公 共点,∴ 方程x2+x+c=0有两个相等的实数根.∴ Δ= 1-4c=0,解得c=14. 4. x1=-3,x2=1 解析:∵ 抛物线y=ax2 与直线y= bx+c的两个交点分别为A(-3,9),B(1,1),∴ 方程 ax2=bx+c的解为x1=-3,x2=1.∴ ax2-bx-c= 0的解为x1=-3,x2=1. 5. (1) 令y=0,得x2-(k+2)x+2k-2=0,∴ Δ= [-(k+2)]2-4×1×(2k-2)=k2-4k+12=(k- 2)2+8>0.∴ 该抛物线与x 轴必有两个不同的交点. (2) ∵ 抛物线与直线y=x+k2-1的一个交点在y 轴 上,∴ 2k-2=k2-1,解得k1=k2=1.∴ 抛物线对应的 函数表达式为y=x2-3x= x-32 2 -94.∴ 该抛物 线的顶点坐标为 3 2 ,-94 . 6. (1) 将A(2,0)代入y=x2+mx,得0=4+2m,解得 m=-2.将A(2,0)代入y=-x+b,得0=-2+b,解得 b=2.∴ m=-2,b=2.(2) 由(1),得直线对应的函数表 达式为y=-x+2,抛物线对应的函数表达式为y=x2- 2x.联立 y=x2-2x, y=-x+2, 解得 x=-1, y=3 或 x=2, y=0. ∴ 点B 的坐 标为(-1,3).由题图知,不等式 x2+mx>-x+b 的解 集为x<-1或x>2.(3) 当点M 在线段AB(不包括点 A)上时,∵ 点M,N 之间的距离为3,而点A,B 的水平 距离为3,∴ 此时线段 MN 与抛物线只有一个公共点, 即-1≤xM<2.当点M 在点B 的左侧时,线段MN 与抛 物线没有公共点.当点M 在点A 的右侧时,易得只有当 xM=3时,抛物线和线段 MN 交于抛物线的顶点(1, -1),此时线段 MN 与抛物线只有一个公共点.综上所 述,点M 的横坐标xM 的取值范围是-1≤xM <2 或 xM=3. 21.4 二次函数的应用1 知识梳理 1. (1) 等量关系 (2) 因变量 (3) 函数表达式 (5) 检 验 (6) 答案 2. 最大面积 典例演练 典例1 根据题意,得AP=tcm,BQ=2tcm,则 BP= (6-t)cm,CQ=(8-2t)cm,t的取值范围是 0<t≤4. ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AD=BC=8cm,AB= CD=6cm.又∵ S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△PBQ- S△DCQ,∴ S=6×8-12×8t- 1 2 (6-t)·2t-12× 6(8-2t)= t2-4t+24=(t-2)2+20.∴ 当t=2时,S 取得最小值,最小值为 20. 典例2 (1) 由题意,得y=36-3x 7≤x<343 .(2) 由 题意,得S=(36-3x)x=-3x2+36x.∵ -3<0,该函 数图象的对称轴为直线x=- 362×(-3)=6 ,∴ 当x= 7时,S的值最大,最大值为105.(3) 由(2),得S 关于x 的函数表达式为S=-3x2+36x 7≤x<343 .在S= -3x2+36x 中,当 x=- 362×(-3)=6 时,S最大 = 0-362 4×(-3)=108. 令S=-3x2+36x=81,解得x1=3, x2=9.画出函数S=-3x2+36x 的部分图象如图所 示.结合图象及函数表达式中自变量x 的取值范围,得x 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈