精品解析：北京市西城区2024-2025学年高一下学期期末数学试卷

北京市西城区2024—2025学年度第二学期期末试卷 高一数学 本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，答题卷上作答无效． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，即可求解. 【详解】在复平面内，复数z对应点的坐标为， 所以，，在复平面中对应的点坐标为. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数在单位圆中的定义解方程即可. 【详解】 如图，所以. 故选：C. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题可求向量，，再利用向量数量积的坐标公式求解. 【详解】因为，，所以， ，所以. 故选：D. 4. 将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平移后的曲线解析式，然后根据原点对称这一条件求出的最小值. 【详解】将曲线向右平移个单位长度后得到的曲线为：. 因为该曲线关于原点对称，所以， 解得.因为， 当时，取最小值为. 故选：B. 5. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理求出，进而可得到. 【详解】根据正弦定理得，， 因为，所以, 解得，因为，所以， 所以. 故选：D. 6. 在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由不成立及直线与平面垂直的性质可判断①，由四边形是正方形可判断②，由线面垂直的判断定理可判断③，由不成立及直线与平面垂直的性质可判断④. 【详解】在长方体中，，， 所以底面是长方形，故不成立， 因为平面，由线面垂直的性质可知与平面不垂直， 因为平面，平面，所以， 因为，所以不成立，故①错误； 因为， 在长方体中，有， 因为平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以，故②正确； 因为，所以， 因为是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，故③正确； 因为是长方形，所以不成立， 由线面垂直的性质可知，平面不垂直，故④错误； 所以正确的结论是②③. 故选：B 7. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由图可得并结合，可求解，由可得为的对称轴，再结合图象，从而可求解. 【详解】由图可知当时，，又，解得， 又由图可知，所以为的对称轴， 则，，结合图象，即， 则解得，故A正确. 故选：A. 8. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，可证平面平面，过点作，则是三棱锥的高，由等面积法求得，代入棱锥体积公式求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，且， 所以，，， 又，平面，故平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为， 又平面平面，平面， 所以平面，即是三棱锥的高， 在中，由等面积法，得，解得， 又， . 故选：A. 9. 函数，是（ ） A. 奇函数，且存在最大值 B. 奇函数，且存在最小值 C. 偶函数，且存在最大值 D. 偶函数，且存在最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用定义确定函数奇偶性，又，利用函数单调性可确定最值. 【详解】，， 所以，所以为偶函数， ， 又在单调递增，所以，无最小值， 即有最大值1，无最小值. 故选：C. 10. 设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，根据题意得为的外心，结合正弦定理得，，，再由，，得到，利用三角恒等变形，结合四元基本不等式，即可求解. 【详解】设，，， 因为，所以， 所以为的外心， 在中，由正弦定理可得， 所以，，， ，， 又与的夹角为， 所以， 又，，所以， ， 把看作主元，故当时，上式取得最大值，最大值为， 其中 ， 当且仅当且时，等号成立， 即时，， 所以. 故选：B 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若复数z满足，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，再利用复数模公式求解. 【详解】由，则， . 故答案为：5. 12. 在平面直角坐标系中，已知角，的终边关于y轴对称，且，则，的一组取值可以为__________；__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据角的对称及正切的正负，写出一组答案即可. 【详解】因为的终边关于轴对称，且， 所以可取，. 故答案为：，.（答案不唯一） 13. 已知圆柱形水杯的底面半径为3cm，侧面积为，则水杯的容积约为__________ml．（精确到1ml，水杯壁厚度忽略不计） 【答案】565 【解析】 【分析】设圆柱形水杯的底面圆的半径为，高为，由题求得，利用圆柱体积公式求得答案. 【详解】设圆柱形水杯的底面圆的半径为，高为，则， 所以水杯的侧面积，解得， 所以水杯的容积. 故答案为：. 14. 如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，空①：由，求出，然后由即可求解；空②：，因为，从而可求解. 【详解】由题意以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，设，， 即，，， 空①：由，即，解得，则， 所以，所以； 空②：，因为，则， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 15. 如图，在正方体中，点P在正方形及其内部运动给出下列四个结论： ①存在无穷多个点P，使得； ②对任意点P，PC与BD均为异面直线； ③到直线和BD距离相等的点P存在且唯一； ④对任意点P，平面BCP与平面不可能垂直． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】 【解析】 【分析】对于①当点在线段上时，由平面可以判断；对于②由异面直线的定义判断；对于③，当点与点重合时可判断；对于④，当点在线段时，所以平面，可判断． 【详解】对于①，如图 易知平面， 当点在线段上时，则平面，得，故①正确； 对于②，因为点都在平面内， 而点在平面，且平面平面， 所以平面，平面，， 所以与为异面直线，故②正确； 对于③，当点与点重合时，此时点到的距离为线段的长， 点到的距离为的长，， 所以满足到直线和距离相等的点存在， 因为平面平面，平面， 所以点到直线的距离大于等于， 当且仅当点时，点到直线的距离等于， 点到直线的距离小于等于， 当且仅当点时，点到直线的距离等于， 故这样的点是唯一的，故③正确； 对于④，因为平面，当点在线段时，所以平面， 而平面，得平面平面，故④错误． 故答案为：①②③ 三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系求出，由正切差角公式进行求解即可； （2）利用诱导公式和二倍角公式得到，在（1）基础上，代入求值. 【小问1详解】 ，，故， ，； 【小问2详解】 由（1）知，， . 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面平行的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：因为在直三棱柱中，底面， 所以， 又因为，， 所以平面. （2）取的中点， 因为为的中点， 所以，且， 因为为的中点，，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 18. 在中，已知． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分． 【答案】（1） （2）只能选①、③，此时； 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式化简得到，结合角的范围可得； （2）先说明，不合要求，故不能选条件②；选①、③，由余弦定理得到，此时存在，利用三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以，故，故； 【小问2详解】 因为，所以， 因为在上单调递减，故， 但条件②，不合要求，故不能选条件②； 选①、③，由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 满足，存在， 此时. 19. 已知函数的一个零点为． （1）求c； （2）当时，若的值域为，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，运算得解； （2）由（1）化简，根据的值域，利用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由题，， 所以. 【小问2详解】 由（1）， ， 因为，所以， 若的值域为，则，解得， 所以的取值范围为. 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：； （2）求证：直线不可能与平面平行； （3）空间中是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上？若存在，确定球心O的位置（结论无需证明）；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，球心O的位置位于的中点. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，即可证明； （2）过点作交于点，连接，证明四边形为直角梯形，即可求解证明； （3）将四棱锥的补成长方体，再结合长方体外接球知识，从而可求解. 【小问1详解】 由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，又因为，， 平面，所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 证明：过点作交于点，连接，如图， 由平面，又，则平面， 又平面，所以，即， 又平面，又平面，所以，即，且 所以四边形为直角梯形，则的延长线与的延长线必交于一点， 又平面，从而得证直线不可能与平面平行. 【小问3详解】 存在，球心位于的中点处. 理由如下：将四棱锥的补成长方体，如图所示， 根据长方体外接球的球心位于体对角线的交点上， 则四棱锥的外接球心位于长方体的体对角线的交点处， 该位置也是的中点处. 21. 已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质P． （1）判断，是否具有性质P，并说明理由； （2）已知具有性质P，且不恒为0．设．证明：若M为有限集，则M中的元素个数为偶数． 【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）对，由性质得定义举例说明；对，结合的周期为，利用反证法证明； （2）若，结合的周期为，可得也是的周期，且，利用反证法证明，由此得证. 【小问1详解】 具有性质，理由如下： 令，，显然和是两个周期均为的不同的偶函数， 且，所以具有性质. 不具有性质，理由如下： 假设具有性质，由性质的定义可得的周期为， 但，， 所以，矛盾. 所以不具有性质. 【小问2详解】 若，则， 所以，又的周期为，即， ， 所以也是的周期，且， 所以， 假设，则对任意，， 则 ， 所以，即， 故对任意，成立，矛盾. 所以， 故若为有限集，则中的元素个数为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区2024—2025学年度第二学期期末试卷 高一数学 本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，答题卷上作答无效． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 7. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 函数，是（ ） A. 奇函数，且存在最大值 B. 奇函数，且存在最小值 C. 偶函数，且存在最大值 D. 偶函数，且存在最小值 10. 设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若复数z满足，则__________． 12. 在平面直角坐标系中，已知角，的终边关于y轴对称，且，则，的一组取值可以为__________；__________． 13. 已知圆柱形水杯的底面半径为3cm，侧面积为，则水杯的容积约为__________ml．（精确到1ml，水杯壁厚度忽略不计） 14. 如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 15. 如图，在正方体中，点P在正方形及其内部运动给出下列四个结论： ①存在无穷多个点P，使得； ②对任意点P，PC与BD均为异面直线； ③到直线和BD距离相等的点P存在且唯一； ④对任意点P，平面BCP与平面不可能垂直． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 18. 在中，已知． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分． 19. 已知函数的一个零点为． （1）求c； （2）当时，若的值域为，求t的取值范围． 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：； （2）求证：直线不可能与平面平行； （3）空间中是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上？若存在，确定球心O的位置（结论无需证明）；若不存在，说明理由． 21. 已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质P． （1）判断，是否具有性质P，并说明理由； （2）已知具有性质P，且不恒为0．设．证明：若M为有限集，则M中的元素个数为偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $