2.2平方根与立方根同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2.2平方根与立方根 课时1 算术平方根 刷基础 知识点1 算术平方根的概念 1[2024陕西西安期末]16的算术平方根是( ) A.-4 B.4 C.8 D.-8 2[2025 山东聊城调研]若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 ( ) A.1或-1 B.0或1 C.0或-1 D.0或1或-1 知识点2 利用算术平方根进行计算 [2025 浙江杭州期中]如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是 ( ) A. B.9 C.3 [2024 湖北武汉期中]已知 是2a-1 的算术平方根,3是3a+2b-3的算术平方根,则a+2b的算术平方根是 . 新考法[2025广西防城港质检]我们知道负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：-9，-4，-1这三个数， 其结果6，3，2都是整数，所以-9，-4，-1这三个数称为“完美组合数”，请问-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗?请说明理由. 知识点3 利用算术平方根的非负性求代数式的值 6[2025 安徽安庆期中]若a,b,c为实数,且|a+1|+ ，则 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.±1 7[2025 广东茂名期中]如果 和 互为相反数，那么 xy 的算术平方根是 . 知识点4 \sqrt{a2}与( \sqrt{4} )²的性质 8下列计算正确的是 ( ) 9当a>3时,化简: 知识点5算术平方根的实际应用 1( [2025陕西渭南期末]海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪.海啸的行进速度可按公式 计算，其中v表示海啸的行进速度(m/s)，d表示海水的深度，g 表示重力加速度9.8 m/s².若在海水深度20 m处发生海啸，求海啸的行进速度. 刷易错 易错点在求带根号的数的算术平方根时，忽略根号的作用 41[2024甘肃酒泉肃州区期末] 的算术平方根是 . 刷提升 1[2025湖北孝感安陆期中，中]若一个自然数的算术平方根是n，则从小到大排序的下一个自然数的算术平方根是 ( ) C. n+1 2[2025山东济南调研，中]若 =3,|b|=5,且ab<0，则a+b的算术平方根为 ( ) A.4 B.2 C.±2 D.3 3[2025河北保定校级期中，中]将长和宽分别为2 和 1 的长方形按如图所示剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长为 . 4[2025 山西大同期末，中]请你观察思考下列计算过程： 因为 所以 同理，因为 ，所以 因为 所以 由此猜想： 5[2025 江苏盐城质检,较难]若|a- 其中a，b均为整数,则|a+b|= . 6[2025 福建厦门校级期中，较难]对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数x，若x的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，则称x为“均衡数”.将“均衡数”x的百位数字与十位数字交换位置后得到的新数再与x 相加的和记为 F(x).若三位数n 是“均衡数”，满足百位数字小于十位数字， 为整数,且F(n)能被n的十位数字与百位数字的差整除，则n的值为 . 7[2025 浙江金华期中，中]对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式(不用写出计算结果)： (2)当a>b时, 当a<b时, (3)计算: 刷素养 3核心素养推理能力[2025 山西太原调研，较难]观察表格并回答下列问题. a(a>0) 0.000 1 0.01 1 100 10 000 … √a 丷 0.01 x 1 y 100 (1)表格中x= ,y= . (2)①已知 则 ②已知 ，求m 的值. 课时2 平方根 刷基础 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 平方根的定义 [2025 河北石家庄校级期末]用等式表示“64的平方根等于±8”，正确的是 ( ) [2025 天津河北区质检]计算： 的值为( ) A.±3 B.±9 C.3 D.9 [2025 河南周口期末]下列各数没有平方根的是 ( ) A.-2.5 B.0 C.2 D.6 知识点2 开平方运算及简单应用 [2024 四川眉山期末]已知| 则 的平方根是 ( ) B. C. D.± 5若 是整数，则满足条件的自然数m共有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 0[2024 江苏镇江京口区调研]已知 则a= ,(-9)²的平方根是 . 7若 是m的一个平方根，则m+13的平方根是 . 8[2025 重庆沙坪坝区期中]若我们把平方根为整数的数叫作完全平方数，则在0到 100 的101个数中是完全平方数的共有 个. 9 已知 则 的平方根是 10[2025 浙江温州调研]求下列各数的平方根： (1)121; (2) (3)(-13)²; [2025 福建漳州期末]一个正数x的两个不同的平方根分别是2a-3和5-a. (1)求a和x的值. (2)求x+12a的平方根. 12[2025 陕西西安期中]已知2m-1的平方根是±3,m-2n-1的算术平方根是4,求2m-n的平方根. 圆刷易错 易错点忘记分类讨论致错 王老师给同学们布置了这样一道习题： 如果a+3和2a-15 是某个非负数的平方根，求这个非负数. 小达的解法如下：依据题意可知(a+3)+(2a-15)=0,解得a=4,则a+3=7,7²=49.故这个数是49. 王老师看后说：“小达的解法不完整.”请你给出这道习题完整的解法. 学科网（北京）股份有限公司 课时3 立方根 刷基础 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 立方根的概念和性质 [2025 四川成都期中]下列说法中，正确的是( ) A.27的立方根是3，记作 B.-25 的算术平方根是5 C. a的三次方根是± D.0的立方根是0 2[2025 湖南衡阳期中]关于立方根，下列说法正确的是 ( ) A.正数有两个立方根 B.立方根等于它本身的数只有0 C.负数的立方根是负数 D.负数没有立方根 知识点2开立方运算 [2023 浙江嘉兴中考]-8的立方根是 ( ) A.-2 B.2 C.±2 D.不存在 4[2025甘肃张掖质检]下列计算正确的是( ) 5[2025山东烟台期末]已知 则a的值为 . 知识点3 算术平方根、平方根、立方根的综合 [2024 安徽淮南期中]一个正数 b 的平方根为a+1和2a-7,则9a+b的立方根是 ( ) A.2 B.3 C.9 D.±3 7[2025 陕西榆林期中]如果x 是125 的立方根,那么x的算术平方根是 ( ) A.25 B. C.5 D.±5 8.[2025 福建三明期中]如图，数轴上表示 的点一定在 ( ) A.第①段 B.第②段 C.第③段 D.第④段 9[2024河南鹤壁期末]小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的x 值是 64时，输出的y值是 . 10[2025广东佛山质检]已知a+1 的算术平方根是1,-27的立方根是b-12,c-3的平方根是±2. (1)求a,b,c的值; (2)求a+b+c的平方根和立方根. 知识点4 立方根的应用 [2025 河南南阳调研]每年农历八月十五是我国的传统节日中秋节，自古便有中秋节赏月品月饼的习俗.某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为216 cm³，而王师傅制作的正方体月饼礼盒的体积比李师傅制作的小91 cm³，则王师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 . 刷易错 易错点 忽略立方根的定义，类比平方根致错 12当a取 时, 有意义. 刷提升 1[中]若 则 的算术平方根为 ( ) A.3 B.2 C.3 和-3 D.2和-2 2[中]已知 若 则x的值约为 ( ) A.326000 B.326 00 C.3.26 D.0.326 3[2024 辽宁沈阳调研，中]若 是小数且整数部分为2，则满足条件的奇数a有 个. 4[中]立方根等于本身的数的个数为a，平方根等于本身的数的个数为b，算术平方根等于本身的数的个数为 c，倒数等于本身的数的个数为d,则a+b+c+d= . 是个较难]M是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M-N恰是某正整数的立方，则这样的两位数 M 共有 个. 6[2024 山西大同期中，中]有一个长方体水池的长、宽、高之比为2:2:4,其体积为16 m³. (1)求长方体水池的长、宽、高各为多少. (2)若将一个半径为 r m的球放入注满水的水池中(球沉入水里)，溢出水池的水的体积为水池体积的 ，求该球的半径为多少.(π取3，结果精确到0.1m.球的体积公式： 7[2025 山西忻州期中，中]观察下列各式，然后探索下列问题. 因为 所以 因为 所以 因为 所以 因为 所以( )=( ). (1)在上面的()中填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根有何关系； (2)计算 刷素养 <核心素养推理能力[2025 湖北武汉期中，较难]阅读下列材料： 已知 59 319 的立方根是正整数，要得到 的结果，可以按如下步骤思考： 第一步：确定 的位数，因为 ,而1000<59319<1 000000,所以 由此得 是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59 319 的个位上的数字是9，而只有9的立方的个位上的数字是9，所以 的个位上的数字是9； 第三步：确定十位数字，划去59 319 后面的三位319得到59,因为 而27<59<64,所以 的十位上的数字是3. 综上， 请根据上述内容，完成以下问题： (1)若 为正整数，它的个位上的数字是m，x的个位上的数字是n，请将下表填写完整； m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n 1 8 7 5 3 9 (2) 已知262 144,474 552都是整数的立方,则 课时4 估算与用计算器开方 刷基础 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 估算 1估算 的值在 ( ) A.3到4之间 B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间 2比较下列各组数的大小，正确的是 ( ) B.π<3.14 3[2025 福建泉州期中]若 的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是 ( ) A.1 B. 知识点2估算的应用 4.若正方形ABCD的面积为27，则边A B的长介于连续整数 和 之间. 5.[2025安徽合肥期末]比较大小： 2/3.(填“>”“<”或“=”) 6.[2025 浙江杭州校级期中]若整数a满足 ，则a的值是 . 下面是小李同学探索 的近似数的过程： 因为面积为107 的正方形边长是 且10< 所以设 其中0<x<1，画出示意图如图所示. 因为图中 所以 7.当x² 较小时,省略x²,得20x+100≈107,得到x≈0.35,即 的整数部分是 ； (2)仿照上述方法，探究 的近似值.(画出示意图，标明数据，并写出求解过程) 8[2025 陕西西安调研]如图,长方形ABCD 的长和宽的长度比为4：3，面积为612cm².请问在此长方形内沿着 AB 边并排最多能裁出多少个面积为16πcm² 的圆? 知识点3 用计算器开方 1.[2025广东珠海期末]有一个计算器，计算 只能显示1.414 213 562 37 十三位(包括小数点)，现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值 ( ) 2.[2025 江西抚州质检]用计算器比较下列数的大小： .(填“>”“=”或“<”) 3.[2025广东惠州质检]用计算器求下列各式的近似值(结果精确到0.01)： 2 平方根与立方根 课时1 算术平方根 刷基础 1. B 【解析】16的算术平方根是4,故选 B. 2. B【解析】若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0.故选B.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3. A 【解析】输入x=81,则 是有理数；输入x=9,则 是有理数；输入x=3，则 不是有理数，所以输出 故选 A. 4 \sqrt{6}【解析】因为 是2a-1的算术平方根，所以2a-1=5,解得a=3.因为3是3a+2b-3的算术平方根,所以3a+2b-3=9,解得 所以a+2b=6，所以a+2b的算术平方根为 故答案为 5.【解】-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.理由如下： 其结果 12,4,6 都是整数，所以-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”. 6. B 【解析】因为 所以a+1=0,b-1=0,c-1=0,所以a=-1,b=1,c=1,所以 故选B. 7.3【解析】因为 和 互为相反数，所以 因为 所以1-3x=0,y-27=0,解得x= 所以 因为9的算术平方根为3，所以 xy的算术平方根是3.故答案为3. 8. C 【解析】A 选项,原式=3,故A 错误;B选项,原式=3，故B错误；C选项， 故C正确；D选项， 无意义，故D错误.故选C. 9.1 【解析】因为 a>3,所以a-2>0,a-3>0,则原式=a-2-(a-3)=a-2-a+3=1.故答案为1. 10.【解】由题意可得 则 答：海啸的行进速度为14 m/s. 刷易错 11.3 【解析】因为 所以 的算术平方根是3.故答案为3. 刷提升 1. A【解析】一个自然数的算术平方根是n，则这个自然数是 ，则从小到大排序的下一个自然数为 其算术平方根为 故选A. 2. B 【解析】设正方形的边长为 x.由题意得 所以 所以该正方形的边长为 故答案为 4.1111 1 111 111 【解析】因为 所以 21=11.同理，因为 所以 因为 所以 由 此 猜 想 故答案为1 111,1111 111. 5.4或2 或 0【解析】因为|a-2022|+ 其中a,b均为整数,且|a-2022|≥ 所以可分以下三种情况： 解得 a =2022,b=-2018,则|a+b|=4; 学科网（北京）股份有限公司 解得 a=2 021 或2023,b=-2021,则|a+b|=0 或2; 解得a=2024或2020,b=-2022,则|a+b|=2. 综上所述,|a+b|=4 或2 或0.故答案为4或2 或0. 6.132或798 【解析】设n=100a+10b+c(1≤a<b≤9,l<c<9,a,b,c均为整数),则a+b=2c,所以F(n)= 100a+10b+c+100b+10a+c=222c,所以 因为 是一个整数,1<c<9,所以2c=4 或2c=16,则 c=2 或 8,所以 F(n)= 444 或1 776.①当F(n)=444 时,因为 F(n)能被n的十位数字与百位数字的差整除，所以 为整数,所以b-a=1 或2 或3或4或6.因为 a+ b=2c=4,所以易知b=3,a=1.②当F(n)=1 776时,因为 为整数,所以b-a=1 或2 或3或4或6或8.因为 a+b=2c=16,所以易知b=9,a=7,所以n=132 或798.故答案为132或798. 7.【解】(1)由题意可知 故答案为10-6,9-7. (2)由题意可知当a>b时， 当a<b时, 故答案为a-b,b-a. (3)原式 刷素养 8. 思路分析|根号下的小数点的移动规律 a 向左或右移动2n(n为正整数)位 向左或右移动n(n为正整数)位 【解】(1)根据算术平方根的定义得， 故答案为0.1,10.(2)①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，它的算术平方根的小数点就向右移动一位，所以由 可知 故答案为0.245. ②因为 0.034 64 的小数点向右移动了 3 位得到34.64,所以由规律可知被开方数0.001 2 的小数点需要向右移动6位得到2m，所以( 解得 所以m的值为600. 课时2 平方根 刷基础 1. B【解析】用等式表示“64 的平方根等于±8”为 故选 B. 2. B 【解析】因为 所以 故选 B. 3. A【解析】正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，故A 符合题意，B，C，D均不符合题意.故选 A. 4. A【解析】根据题意得， 解得 所以 因为 所以的平方根是 故选 A. 5. B【解析】由题意知: ，则m为不大于8的自然数.当m=0,1,2,3,5,6时, ，都不是整数；当 7,8时, 是整数.故满足条件的自然数m共有3个.故选 B. 【解析】因为 所以 因为 1的平方根是： 所以 的平方根是： 故答案为： 【解析】根据题意，得 则 所以 的平方根为： 8.11 【解析】0 的平方根为 0,1 的平方根为 4的平方根为： 的平方根为±3，16的平方根为： 的平方根为±5，36的平方根为±6,49的平方根为±7,64的平方根为±8,81的平方根为±9，100的平方根为： 所以在0到 100 的 101个数中是完全平方数的共有11个.故答案为11. 【解析】因为 所以 故答案为： 10.【解】( (4)因为 所以 的平方根是 11.【解】(1)因为一个正数x的两个不同的平方根分别是： 和 所以 解得 所以 (2)将 代入 得 25.因为25的平方根为： 所以 的平方根为： 12.【解】因为 的平方根是： 所以 所以 因为 l 的算术平方根是4，所以 所以 所以 .因为 16 的平方根 是 所以： 的平方根是 刷易错 13.【解】①当( 时， 则 ②当( 时， 则 故这个数是49或441. 课时3 立方根 刷基础 1. D【解析】27 的立方根是3，记作 故A 选项错误，不符合题意；· 是负数，负数没有算术平方根，故B 选项错误，不符合题意；a的三次方根是 ，故C选项错误，不符合题意；0的立方根是0，故D 选项正确，符合题意.故选D. 2. C【解析】正数有一个立方根，故A 选项错误，不符合题意；立方根等于它本身的数有- 0，1，故B 选项错误，不符合题意；负数的立方根是负数，故C选项正确，符合题意；负数有立方根，故D 选项错误，不符合题意.故选 C. 3. A 【解析】- 的立方根是 即 故选 A. 4. B 【解析】 故 A 选项错误，不符合题意； 故B选项正确，符合题意； 故C 选项错误，不符合题意； 故 D 选项错误，不符合题意.故选 B. 5.-10【解析】因为 所以 解得 .故答案为· 6. B【解析】因为正数 b 的平方根为( 和 所以 所以 所以 所以 所以 所以 的立方根是3，故选 B. 7. B 【解析】因为 所以 因为5的算术平方根是 ，所以x 的算术平方根是 故选B. 8. B 【解析】因为 所以数轴上表示 的点一定在第②段.故选 B. 【解析】当x为64时，取算术平方根得8，8取立方根得2，2取算术平方根得 是无理数，所以输出的y值为 故答案为 10.【解】(1)因为a+1 的算术平方根是1,所以 解得 .因为-27的立方根是b-12,所以b-12=-3,所以b=9.因为c-3的平方根是±2,所以c-3=4,所以c=7. (2)由(1)知,a=0,b=9,c=7,所以a+b+c=0+9+7=16,所以a+b+c的平方根是±4,a+b+c的立方根是 【解析】根据题意，得 即王师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为5cm，则其表面积为 5×5×6= 故答案为 刷易错 12.任意实数 【解析】由于任意实数都有立方根，所以3-a为任意实数，即a为任意实数，故答案为任意实数. 刷提升 1. A 【解析】因为 所以 所以 所以 所以 所以 3的算术平方根为 2. A【解析】由一个数的立方根扩大为原来的10倍，则这个数就扩大为原来的1 000 倍，可知x的值约为 3.9 【解析】因为 而 的整数部分为2，所以 ，则满足条件的奇数a有9,11,13,15,17,19,21,23,25,共9 个. 故答案为9. 4.8【解析】立方根等于本身的数的个数为 3，故 ；平方根等于本身的数的个数为 1，故 ；算术平方根等于本身的数的个数为 2，故 ；倒数等于本身的数的个数为2，故( 2，把这些数值代入，得( 5.6【解析】设两位数 则 设 是正整数c的立方.因为a，b为正整数，且 所以. 显然 因为c是正整数， 所以 又因为c是正整数， 是9的整数倍，所以( 即 ，所以满足条件的两位数 M 有41，52，63,74,85,96,共6个.故答案为6. 6.【解】(1)因为长方体水池的长、宽、高之比为2:2:4,其体积为 ，所以设长方体水池的长、宽、高分别为2x m,2x m,4x m,所以2x· 所以 所以 解得 ，所以长方体水池的长、宽、高分别为2m,2m,4m. (2)已知该球的半径为 rm，则 所以 所以 答：该球的半径为0.5m . 7.【解】(1)因为 所以 故答案为n. 互为相反数的两个数的立方根互为相反数. (2)原式 刷素养 8.【解】 .故从左到右依次填入4，6，2. (2)要得到 的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定 的位数，因为 而 1 000 000,所以 由此得 是两位数；第二步：确定个位数字，因为262 144 的个位上的数字是4，而只有4的立方的个位上的数字是4，所以 的个位上的数字是4；第三步：确定十位数字，划去262 144后面的三位 144 得到 262,因为 而 所以的十位上的数字是6.综上， 要得到 的结果，即要得到 的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定 的位数，因为 1 000 000,而 1 ，所以 由此得 是两位数；第二步：确定个位数字，因为474 552 的个位上的数字是2，而只有8的立方的个位上的数字是2，所以 的个位上的数字是8；第三步：确定十位数字，划去474552后面的三位552 得到474,因为 而 所以 的十位上的数字 是 7.综上， 所以 故答案为64,7.8. 课时4 估算与用计算器开方 刷基础 1. 【解析】因为 而 ，所以 故 故选 C. 2. C【解析】根据正负数比较法，得 故选 C. 3. C 【解析】因为 所以 所以y= 故选 C. 4.56 【解析】因为 所以边AB的长大于5且小于6. 5.>【解析】 因为 所以 所以 所以 所以 故答案为>. 6.3 【解析】因为 而整数a满足 所以 .故答案为3. 7.【解】(1)因为 即 所以 的整数部分为8.故答案为8. （2） 76.当 较小时，省略. 得 得到 即 8.【解】因为长方形ABCD 的长和宽的长度比为4:3,所以设长方形的长为4x cm,宽为3x cm.由题意知,4x·3x=612,所以 所以 因为x>0，所以 所以长方形的长为 ，长方形的宽为 设圆的半径为r cm.因为 所以 因为r>0,所以r=4,所以圆的直径为8cm, 因为 所以3.5< 所以在此长方形内沿着 AB 边并排最多能裁出3个面积为 的圆. 9. B 10.≤ 【解析】因为 2.224<2.236,所以 故答案为<. 11.【解】(1)原式≈-0.76. (2)原式≈11.49. 学科网（北京）股份有限公司 $$