21.1 二次函数-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

26 BD,∴ DO=BO.∵ DE∥BC,∴ ∠DEO=∠BCO.在 △DOE 和△BOC 中, ∠DEO=∠BCO, ∠DOE=∠BOC, DO=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DOE≌ △BOC.∴ DE=BC.∴ 四边形BCDE 是平行四边形.又 ∵ BC=CD,∴ 四边形BCDE 是菱形.(2) ① ∵ DE 垂 直平 分 AC,∴ AE=CE,DE⊥AC.∴ ∠AED = ∠CED.又∵ BC=CD,CE⊥BD,∴ CE 垂直平分 DB.∴ DE=BE.∴ 易得∠CED=∠BEC.∴ ∠AED= ∠CED=∠BEC.又∵ ∠AED+∠CED+∠BEC= 180°,∴ ∠CED=∠AED=∠BEC=13×180°=60°. ② 由①,得AE=CE,∠AEC=∠AED+∠CED=120°, ∴ ∠ACE=12× (180°-120°)=30°.同理,可得在等腰三 角形 BED 中,∠EBD =30°,∴ ∠ACE= ∠ABF= 30°.在 △ACE 和 △ABF 中, ∠ACE=∠ABF, ∠CAE=∠BAF, AE=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌ △ABF.∴ AC=AB.又 ∵ AE =AF, ∴ AB-AE=AC-AF,即BE=CF. 3 预学储备 第21章　二次函数与反比例函数 21.1 二次函数 知识梳理 1. y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0) x a b c 2. 全体实数 实际问题 非负整数 3. ax2+c ax2+bx ax2 典例演练 典例 1 -1 解析:由 题 意,得 m2+1=2, m-1≠0, 解 得 m=-1. 典例2 (1) ∵ 每件涨价x元,∴ 每星期少卖10x件.由 题意,得y=150-10x.由售价不能高于每件45元,得 x≤5,∴ y与x之间的函数表达式为y=-10x+150,自 变量x的取值范围是0≤x≤5,且x为整数.(2) 由题意, 得W=(x+40-30)(150-10x)=-10x2+50x+1500. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. C 8. 1 9. 0 10. y=100-x2 11. (1) ∵ 函数y=m(m+2)x2+mx+m+1是一次函 数,∴ m(m+2)=0, m≠0, 解得m=-2.∴ 当m=-2时,此 函数是一次函数.(2) ∵ 函数y=m(m+2)x2+mx+ m+1是二次函数,∴ m(m+2)≠0,解得m≠-2且m≠ 0.∴ 当m≠-2且m≠0时,此函数是二次函数. 12. △PBQ 的面积S 随出发时间t(单位:s)呈二次函数 关系变化.由题意,得BP=12-2t,BQ=4t,∴ S与t之间 的表达式为S=12 (12-2t)×4t=-4t2+24t(0<t<6). 13. (1) 设当每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一 次订购量为x个,则x=100+60-510.02 =550.∵ 实际出厂 单价不能低于51元,∴ 当一次订购量大于或等于550个 时,每个零件的实际出厂价降为51元.(2) 当0<x≤ 100时,P=60;当100<x<550时,P=60-0.02(x- 100)=62-x50 ;当x≥550时,P=51,∴ P 与x之间的函 数表达式为P= 60(0<x≤100), 62-x50 (100<x<550), 51(x≥550). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 (3) 设销售商的 一次订购量为x 个时,该厂获得的利润为L 元,则L= (P-40)x= 20x(0<x≤100), 22x-x 2 50 (100<x<550), 11x(x≥550). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 当x=500时, L=22×500-500 2 50 =6000 ;当x=1000时,L=11× 1000=11000,∴ 当销售商一次订购500个零件时,该厂 获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是 11000元. 21.2 二次函数的图象和性质1 知识梳理 1. 抛物线 y轴(直线x=0) (0,0) 上 低 下 高 小 2. (1) 减小 增大 最小 0 (2) 增大 减小 最 大 0 3. y轴(直线x=0) (0,k) 形状 开口方向 位置 |k| 上 下 (1) x>0 增大 x<0 减小 0 小 k (2) 对称轴右侧 减小 对称轴左侧 增大 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 第21章　二次函数与反比例函数 21.1　二次函数 1. 一般地,表达式形如 的函数,叫做二次函数.其中 是自变量, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项. 2. 一般情况下,二次函数自变量的取值范围是 ,但是在实际问题中,自变量的取值范围应 使 有意义,如人数、苹果的个数等只能取 . 3. 任何一个二次函数都可以化为y=ax2+bx+c(a≠0)的形式,因此我们称y=ax2+bx+c(a≠ 0)为二次函数的一般形式.当b=0时,二次函数为y= ;当c=0时,二次函数为 y= ;当b=0,c=0时,二次函数为y= . 典例1 若函数y=(m-1)xm 2+1+4x是关于x 的二次函数,则m 的值为 . 根据二次函数的定义,列出等式和不等式 求解. 解答: 解有所悟:根据二次函数的定义求字母的值时,必 须从两个方面考虑:(1) 自变量的最高次数是2; (2) 二次项系数不为0.二者缺一不可,要特别注意 二次项系数不为0这个条件. 典例2 某商品的进价为每件30元,现在的售价 为每件40元,每星期可卖出150件.经市场调 查发现,如果售价每涨1元(售价不能高于每件 45元),那么每星期少卖10件.设每件涨价 x元(x为非负整数),每星期的销量为y件. (1) 求y与x之间的函数表达式及自变量x的 取值范围; (2) 设每星期的利润为W 元,写出W 与x之间 的函数表达式. (1) 根据“涨价后每星期的销量=原来每 星期卖出的件数-每星期少卖的件数”即可列 出y与x之间的函数表达式;(2) 根据“每星期 的利润=每星期的销量×每件商品的利润”即 可列出W 与x之间的函数表达式. 解答: 解有所悟:解答这类问题的关键是表示出涨价后的 销量及单件的利润,最后得出总利润的二次函数的 表达式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 [基础过关] 1. 下列各式中,y一定是x的二次函数的为 ( ) A. y=3x B. y=x2+(3-x)x C. y=(x-1)2 D. y=ax2+bx+c 2. 共享单车为市民出行带来了方便,某单车公 司第一个月投放a辆单车,计划第三个月投 放y 辆单车.设该公司第二、三两个月投放 单车数量的月平均增长率为x,则y与x 之 间的函数表达式为 ( ) A. y=x2+a B. y=a(1+x)2 C. y=(1-x)2+a D. y=a(1-x)2 3. 已知矩形的周长为12cm,其中一边为 x(0<x<6)cm,面积为ycm2,则y与x之 间的函数表达式为 ( ) A. y=(12-x)2 B. y=(6-x)2 C. y=x(12-x) D. y=x(6-x) 4. 如图,某中学课外兴趣活动小组准备围建一 个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用 长为40米的篱笆围成,墙长为18米.设这个 苗圃园垂直于墙的一边长为x 米,围成的苗 圃园的面积为y平方米,则y关于x的函数 表达式为 ( ) 第4题 A. y=x(40-x) B. y=x(18-x) C. y=x(40-2x)D. y=2x(40-2x) 5. 商店销售一种进价为50元/件的商品,售价 为60元/件,每星期可卖出200件,若每件商 品的售价上涨1元,则每星期就会少卖 10件.设每件商品的售价上涨x 元(x 为正 整数),每星期销售的利润为y元,则y与x 之间的函数表达式为 ( ) A. y=10(200-10x) B. y=200(10+x) C. y=10(200-10x)2 D. y=(10+x)(200-10x) 6. 下列具有二次函数关系的是 ( ) A. 正方形的周长y与边长x B. 速度一定时,路程s与时间t C. 正方形的面积y与边长x D. 三角形的高一定时,面积y与底边长x 7. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,CE⊥ BD,CE =12BD. 若 △ABD 的 周 长 为 20cm,则△BCD 的面积S(单位:cm2)与 AB 的长x(单位:cm)之间的函数表达式为 ( ) A. S=14x 2-10x+100 B. S=2x2-40x+200 C. S=x2-20x+100 D. S=x2+20x+100 第7题 第10题 8. 二次函数y=2x2-3x-1的二次项系数与 常数项的和是 . 9. 如果y=(k-2)xk 2-2k+2+kx+1是关于x 的二次函数,那么k的值为 . 答案讲解 10. 如图,正方形 ABCD 的边长是 10cm,E 是边AB 上一点,F 是 AD 的延长线上一点,BE=DF. 若四边形AEGF是矩形,则矩形AEGF的面 积y(单位:cm2)与BE的长x(单位:cm)(0< x<10)之间的函数表达式为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 55 11. 已知函数y=m(m+2)x2+mx+m+1. (1) 当m 为何值时,此函数是一次函数? (2) 当m 为何值时,此函数是二次函数? 12. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12, BC=24,动点P 从点A 开始沿边AB 以每 秒2个单位的速度向终点B 移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 以每秒4个单位的速 度向终点C 移动,如果点 P,Q 分别从 点A,B 同时出发,那么△PBQ 的面积S 随出发时间t(单位:s)如何变化? 写出S 与t之间的函数表达式及t的取值范围. 第12题 [综合提升] 答案讲解 13. 某厂生产某种零件,该厂为鼓励销 售商订购,提供了如下信息:① 每 个零件的成本价为40元;② 若订 购量不超过100个,出厂单价为60元;若 订购量超过100个,每多订1个,订购的全 部零件的出厂单价就降低0.02元;③ 实际 出厂单价不能低于51元. 根据以上信息,解答下列问题: (1) 当一次订购量为多少个时,零件的实际 出厂单价降为51元? (2) 设当一次订购量为x个时,零件的实际 出厂单价为P 元,写出P 与x 之间的函数 表达式. (3) 当销售商一次订购500个零件时,该厂 获得的利润是多少元? 如果订购1000个, 利润又是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备