一 3 勾股定理的应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

59 3　勾股定理的应用 1. 在几何体上“探索最短路径”时,可以将几何 体展开,把立体图形转化为 ,利用 “ ”进行探索,特别强调的 是几何体由于展开的面不同,“路线”不止一 条,要运用勾股定理分别进行计算,才能找 到最短路径. 2. 根据勾股定理,我们不难知道:已知直角三 角形中的两边,即可求得它的第 边. 在解决与三角形有关的问题时,我们往往通 过作一边上的高,构造 三角形,再 运用勾股定理加以解答. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,某超市为了吸引顾客,在超市门口 离地高4.7m的墙上,装有一个由传感器控制 的门铃A(AB=4.7m),人只要移至距该门铃 5m及5m以内时,门铃就会自动发出语音“欢 迎光临”.一名身高为1.7m的学生走到点D 处(CD=1.7m),门铃恰好自动响起,即AC= 5m,则该学生此时与超市门口的水平距离BD 的长为多少? 典例1图 过点C 作CE⊥AB 于点E,根据题意构 造出直角三角形,利用勾股定理即可解答. 解答: 解有所悟:解决此类问题的关键在于灵活地将实际 问题抽象为数学问题,并能够将待求问题转化到直 角三角形中加以解决. 典例2编 织 一 个 底 面 周 长 为 50cm、高 为 120cm的圆柱形花柱架,需沿圆柱侧面绕织一 周的竹条若干根(如图),则每一根这样的竹条 的长度最少是多少厘米? 典例2图 将圆柱侧面展开,得到平面图形,由“两点 之间,线段最短”,得竹条的最短长度,再由勾股 定理计算即可. 解答: 解有所悟:解决此类问题的方法是将几何体的表面 展开,将立体图形问题转化为平面图形问题;根据 “两点之间,线段最短”,得两点之间线段的长度便 是最短长度;连接两点并构造所求线段所在的直角 三角形,利用勾股定理便可求出其长度. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 60 [基础过关] 1. 放学后,贝贝和京京分别从学校出发沿南偏 西45°方向和南偏东45°方向回家,已知两人 行走的速度都是40m/min.贝贝用15min 到家,京京用20min到家,则贝贝家与京京 家的距离是 ( ) A. 600m B. 800m C. 1000m D. 1200m 2. 如图,长方体的高为3cm,底面是正方形,边 长为2cm,现使一绳子从点A 出发,沿长方 体表面到达点C 处,则绳子最短为 ( ) A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 第2题 第3题 3. 如图所示的一段楼梯,高BC 是3米,斜边 AB 长是5米,现打算在楼梯上铺地毯,至少 需要地毯的长度为 ( ) A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 答案讲解 4. (教材P13例题变式)如图,小明准 备测量一段水渠的深度,他把一根 竹竿AB 竖直插到水底,此时竹竿 AB 离岸边点C 处的距离CD=1.5米.竹竿 高出水面的部分AD 长0.5米,如果把竹竿 的顶端A 拉向岸边点C 处,竿顶和岸边的水 面刚好相齐,那么水渠的深度BD 为 ( ) 第4题 A. 2米 B. 2.5米 C. 2.25米 D. 3米 5. (教材P14随堂练习第1题变式)五根小木 棒的长度分别为9,12,15,36,39,现将它们 摆成两个直角三角形(如图),其中正确的是 (填序号). 第5题 6. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子 斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离 BC 为0.7米,梯子顶端到地面的距离AC 为2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将 梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离 A'D 为1.5米,那么小巷的宽为 米. 第6题 答案讲解 7. 有一根长为33cm的木棒(不考虑 粗细),它理论上 (填“能” 或“不能”)放进一个长、宽、高分别 为24cm,18cm,16cm的木箱. 8. 如果只给你一把带刻度的直尺,怎样检验 ∠P(如图)是不是直角? 简述你的作法,并 说明理由. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 61 9. 如图,一个密封的圆柱形油罐底面的周长是 10m,高是15m,一只壁虎在距下底面3m 的点A 处,油罐上底面与点A 相对的点C处 有食物,壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C 处 捕食,它爬行的最短路线长多少米? 第9题 10. 如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点A,B,其中AB= AC,由于某种原因,由点C 到点A 的路现 在已经不通,该村为方便村民取水,决定在 河边新建一个取水点H(点A,H,B 在同 一条直线上),并新修一条路CH,测得BC= 6km,CH=4.8km,BH=3.6km. (1) CH 是否为从村庄C 到河边的最近路 线(即 CH 与AB 是否垂直)? 请说明 理由. (2) 求原来的路线AC 的长. 第10题 [综合提升] 11. (威海中考)将一张长方形纸片(四边形 ABCD)按如图所示的方式折叠,使点C 落 在AB 上的点C'处,折痕为MN,点D 落在 点D'处,C'D'交AD 于点E.若BM=3, BC'=4,AC'=3,则DN= . 第11题 答案讲解 12. 如图,长方体的长AB=5,宽BC= 4,高AE=6,三只蚂蚁沿长方体 的表面同时以相同的速度从点A 出发到点G 处.蚂蚁甲的爬行路径:翻过棱 EH 后到达点G 处(即A→P→G);蚂蚁乙 的爬行路径:翻过棱EF 后到达点G 处(即 A→M→G);蚂蚁丙的爬行路径:翻过棱 BF 后到达点G 处(即A→N→G). (1) 三只蚂蚁的爬行路程s甲,s乙,s丙 的最 小值的平方分别是多少? (2) 三只蚂蚁都按自己的最短路径爬,则哪 只最先到达? 哪只最后到达? 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 19 x=16.9.所以线段AB 的长为16.9. 13. C 解析:如图,过点B 作BG∥CD,连接EG.由BG∥ CD,得∠ABG=∠CFB=α.根据勾股定理,得BG2=17, BE2=17,EG2=34,则BG2+BE2=EG2,所以∠GBE= 90°.所以∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α. 第13题 14. 37 15. 设当BC=x时,△ACD 是一个以CD 为斜边的直角 三角形.因为 BC+CD=34,所以 CD=34-x.在 Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=36+x2,在Rt△ACD 中,AC2=CD2-AD2=(34-x)2-576,所以36+x2= (34-x)2-576,解得x=8.所以当BC 的长为8时, △ACD 是一个以CD 为斜边的直角三角形. 3 勾股定理的应用 知识梳理 1. 平面图形 两点之间,线段最短 2. 三 直角 典例演练 典例1 如图,过点C 作CE⊥AB 于点E.由题意,可知 BE=CD=1.7m,AE=AB-BE=4.7-1.7=3(m), AC=5m.由勾股定理,得CE2=AC2-AE2,即CE2= 52-32=16(m2),所以CE=4m.因为BD=CE=4m, 所以该学生此时与超市门口的水平距离BD 的长为4m. 典例1图 典例2 圆柱侧面的展开图如图所示,连接AB.因为圆柱 底面周长为50cm,高为120cm,所以AB2=502+1202= 16900(cm2).所以AB=130cm,即每一根这样的竹条的 长度最少是130cm. 典例2图 预学训练 1. C 2. A 3. D 4. A 5. ②④ 6. 2.7 7. 能 8. 作法不唯一,如图,① 在射线 PM 上量取PA= 12 mm,确定点A;在射线PN 上量取PB=16 mm,确定 点B.② 连接AB,得到△PAB.③ 用刻度尺测量AB 的 长,若AB 的长恰好为20 mm,则说明∠P 是直角,否则 ∠P 不是直角.理由:PA=12 mm,PB=16 mm,PA2+ PB2=122+162=400(mm2).若AB=20 mm,则PA2+ PB2=AB2.根据勾股定理的逆定理,得△PAB 是直角三 角形,且∠P 是直角. 第8题 9. 圆柱形油罐的侧面展开图如图所示,连接AC,过点A 作AD⊥CD 于点D.由题意,得AD=12×10=5 (m), CD=15-3=12(m),在Rt△ACD 中,由勾股定理,得 AC2=CD2+AD2=122+52=169(m2),所以 AC= 13 m.所以它爬行的最短路线长13m. 第9题 10. (1) 是.理由:在△CHB 中,因为CH2+BH2= 4.82+3.62=36(km2),BC2=36km2,所以 CH2+ BH2=BC2.所以CH⊥AB.所以CH 是从村庄C到河边 的最近路线.(2) 设 AC=xkm,则 AB=xkm.在 Rt△ACH 中,由题意,得 AH=(x-3.6)km,CH = 4.8km.由勾股定理,得AC2=AH2+CH2,即x2=(x- 3.6)2+4.82,解得x=5.所以原来的路线AC 的长为 5km. 11. 3 2 解析:在 Rt△C'BM 中,因为BM=3,BC'=4, 所以易得C'M=5.由折叠可得 C'M=CM=5,∠D'C'M= ∠D'=∠D=∠C=90°.因为∠A=∠B=90°,所以 ∠BC'M+∠AC'E=∠AEC'+∠AC'E=90°.所 以 ∠BC'M=∠AEC'.又因为AC'=BM=3,所以△BC'M≌ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 △AEC'.所以BC'=AE=4,MC'=C'E=5.因为AB= CD=C'D'=BC'+AC'=4+3=7,BC=AD=BM+ CM=3+5=8,所以DE=AD-AE=8-4=4,D'E= C'D'-C'E=7-5=2.设DN=D'N=a,则EN=4- a.在 Rt△D'EN 中,EN2=D'E2+D'N2,即 (4-a)2= 22+a2,解得a=32. 所以DN=32. 12. (1) 因为长方体的长AB=5,宽BC=4,高AE=6, 所以EF=AB=5,GF=BC=EH=4,AE=BF=CG= 6.所以s2甲=(AE+EF)2+GF2=(6+5)2+42=137, s2乙=AB2+(BF+GF)2=52+(6+4)2=125,s2丙 = (AB+BC)2+CG2=(5+4)2+62=117.所以三只蚂蚁的 爬行路程s甲,s乙,s丙 的最小值的平方分别是137,125, 117.(2) 因为137>125>117,且三只蚂蚁爬行的速度相 同,所以蚂蚁丙最先到达,蚂蚁甲最后到达. 勾股定理预学检测 一、 1. C 2. B 3. C 4. A 5. A 6. D 7. A 8. C 9. B 10. C 解析:设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长 为b,较短直角边长为a.由勾股定理,得c2=a2+b2.涂 色部分的面积=c2-b2-a2+较小两个正方形重叠部分 的面积=较小两个正方形重叠部分的面积. 二、 11. 17 12. 5 13. 10 14. 8 15. 15 解析:如图所示为玻璃杯侧面展开图的一半,作 点A 关于EF 的对称点A',连接A'C,则A'C 即为最短距 离.由题意及对称性,易得A'E=AE=DF=4cm,CD= CF+DF=12cm.因为底面周长为18cm,所以A'D= 9cm.所以在Rt△A'DC 中,A'C2=A'D2+CD2=92+ 122=225(cm2).所以A'C=15cm,即蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离是15cm. 第15题 三、 16. ∠BEC 是直角.理由:因为AD=BC=25cm, AE=9cm,所以ED=16cm.在Rt△ABE 中,BE2= AB2+AE2=122+92=225(cm2).在 Rt△CDE 中, CE2=CD2+ED2=122+162=400(cm2).又因为BC2= 252=625(cm2),所以BC2=BE2+CE2.所以△BCE 是 直角三角形,且∠BEC是直角. 17. 在Rt△BCA 中,AB2=AC2+BC2=242+72=625 (cm2),所以AB=25cm.所以AD=25cm.在Rt△DEA 中,AE2=AD2-DE2=252-202=225(cm2),所以AE= 15cm.所以底部边缘A 处与E 处之间的距离AE 的长 为15cm. 18. (1) 因为 Rt△ABC≌Rt△DAE,所以∠ACB= ∠DEA.因为∠B=90°,所以∠ACB+∠BAC=90°.所 以∠BAC+∠DEA=90°.所以∠AFE=180°-∠BAC- ∠DEA=90°.所 以 AC⊥DE.(2) 连 接 EC.因 为 Rt△ABC≌Rt△DAE,所以AD=AB=a,AE=BC=b, DE=AC=c.因为S梯形ABCD= AD+BC 2 ·AB=a+b2 ·a= 1 2a 2+12ab ,S△CBE= 1 2BC ·BE=12b ·(a-b)= 1 2ab- 1 2b 2,S四边形AECD=S△ADE+S△CDE= 1 2AF ·DE+ 1 2CF ·DE=12AC ·DE=12c 2,所以易得1 2ab- 1 2b 2+12c 2=12a 2+12ab. 所以a2+b2=c2. 19. (1) 由题意,得AF=AB=8.因为AF2+DF2=82+ 62=100=102=AD2,所以∠AFD=90°.所以△ADF 是 直角三角形.(2) 因为四边形 ABCD 为长方形,所以 CD=AB=8.由折叠,可知BE=EF,∠B=∠AFE= 90°.又因为∠AFD=90°,所以点D,F,E 在同一条直线 上.设BE=x,则EF=x,DE=6+x,EC=10-x.在 Rt△DCE 中,∠C=90°,所以 CE2+CD2=DE2,即 (10-x)2+82=(6+x)2.所以x=4,即BE=4. 20. 中间可供滑行部分的展开图如图所示,连接AE,易知 AE 的长即为滑行的最短距离.设横截面的半圆的半径 为R.由题意,得R=3m,CE=5m,AB=CD=45m, 所以DE=CD-CE=40m,AD=πR≈9m.在Rt△ADE 中,AE2=AD2+DE2=1 681m2,所以AE=41m.所 以他滑行的最短距离是41m. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈