第31讲 平面向量的数量积专项训练 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第31讲　平面向量的数量积 基础热身 1.已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)= (　 ) A.-5 B.-3 C.3 D.5 2.已知向量=,=,则∠ABC= (　 ) A.30° B.150° C.60° D.120° 3.已知向量a在向量b上的投影向量是-b,且b=(1,1),则a·b= (　 ) A.- B. C.- D. 4.如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式为W=F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功为 (　 ) A.25 B.5 C.-5 D.-25 5.已知向量a,b为单位向量,a,b的夹角为,则|a-2b|=　　　　.  6.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,1),c=(2,t),若(a+b)⊥c,则t=　　　　.  综合提升 7.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=,则<a,b>= (　 ) A. B. C. D. 8.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2= (　 ) A.1 B. 2 C. 4 D. 8 9.如图,在△ABC中,AB=,AC=,=,=,=,=,若MN⊥BC,则cos A= (　 ) A. B. C. D. 10.(多选题)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则 (　 ) A.|a|= B.(2a-b)⊥b C.a与b的夹角为钝角 D.a在b上的投影向量的模为 11.(多选题)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,若=a,=b,点E,F分别为边BC,CD的中点,则下列说法中正确的有 (　 ) A.=-a+b B.⊥ C.·= D.cos<,>= 12.如图所示,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=1,则·=　　　　.  13.已知单位向量e1,e2的夹角为60°,若a=xe1+ye2,则记a=[x,y].已知m=[1,2],n=[1,-1],则|m+n|=　　　　.  14.已知向量a=(4,3cos α),b=(1,2tan α). (1)若a∥b,求sin α的值; (2)若a⊥b,且α∈,求cos的值. 15.如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-. (1)求实数λ的值; (2)若M,N是边BC上的动点,且| |=1,求· 的最小值. 能力拓展 16.(多选题)已知向量a,b,c满足|a|=2|b-a|=2|b-c|=2|c|=2,则下列结论可能成立的有 (　 ) A.|b|= B.|b|= C.b·c= D.b·c= 17.在平面四边形ABCD中,AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°, ∠ADC=90°,若===,则2·+·=　　　　;若P为边BC上一动点,当·取最小值时,cos∠PDC=　　　　. 参考答案 1.B　[解析] 由题意可得a-b=(-1,-1),所以a·(a-b)=(2,1)·(-1,-1)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B. 2.B　[解析] 因为向量=,=,所以cos<,>== =,又0°≤<,>≤180°,所以<,>=30°,所以<,>=180°-30°=150°,即∠ABC=150°.故选B. 3.A　[解析] 因为向量a在向量b上的投影向量是-b,所以|a|cos<a,b>=-|b|,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=-|b|·|b|=-|b|2=-×2=-.故选A. 4.A　[解析] 因为F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以=(1,4),所以W=(F1+F2)·=-3+7×4=25.故选A. 5.　[解析] 因为向量a,b为单位向量,a,b的夹角为,所以|a|=1,|b|=1,a·b=|a|·|b|cos=,所以|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4×+4=3,所以|a-2b|=. 6.　[解析] a+b=(1,2)+(-2,1)=(-1,3),因为(a+b)⊥c,所以(a+b)·c=(-1,3)·(2,t)=-2+3t=0,解得t=. 7.B　[解析] 因为|a-b|=,所以a2-2a·b+b2=3,又|a|=2,|b|=1,所以a·b=1,所以cos<a,b>==,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=.故选B. 8.C　[解析] 由a+b+c=0,得c=-a-b,因为(a-b)⊥c,所以(a-b)·(-a-b)=0,即|b|2-|a|2=0,所以|a|2=|b|2=1.因为a⊥b,所以a·b=0,又c=-a-b,所以|c|2=(-a-b)2=|a|2+2a·b+|b|2=2.综上,|a|2+|b|2+|c|2=1+1+2=4.故选C. 9.A　[解析] 依题意得=-=(+)-(+)=(+)-=+,=-,因为MN⊥BC,所以·=0,即·(-)=0,即-||2+||2-||·||cos A=0,即-×3+×2-×××cos A=0,解得cos A=.故选A. 10.AD　[解析] 对于A,|a|==,故A正确;对于B,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),因为(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,所以2a-b与b不垂直,故B错误;对于C,因为cos<a,b>====>0,所以a与b的夹角为锐角,故C错误;对于D,a在b上的投影向量的模为==,故D正确.故选AD. 11.AC　[解析] 以A为坐标原点,以AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),E,F(1,1),∴=a=(2,0),=b=(0,1),=,=(1,1),=.对于A,设=xa+yb,则=(2x,y),∴x=-,y=,∴=-a+b,故A正确;对于B,∵·=-1+=-≠0,∴与不垂直,故B不正确;对于C,·=2+=,故C正确;对于D,cos<,>===,故D不正确.故选AC. 12.2　[解析] 如图,延长AP,过点C作AP的延长线的垂线,交延长线于点E,则在上的投影向量为,设O为AC与BD的交点,则O为AC的中点,所以易知PO∥CE,因为AP=1,所以AE=2,所以·=||·||=2. 13.　[解析] 因为|a|== =,所以|m|==,|n|==1,因为m·n=(e1+2e2)·(e1-e2)=+e1·e2-2=1+-2=-,所以|m+n|====. 14.解:(1)∵a=(4,3cos α),b=(1,2tan α),且a∥b,∴8tan α-3cos α=0,∴8sin α=3cos2α=3-3sin2α,∴3sin2α+8sin α-3=0,即(3sin α-1)(sin α+3)=0,可得sin α=. (2)∵a⊥b,∴a·b=4+6cos αtan α=0,∴sin α=-, 又α∈,∴cos α=, ∴sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=2cos2α-1=, ∴cos=×+×=. 15.解:(1)∵=λ,∴AD∥BC,∵∠B=60°,∴∠DAB=120°,∴·=6λ×3×cos 120°=-,∴λ=. (2)过点A作AO⊥BC,垂足为O,则OB=,OC=,AO=.以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D.设M(x,0),则N(x+1,0),-≤x≤,∴=,=,∴·=x2-x+=+, ∴当x=时,·取得最小值. 16.BCD　[解析] 由题意知|a|=2,|c|=1,|a-b|=|b-c|=1,设=a,=b,=c,不妨设C(1,0),如图.动点A在以O为圆心,2为半径的圆上,动点B在以C为圆心,1为半径的圆上,且满足||=1,圆C的方程是(x-1)2+y2=1.当点B在圆C上运动时,由|AB|+|OB|≥|OA|,得|OB|≥1,当且仅当O,A,B三点共线时取等号.由图易知|OB|≤2,即1≤|b|≤2,故选项A不可能成立,选项B可能成立.设B(x,y),则b·c=(x,y)·(1,0)=x,由解得 ∴x≥,又x≤2,∴≤x≤2,∴b·c∈,故选项C,D均可能成立.故选BCD. 17.　　[解析] 在平面四边形ABCD中,∵AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°,∴△ABC是边长为2的等边三角形,在Rt△ADC中,∵AC=2,CD=1,∠ADC=90°, ∴∠ACD=60°,∵===,∴E,F,G是边BC的四等分点.建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),D,E,F(0,0),G,∴2·+·=2·+·(0,-)=.设P(x,0),-1≤x≤1,∴·=(-x,)·(1-x,0)=x2-x=-,∴当x=时,·取得最小值,此时P,∴cos∠PDC=cos<,>= =. 学科网（北京）股份有限公司 $$