第20章 数据的初步分析-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

17 第20章　数据的初步分析 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题4分,共36分) 1. (金华中考)观察如图所示的频数直方图,其 中跳绳次数在99.5~124.5这一组的频 数为 ( ) 第1题 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. (乐山中考)在一次心理健康教育活动中,张 老师随机抽取了40名学生进行了心理健康 测试,并将测试结果按“健康”“亚健康”“不 健康”绘制成如下表格: 类 型 健康 亚健康 不健康 人 数 32 7 1 则测试结果为“健康”的频率为 ( ) A. 32 B. 7 C. 7 10 D. 4 5 3. (荆州中考)从班上13名排球队员中,挑选7名 个子高的参加校排球比赛.若这13名队员 的身高各不相同,队员小明想知道自己能否 入选,则只需知道这13名队员身高的 ( ) A. 平均数B. 中位数C. 最大值D. 方差 4. (贵港中考)已知一组数据3,5,1,4,6,5,则 这组数据的众数和中位数分别为 ( ) A. 5,4.5B. 4.5,4 C. 4,4.5 D. 5,5 5. (呼和浩特中考)学校开展“书香校园,师生 共读”活动,某学习小组五位同学一周的课 外阅读时间(单位:h)分别为4,5,5,6,10,则 这组数据的平均数和方差分别为 ( ) A. 6,4.4B. 5,6 C. 6,4.2 D. 6,5 6. (凉山中考)已知一组数据4,5,6,a,b的平 均数为5,则a,b的平均数为 ( ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 7. ★(齐齐哈尔中考)已知一组数据1,2,3,4,5, x存在唯一众数,且该组数据的平均数等于 众数,则x的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. (安顺中考)已知一组数据3,4,4,6.若添加 一个数据6,则不发生变化的统计量是( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 答案讲解 9. 为准备中考体育测试,小强每天坚 持做引体向上,他记录了某一周每 天做引体向上的个数,如下表: 星 期 日 一 二 三 四 五 六 个 数 11 12 13 12 其中有三天的个数被墨汁覆盖了,但小强已 经计算出这组数据唯一的众数为13,平均数 为12,则这组数据的方差为 ( ) A. 10 7 B. 9 7 C. 8 7 D. 1 二、 填空题(每小题5分,共15分) 10. 某商店一天卖出130双女式皮鞋,具体情况 如下表: 鞋尺码/厘米 22 22.5 23 23.5 24 销售量/双 10 26 37 39 18 在销售量的平均数、中位数和众数中,鞋厂 最不感兴趣的是 ,最感兴趣的是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 18 11. 已知一组数据2,4,6,8,x的众数与中位数 相等,则x的值为 . 12. (包头中考)某校欲招聘一名教师,对甲、乙 两名候选人进行了三项素质测试,各项测 试成绩满分均为100分,根据最终成绩择 优录用,他们的各项测试成绩的数据统计 如下表所示: 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 80 90 85 乙 80 85 90 根据实际需要,学校将通识知识、专业知识 和实践能力三项测试成绩按2∶5∶3的比 例确定每人的最终成绩,则被录用的是 (填“甲”或“乙”). 三、 解答题(共49分) 答案讲解 13. (5分)若一组数据21,14,x,y,9 的众数和中位数分别为21和15, 求这组数据的平均数. 答案讲解 14. ★(6分)已知一组数据共有5个 数,它们的方差是0.4,众数、中位 数和平均数都是8,最大的数是9, 则最小的数是多少? 15. (8分)(株洲中考)某校组织了一次“校徽设 计”竞赛活动,邀请5名老师作为专业评 委,50名学生代表参与民主测评,且民主测 评的结果无弃权票.某作品的评比数据统 计如下图表: 专业评委 给分/分 ① 88 ② 87 ③ 94 ④ 91 ⑤ 90 第15题 记“专业评委给分”的平均数为x. (1) 求该作品在民主测评中得到“不赞成” 的票数. (2) 对于该作品,求x. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 19 (3) 记“民主测评得分”为y,“综合得分”为 S.若规定:① y=“赞成”的票数×3分+ “不赞成”的票数×(-1)分;② S=0.7x+ 0.3y,求该作品的“综合得分”S. 16. (8分)新考法 项目式学习 综合与实践: 【问题情境】 数学活动课上,老师带领同学 们开展“利用树叶的特征对树木进行分类” 的实践活动. 【实践发现】 同学们随机收集杧果树、荔枝 树的树叶各10片,通过测量得到这些树叶 的长、宽的数据后,分别计算长宽比,整理 数据如下表: 编 号 1 2 3 4 5 杧果树叶的 长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 荔枝树叶的 长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 编 号 6 7 8 9 10 杧果树叶的 长宽比 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的 长宽比 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】 分析数据如下表: 平均数 中位数 众 数 方 差 杧果树叶的 长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的 长宽比 1.91 1.95 n 0.0669 【问题解决】 (1) m= ,n= . (2) 有以下说法:① 从树叶的长宽比的方 差来看,杧果树叶的形状差别大;② 从树叶 的长宽比的平均数、中位数和众数来看,荔 枝树叶的长约为宽的两倍.其中,合理的是 (填序号). (3) 现有一片长11cm,宽5.6cm的树叶, 请判断这片树叶更可能来自于杧果树还是 荔枝树,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 20 17. (10分)(安徽中考)第24届冬奥会于2022年 2月20日在北京胜利闭幕.某校七、八年级 各有500名学生,为了了解这两个年级的 学生对本次冬奥会的关注程度,现从这两 个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知 识测试,将测试成绩按以下六组进行整理 (分数用x 表示):A:70≤x<75,B:75≤ x<80,C:80≤x<85,D:85≤x<90,E: 90≤x<95,F:95≤x≤100,并绘制成如图 所示的七年级测试成绩频数直方图和八年 级测试成绩扇形统计图. 第17题 已知D组的全部成绩(单位:分)如下:86, 85,87,86,85,89,88. 请根据以上信息,完成下列问题: (1) ★n= ,a= . (2) 八年级测试成绩的中位数为 . (3) 若测试成绩不低于90分,则认定该学 生对冬奥会关注程度高.请估计该校七、八 两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共 有多少人. 答案讲解 18. (12分)设x是x1,x2,…,xn 的平 均数,即x=1n (x1+x2+…+ xn),则方差s2= 1 n [(x1-x)2+(x2- x)2+…+(xn-x)2],它反映了这组数据 的波动性, (1) 求证:对任意实数a,x1-a,x2- a,…,xn-a与x1,x2,…,xn 的方差相同. (2) 求证:s2=1n (x21+x22+…+x2n)-x2. (3) 某校八年级(1)班10位同学的身高(单 位:cm)如下:169,172,163,173,175,168, 170,167,170,171.请 计 算 这 组 数 据 的 方差. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 8 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ OC=12AC ,OD= 1 2BD ,AC=BD.∴ OC=OD.∴ ∠ACD=∠BDC. ∵ ∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,∴ ∠CDF= ∠DCF.∴ DF=CF.(2) 由 (1)知,DF =CF.又 ∵ ∠CDF=60°,∴ △CDF 是等边三角形.∴ CD= DF=6.∵ ∠BDC=∠CDF=60°,OC=OD,∴ △OCD 是等边三角形.∴ OC=OD=6.∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ BD =2OD =12,∠BCD =90°.∴ BC = BD2-CD2= 122-62=63.∴ S矩形ABCD=BC· CD=63×6=363. 13. (1) 由题意,得D,E,F 分别是AB,AC,BC 的中点, 则AD=12AB ,EF 是△ABC 的中位线,∴ EF∥AB, EF=12AB.∴ EF=AD.∴ 四边形ADFE 是平行四边 形.∴ 线段AF 与DE 互相平分.(2) 当AF=12BC 时, 四边形ADFE 为矩形.理由:∵ DE 为△ABC 的中位线, ∴ DE=12BC. 又∵ AF=12BC ,∴ AF=DE.由(1)知, 四边形ADFE 是平行四边形,∴ 四边形ADFE 为矩形. 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=BC=CD= AD,∠B=∠D.∵ AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ∠AEB= ∠AFD = 90°. 在 △ABE 和 △ADF 中, ∠AEB=∠AFD, ∠B=∠D, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ADF.(2) 设 菱 形 ABCD 的边长为x.∵ AB=CD=x,CF=2,∴ DF= x-2.由(1),得△ABE≌△ADF,∴ BE=DF=x-2.在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得AE2+BE2=AB2,即42+ (x-2)2=x2,解得x=5.∴ 菱形ABCD 的边长为5. 15. (1) 如图①,过点E 作EM⊥AD 于点M,EN⊥AB 于点 N.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形,∴ ∠DAE= ∠BAE,∠BAD=90°.∵ EM⊥AD,EN⊥AB,∴ EM= EN,∠AME=∠ANE=90°.∴ ∠BAD=∠AME= ∠ANE=90°.∴ 四边形ANEM 是矩形.∴ ∠MEN= 90°.∵ EF ⊥DE,∴ ∠DEF =90°.∴ ∠DEF = ∠MEN.∴ ∠DEF-∠MEF=∠MEN-∠MEF,即 ∠DEM = ∠FEN. 在 △EMD 和 △ENF 中, ∠DEM=∠FEN, EM=EN, ∠EMD=∠ENF=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EMD≌△ENF.∴ ED= EF.∵ 四边形DEFG 是矩形,∴ 四边形DEFG 是正方 形.(2) ∵ 四边形DEFG 是正方形,四边形ABCD 是正 方形,∴ DG=DE,CD=AD=AB=4,∠EDG= ∠ADC=90°.∴ ∠EDG-∠ADE=∠ADC-∠ADE, 即 ∠ADG = ∠CDE.在 △ADG 和 △CDE 中, AD=CD, ∠ADG=∠CDE, DG=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△CDE.∴ AG=CE. ∴ AG+AE=CE+AE=AC.∵ 在Rt△ADC 中,AC= AD2+CD2= 42+42=42,∴ AG+AE=42. (3) 如图②,连接DF,GE.∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=AD=4,AB∥CD.∵ F 为AB 的中点,∴ AF= BF=2.∴ DF= AF2+AD2 = 22+42 =2 5.由 (1),得四边形 DEFG 是正方形,∴ DF=GE=25. ∴ S四边形DEFG= 1 2DF ·GE=12×25×25=10. 第15题 第20章　数据的初步分析 一、 1. D 2. D 3. B 4. A 5. A 6. B 7. B 对众数概念的理解需注意 对众数概念的理解要注意以下两点:(1) 众数是一 组数据中出现次数最多的数据,而不是次数;(2) 一组 数据的众数可能不止一个. 8. B 9. C 二、 10. 平均数 众数 11. 4或6 12. 甲 三、 13. ∵ 一组数据21,14,x,y,9的中位数为15,∴ x, y中必有一个数为15.又∵ 一组数据21,14,x,y,9的众 数为21,∴ x,y中必有一个数为21.∴ 这组数据的平均 数为1 5× (21+14+15+21+9)=16. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 14. 假设将这5个数由小到大排列.∵ 最大的数为9, ∴ 最后一个数为9.∵ 5个数的平均数是8,∴ 这5个数 的和为40.∵ 5个数的中位数是8,∴ 中间的数是8. ∵ 众数是8,∴ 至少有2个8.∵ 40-8-8-9=15,∴ 另 外2个数的和为15.设另外2个数分别为x,y(x<y),则 x+y=15.由方差是0.4,得 1 5× [(x-8)2+(y-8)2+ (8-8)2+(8-8)2+(9-8)2]=0.4,∴ x2+y2-16(x+ y)=-127.∴ x2+y2-16×15=-127,即x2+y2= 113.∵ (x+y)2=152,∴ x2+y2+2xy=225.∴ xy= 1 2× (225-113)=56.∴ x2+y2-2xy=113-2×56= 1,即(x-y)2=1.∵ x<y,∴ x-y=-1.∵ x+y=15, ∴ x=7,y=8.∴ 最小的数是7. 利用转化思想解题 已知一个数与其他数的关系,要求这个数时,往往 有两种思路:若这个关系比较明显,易于推理,则直接 推算,逐步转化;若这个关系比较隐蔽或比较复杂,不 易推理,则可把所求的数设出来,利用题中的关系列方 程(组)进行转化.本题中,先将5个数从小到大排列, 再通过推理找到第1个数(最小的数)和第2个数之间 的关系,然后利用公式变形及解方程将未知转化为已知. 15. (1) 该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数为 50-40=10(张).(2) x=(88+87+94+91+90)÷5= 90(分).(3) 由题意,得y=40×3+10×(-1)= 110(分).又∵ x=90分,∴ S=0.7x+0.3y=0.7× 90+0.3×110=96(分),即该作品的“综合得分”S 为 96分. 16. (1) 3.75;2.0.(2) ②.(3) 这片树叶更可能来自于荔 枝树.理由:∵ 荔枝树叶的长宽比的平均数为1.91,即荔 枝树叶的长宽比接近2,而这片树叶的长为11cm,宽为 5.6cm,长宽比也接近2,∴ 可以判断这片树叶更可能来 自于荔枝树. 17. (1) 20;4.(2) 86.5分.(3) 500×3+120 +500× (1- 5%-5%-20%-35%)=100+175=275(人).∴ 估计 该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有 275人. 频数、频率的计算方法 1.频数是一个对象出现的次数,它是非负数,各类 数据的频数之和等于这组数据的总数.2.频率是一个 对象出现的次数在总次数中所占的比例,它的值在 0到1之间,各类数据的频率之和等于1.3.频数=频 率×数据总数,频率=频数÷数据总数,数据总数=频 数÷频率. 18. (1) 设x1,x2,…,xn 的平均数为x,方差为s2,x1- a,x2-a,…,xn-a的平均数为x',方差为s'2.∴ x'= 1 n [(x1-a)+(x2-a)+…+(xn-a)]=x-a. ∴ s'2=1n {[(x1-a)-x']2+[(x2-a)-x']2+…+ [(xn-a)-x']2}= 1 n {[(x1-a)-(x-a)]2+[(x2- a)-(x-a)]2+…+[(xn-a)-(x-a)]2}= 1 n [(x1- x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]=s2.∴ 对任意实数a, x1-a,x2-a,…,xn-a 与x1,x2,…,xn 的方差相 同.(2) s2=1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn- x)2]=1n [(x21+x22+…+x2n)-2(x1+x2+…+xn)· x+nx2]=1n [(x21+x22+…+x2n)-2nx·x+nx2]= 1 n [(x21+x22+…+x2n)-nx2]= 1 n (x21+x22+…+ x2n)-x2.(3) 将这10个数据都减去170,得-1,2,-7, 3,5,-2,0,-3,0,1.∴ x=110× (-1+2-7+3+5- 2+0-3+0+1)=-0.2.由(2),得s2=1n (x21+ x22+…+x2n)-x2= 1 10× [(-1)2+22+(-7)2+32+ 52+ (-2)2+02+(-3)2+02+12]-(-0.2)2= 10.16.由(1),得对任意实数a,x1-a,x2-a,…,xn-a 与x1,x2,…,xn 的方差相同,∴ 这组数据的方差为10.16. 复习进阶自主检测 一、 1. D 2. A 3. C 4. D 5. D 6. B 7. C 8. B 9. B 解析:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAE= ∠CDE=90°,AD∥BC.∵ F,G 分别是BE,CE 的中点, AF=3,DG=4,FG=5,∴ BE=2AF=6,CE=2DG=8, BC=2FG=10.∴ BE2+CE2=BC2.∴ △BCE 是直角 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈