第17章 一元二次方程-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

4 第17章　一元二次方程 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题2分,共20分) 1. 下列方程中,一定属于一元二次方程的是 ( ) A. x2-2=0 B. x2+y=1 C. x-1x=1 D. x2+x=x2+1 2. (牡丹江中考)若关于x 的一元二次方程 (m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后 不含一次项,则实数m 的值为 ( ) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 3. 已知一元二次方程(x-2)2=3的两根为a, b,且a>b,则2a+b的值为 ( ) A. 9 B. -3 C. 6+3 D. -6+3 4. 若x=2± 4-4×3× (-1) 2×3 是某个一元二 次方程的根,则这个一元二次方程可以是 ( ) A. 3x2+2x-1=0 B. 2x2+4x-1=0 C. -x2-2x+3=0D. 3x2-2x-1=0 5. (聊城中考)用配方法解一元二次方程3x2+ 6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式, 则a+b的值为 ( ) A. 10 3 B. 7 3 C. 2 D. 4 3 6. 已知x=1是关于x 的一元二次方程(m- 2)x2+4x-m2=0的一个根,则m 的值为 ( ) A. -1或2 B. -1 C. 2 D. 0 7. (内江中考)对于实数a,b,定义运算“⊗”为 a⊗b=b2-ab,例如:3⊗2=22-3×2= -2,则关于x 的方程(k-3)⊗x=k-1的 根的情况,下列说法正确的是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 答案讲解 8. (呼和浩特中考)已知x1,x2是方程 x2-x-2022=0的两个实数根, 则代数式x31-2022x1+x22的值为 ( ) A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 9. 如图,在△ABC 中,AC=50m,BC=40m, ∠C=90°,点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以2m/s的速度匀速运动,同时另一点Q 从 点C 开始以3m/s的速度沿着射线CB 匀速 运动,且当点P 到达目的地后,点Q 随之停 止运动.当△PCQ 的面积为300m2时,运动 时间为 ( ) 第9题 A. 5s B. 20s C. 5s或20s D. 无法确定 答案讲解 10. 新考法 新定义 定义新运算:对 于两个不相等的实数a,b,规定符 号max{a,b}表示a,b中的较大 数,如:max{1,3}=3,max{-1,-3}= -1.按照这个规定,若 max{x,-x}= x2-2x-1 2 ,则x的值为 ( ) A. -1 B. -1或2+5 C. 2+5 D. 1或2-5 二、 填空题(每小题3分,共18分) 11. ★若(m+2)x|m|+(m-1)x-1=0是关于x 的一元二次方程,则实数m的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 5 12. 一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为 . 13. 如果关于x的一元二次方程2x(ax-4)- x2+6=0没有实数根,那么a的最小整数 值为 . 14. 若关于x的方程a(x+m)2+b=0的根是 x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0), 则关于x 的方程a(x+m+2)2+b=0的 根是 . 15. 对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b= (a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)= 24,则m= . 答案讲解 16. ★(日照中考)若关于x 的一元二 次方程2x2+4mx+m=0有两个 不相等的实数根x1,x2,且x21+ x22= 3 16 ,则m= . 三、 解答题(共62分) 17. (6分)解方程: (1) x2-3x=5x-1; (2) (x-2)(x-5)=4. 18. (6分)(1) 把方程(3x+2)(x-3)=2x-6 化成一般形式,并写出它的二次项系数、一 次项系数和常数项; (2) 解关于x的一元二次方程:(m+1)xm 2+1+ 4x+2=0. 19. (6分)如果关于x 的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一 个根比另一个根大1,那么称这样的方程为 “邻根方程”.例如,一元二次方程x2+x= 0的两个根是x1=0,x2=-1,则方程x2+ x=0为“邻根方程”. (1) 通过计算,判断方程x2-5x+6=0是 否为“邻根方程”; (2) 已知关于x 的方程x2-(m-1)x- m=0(m 为常数)是“邻根方程”,求 m 的值. 20. (6分)已知关于x的一元二次方程x(kx- 4)-x2+4=0. (1) 若方程的根的判别式的值为4,求k的值; (2) 若方程有两个实数根,求k的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 6 21. (6分)阅读下面的“问题”与“提示”后,将解 方程的过程补充完整. 【问题】 解方程:x2+2x+4 x2+2x- 5=0. 【提示】 可以用“换元法”解方程. 设 x2+2x=t(t≥0),则有x2+2x=t2, 原方程可化为t2+4t-5=0. 22. (7分)已知关于x 的一元二次方程x2- (2k+1)x+12k 2-2=0. (1) 求证:无论k为何实数,方程总有两个 不相等的实数根; (2) 若方程的两个实数根x1,x2满足x1- x2=3,求k的值. 23. (7分)某地计划对矩形广场进行扩建改造. 如图,原广场长50m,宽40m,要求扩建后 矩形广场的长与宽的比为3∶2.扩建区域 的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原 广场和扩建区域都铺设地砖,铺设地砖的 费用为每平方米100元.如果计划总费用 为642000元,那么扩建后矩形广场的长和 宽分别为多少米? 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 7 24. (8分)某农科所研究出一种新型的摘果机, 一期研发成本为6万元/台,该摘果机的销 售量y(单位:台)与售价x(单位:万元/台) 之间存在函数关系y=-x+24. (1) 一期销售中,在抢占市场份额(销售量 尽可能大)的前提下利润达到32万元,此 时该摘果机的售价为多少? (2) 根据环保局的要求,农科所投入了7万元 研究经费,使得环保达标且机器的研发成 本每台降低了1万元.若农科所的销售战 略保持不变,请问在二期销售中,当利润达 到63万元时,该摘果机的售价为多少? 答案讲解 25. (10分)新情境 新科技 随着电 池技术的突破,电动汽车已呈现替 代燃油汽车的趋势,某地电动汽车 在2022年第一季度销售了2万辆,第三季 度销售了2.88万辆. (1) ★求该电动汽车销售量的季度平均增 长率. (2) 某厂家目前只有1条生产线,经调查发 现,1条生产线最大产能为6000辆/季度, 若每增加1条生产线,每条生产线的最大 产能将减少200辆/季度. ① 现该厂家要保证每季度生产电动汽车 2.6万辆,在增加产能的同时又要节省投入 成本的条件下(生产线越多,投入成本越 大),应该增加几条生产线? ② 能否通过增加生产线的方式,使得每季 度生产电动汽车6万辆? 若能,应该增加 几条生产线? 若不能,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 2 (2) ∵ 128× 75×160=64006≈6400×2.4= 15360(元),∴ 在该矩形土地上全部种植草坪的总费用约 为15360元. 22. (1) 1+14- 1 5= 21 20. (2) 1+1n2+ 1 (n+1)2=1+ 1 n - 1 n+1 = n(n+1)+1 n(n+1) (n 为 正 整 数 ). 1+1n2+ 1 (n+1)2 = n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2 = n2(n+1)2+2n(n+1)+1 n2(n+1)2 = [n(n+1)+1]2 [n(n+1)]2 = n(n+1)+1 n(n+1). (3) 原式= 1+149+ 1 64= 1+ 1 72+ 1 82 = 1+17- 1 8= 57 56. 第17章　一元二次方程 一、 1. A 2. D 3. C 4. D 5. B 6. B 7. A 解析:∵ (k-3)⊗x=k-1,∴ x2-(k-3)x= k-1.∴ x2-(k-3)x-k+1=0.∴ Δ=[-(k-3)]2- 4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0.∴ 关于x的方程(k- 3)⊗x=k-1有两个不相等的实数根. 8. A 解析:∵ x1,x2 是方程x2-x-2022=0的两个 实数根,∴ x1+x2=1,x1x2=-2022,x21-x1-2022= 0,即x21-2022=x1.∴ 原式=x1(x21-2022)+x22= x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1+2×2022=4045. 9. C 解析:设运动时间为ts(0<t≤25).由题意,得 AP=2tm,CQ=3tm,∴ PC=(50-2t)m.∴ △PCQ 的 面积=12PC ·CQ=300m2,即12 (50-2t)·3t=300,解 得t1=20,t2=5.∴ 当运动时间为20s或5s时,△PCQ 的面积为300m2. 10. B 解析:若x>-x,即x>0,则x=x 2-2x-1 2 ,解 得x=2+ 5(负值舍去);若x<-x,即x<0,则-x= x2-2x-1 2 ,解得x=-1(正值舍去).综上所述,x 的值 为-1或2+5. 二、 11. 2 求字母系数的值时易忽视二次项系数不为0致错 已知含有字母系数的一元二次方程,在根据条件 求出字母系数的值后,必须舍去使二次项系数为0的 值,解题时不能忽视.本题在利用一元二次方程的定义 求出m 的值后,容易忽视一元二次方程中二次项系数 不为0这一条件,未对m 的值进行取舍而导致错误. 12. x1=2,x2= 1 4 13. 2 解析:整理原方程,得(2a-1)x2-8x+6=0.根 据题意,得2a-1≠0且Δ=(-8)2-4×(2a-1)×6<0, 解得a>116 ,∴ a的最小整数值为2. 14. x1=-4,x2=-1 15. -3或4 16. -18 解析:由根与系数的关系,得x1+x2=-2m, x1x2= m 2.∵ x21+x22= 3 16 ,∴ (x1+x2)2-2x1x2= 3 16.∴ 4m2-m=316 ,即64m2-16m-3=0,解得m1= -18 ,m2= 3 8. 当m=38 时,Δ=16m2-8m=-34<0 , ∴ m=38 不合题意,舍去.∴ m=-18. 利用根与系数的关系解题时不能忽视Δ≥0 根与系数的关系以一元二次方程有实数根为前 提,在运用它解题时,不能忽视Δ≥0这个条件.本题容 易出现在利用根与系数的关系求出m 的值后,未将其 代入根的判别式中检验而造成错误. 三、 17. (1) x1=4+ 15,x2=4- 15.(2) x1=1, x2=6. 18. (1) 整理,得3x2-9x=0.∴ 它的二次项系数是3,一 次项系数是-9,常数项是0.(2) 根据题意,得m2+1=2, 解得m=±1.又∵ m+1≠0,∴ m≠-1.∴ m=1.把 m=1代入原方程,得2x2+4x+2=0,即x2+2x+1=0, 解得x1=x2=-1. 19. (1) 解方程x2-5x+6=0,得x1=3,x2=2.∵ 3比 2大 1,∴ 方 程 x2-5x+6=0 为 “邻 根 方 程”. (2) ∵ x2-(m-1)x-m=0,∴ (x-m)(x+1)=0,解 得x1=m,x2=-1.∵ 方程x2-(m-1)x-m=0(m 为 常数)是“邻根方程”,∴ m-1=-1或m+1=-1,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 m=0或m=-2.∴ m 的值为0或-2. 20. (1) 原方程化为(k-1)x2-4x+4=0.根据题意,得 k-1≠0, Δ=(-4)2-4(k-1)×4=4, 解得k=74.(2) 根据题 意,得 k-1≠0, Δ=(-4)2-4(k-1)×4≥0, 解得k≤2且k≠1, ∴ k的取值范围是k≤2且k≠1. 21. 分解因式,得(t+5)(t-1)=0,解得t1=-5(不合题 意,舍去),t2=1.当t=1时, x2+2x=1,∴ x2+2x= 1.配方,得(x+1)2=2,解得x1=-1+ 2,x2=-1- 2.∴ 原方程的根为x1=-1+2,x2=-1-2. 22. (1) 由 题 意,得 Δ=[-(2k+1)]2-4×1× 1 2k 2-2 =2k2+4k+9=2(k+1)2+7.∵ 无论k为何 实数,2(k+1)2≥0恒成立,∴ 2(k+1)2+7>0恒成立, 即Δ>0恒成立.∴ 无论k为何实数,方程总有两个不相 等的实数根.(2) 由根与系数的关系,得x1+x2=2k+1, x1x2= 1 2k 2-2.∵ x1-x2=3,∴ (x1-x2)2=9. ∴ (x1 +x2)2 -4x1x2 =9.∴ (2k+1)2 -4× 1 2k 2-2 =9.化简,得k2+2k=0,解得k1=0,k2= -2.∴ k的值为0或-2. 23. 设扩建后矩形广场的长为3xm,则宽为2xm.根据题 意,得3x·2x×100+30×(3x·2x-50×40)=642000, 解得x1=30,x2=-30(不合题意,舍去).∴ 3x=90, 2x=60.∴ 扩建后矩形广场的长为90m,宽为60m. 24. (1) 根据题意,得在一期销售中,该摘果机的利润为(x- 6)万元/台,则(x-6)y=32,即(x-6)(-x+24)=32.整 理,得x2-30x+176=0,解得x1=8,x2=22.∵ y随x 的增大而减小,∴ 要抢占市场份额,应取x=8.∴ 在抢占 市场份额的前提下利润要达到32万元,此时该摘果机的 售价为8万元/台.(2) 根据题意,得在二期销售中,该摘 果机的利润为(x-5)万元/台,则(x-5)y-7=63,即 (x-5)(-x+24)-7=63.整理,得x2-29x+190=0, 解得x1=10,x2=19.∵ 销售战略保持不变,∴ x= 10.∴ 在二期销售中,当利润达到63万元时,该摘果机的 售价为10万元/台. 25. (1) 设该电动汽车销售量的季度平均增长率为x.由 题意,得2(1+x)2=2.88,解得x1=0.2=20%,x2= -2.2(不合题意,舍去).∴ 该电动汽车销售量的季度平 均增长率为20%.(2) ① 设应该增加m 条生产线,则每条 生产线的最大产能为(6000-200m)辆/季度.由题意,得 (1+m)(6000-200m)=26000.整理,得m2-29m+ 100=0,解得m1=4,m2=25.又∵ 增加产能的同时又要 节省投入成本,∴ m=4.∴ 应该增加4条生产线.② 不 能.理由:假设通过增加n条生产线的方式,使得每季度 生产电动汽车6万辆,则每条生产线的最大产能为 (6000-200n)辆/季 度.由 题 意,得(1+n)(6000- 200n)=60000.整理,得n2-29n+270=0.∵ Δ=(-29)2- 4×1×270=-239<0,∴ 该方程没有实数根.∴ 不能通 过增加生产线的方式,使得每季度生产电动汽车6万辆. 连续两次平均增长(下降)率问题的规律 连续两次平均增长(下降)率问题可列一元二次方 程来解决,设基数为a,增长(下降)后为b,平均增长 (下降)率为x,则可列方程为a(1+x)2=b[a(1- x)2=b].若增长(下降)前后累计总和为d,则有a+ a(1+x)+a(1+x)2=d[a+a(1-x)+a(1-x)2= d].本题是增长率问题的应用. 第18章　勾股定理 一、 1. A 2. D 3. C 4. A 5. D 6. B 7. B 解析:过点B 作BH⊥OC 于点H.∵ ∠AOB= 30°,∠A=90°,∴ OB=2AB=2.在Rt△OBC 中,由勾股 定理,得OC= OB2+BC2= 22+12= 5.由三角形 的面积公式,得1 2BC ·OB=12OC ·BH,∴ 1 2×1× 2=12× 5BH.∴ BH=255 ,即点B 到OC 的距离 为25 5 . 8. D 解析:如图,在△ABC 中,AB=10,AC=14,BC= 16.过点A 作AD⊥BC 于点D,则∠ADB=∠ADC= 90°.由勾股定理,得AB2-BD2=AC2-CD2,∴ 102- BD2=142 - (16-BD)2.∴ BD =5.∴ AD = AB2-BD2= 102-52=53.∴ S△ABC= 1 2BC · AD=12×16×53=403. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈