一 1 探索勾股定理-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

53 一　勾股定理 1　探索勾股定理 勾股定理:直角三角形两直角边的 等于斜边的 .若用a,b和c分别表示直角 三角形的两直角边和斜边,则 . 典例1 如 图,E 是 正 方 形 ABCD 内 一 点, ∠AEB=90°.若 AE=2,BE=3,则正方形 ABCD 的面积为 ( ) 典例1图 A. 10 B. 13 C. 36 D. 169 在直角三角形中,利用勾股定理求出AB2 即可得出答案. 解答: 解有所悟:勾股定理揭示的是直角三角形的三边关 系,只要知道直角三角形中的任意两条边的长就可 以求出第三条边的长. 典例2 如图,在长方形ACDF 中,AC=DF,点 B在CD 上,点E在DF上,BC=DE=a,AC= BD=b,AB=BE=c,且AB⊥BE. (1) 在探究长方形ACDF 的面积S 时,我们可 以用两种不同的方法:一种是找到长和宽,然后 利用长方形的面积公式,就可以得到S;另一种 是将长方形ACDF 看成是由△ABC,△BDE, △AEF,△ABE 组成的,分别求出它们的面积, 再相加也可以得到S. 请根据以上方法,填空: 方法一:S= ; 方法二:S=S△ABC+S△BDE+S△AEF+S△ABE= ab+12b 2-12a 2+12c 2. (2) 由于(1)中的两种方法表示的都是长方形 ACDF 的面积,因此它们应该相等,请利用以上 结论求a,b,c之间的等量关系. (3) 请直接运用(2)中的结论,当c=10,a=6 时,求S的值. 典例2图 (1) 根据长方形的面积公式求解;(2) 根 据长方形的面积等于4个三角形的面积和,列 式化简即可;(3) 将a,c的值代入计算可求解b 的值,进而可求解S 的值. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 解有所悟:勾股定理的验证方法很多,其中拼图法 (割补法)是最常用的方法.其验证思路:利用同一 种图形面积的不同表示方法列出等式,再利用等式 的性质变形即可. 典例3 如图,为测量河宽BC,某人选择从点C 处横渡,由于受水流的影响,实际上岸地点A 与欲到达地点B 相距50m,结果发现AC 比河 宽BC 多10m,求河宽BC. 典例3图 由题意,可知△ABC 为直角三角形,根据 勾股定理就可求出直角边BC 的长. 解答: 解有所悟:在利用勾股定理解决简单的实际问题 时,先将实际问题转化为数学问题,进而构造直角 三角形,利用直角三角形的三边关系计算求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作 《周髀算经》中.如图,所有四边形都是正方 形,三角形是直角三角形,若正方形A,C的 面积分别为30,55,则正方形B 的边长是 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 第1题 第3题 2. 我国古代数学家称直角三角形为勾股形,并 将较短的直角边称为勾,另一直角边称为 股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股 弦定理.小明发现勾是7,股是24,则弦长为 ( ) A. 12 B. 15 C. 25 D. 35 3. 如图,一长为2.5m的梯子斜靠在墙上,梯子 的底端离墙角的距离为1.5m,梯子顶端离 地面的距离h为 ( ) A. 1.8m B. 2m C. 2.2m D. 2.4m 答案讲解 4. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, AB=5,BC=3,若动点P在边AB上 移动,则线段CP的最小值为( ) A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 第4题 第5题 5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,c=2,则a2+ b2+c2= . 6. 如图,阴影部分是半圆,这个半圆的面积为 cm2(结果保留π). 第6题 第7题 7. 如图,在△ABC 中,按尺规作图的痕迹作直 线MN,交边AB 于点E.若AC=5,BE= 4,∠B=45°,则AB 的长为 . 答案讲解 8. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂 美”四边形,现有如图所示的“垂美” 四边形ABCD,对角线AC,BD 交 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 55 于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2= . 第8题 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=5, BC=12,CO⊥AB 于点O.求: (1) AB 的长; (2) AO 的长. 第9题 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=8, AC=15,以点B 为圆心,适当长为半径画 弧,分别交BA,BC 于点M,N,再分别以点 M,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画 弧,两弧交于点E,作射线BE,交AC 于点 D,求AD 的长. 第10题 [综合提升] 11. 如图所示为由两个直角三角形和三个正方 形组成的图形,其中涂色部分的面积是 ( ) A. 16 B. 25 C. 144 D. 169 第11题 第12题 12. 如图,在离水面高度为8m的岸上,有人用 绳子拉船靠岸,开始时绳子BC 的长为 17m,几分钟后船到达点D 的位置,此时绳 子CD 的长为10m,则船向岸边移动了 m. 答案讲解 13. 如图,某工厂大门的上面是半圆, 下面是长方形.一辆装满货物的卡 车,高2.5m,宽1.6m.这辆卡车 能否通过厂门? 请说明理由. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 17 (x2-4xy)·2y=2x2y-8xy2.当x=-3,y= 1 2 时,原 式=2×(-3)2×12-8× (-3)× 12 2 =15.(2) 原 式=4x2+4x+1-x2+1=3x2+4x+2.因为3x2+ 4x-1=0,所以3x2+4x=1.所以原式=1+2=3.所 以(2x+1)2-(x+1)(x-1)的值为3. 18. (1) 因为∠B=50°,∠C=70°,所以∠BAC=180°- ∠B-∠C=60°.因为AD 是△ABC 的角平分线,所以 ∠BAD=12∠BAC=30°. 因为DE⊥AB,所以∠DEA= 90°.所以∠EDA=90°-∠BAD=60°.(2) 过点 D 作 DF⊥AC于点F.因为AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥ AB,所以DF=DE=c.又因为AB=a,AC=b,所以 S△ABC=S△ABD+S△ACD= 1 2AB ·DE+12AC ·DF= 1 2ac+ 1 2bc= 1 2c (a+b). 19. (1) a2-b2=(a-b)(a+b).(2) ① (2a+b- c)(2a-b+c)=(2a)2-(b-c)2=4a2-b2+2bc-c2. ② 1002-992+982-972+…+42-32+22-12=(100+ 99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+…+(2+1)× (2-1)=100+99+98+97+ … +2+1= (100+1)×100 2 =5 050. 20. (1) BE=AF.如图①,连接AD.因为AB=AC, 所以△ABC 为等腰三角形.因为 D 为BC 的中点,所 以AD 为△ABC 的中线、高、角平分线.所以∠BDA= 90°,∠BAD=∠CAD.因为 DE⊥DF,所以∠BDA= ∠EDF=90°.所以∠BDA-∠EDA=∠EDF-∠EDA, 即∠BDE=∠ADF.因为 AB=AC,∠BAC=90°,所 以∠BAD=∠DAF= 12 ∠BAC=45° ,∠B=∠C= 45°.过点D 作DM⊥AB 于点M,则∠AMD=∠BMD= 90°.在 △AMD 和 △BMD 中,因 为 ∠MAD = ∠B, ∠AMD = ∠BMD,DM = DM,所 以 △AMD ≌ △BMD.所以AD=BD.在△BDE 和△ADF 中,因为 ∠B= ∠DAF,BD =AD,∠BDE = ∠ADF,所 以 △BDE≌△ADF.所以BE=AF.(2) BE=AF.补全图 形如图②所示.理由:如图②,连接 AD.由(1),得 ∠BDA=∠EDF=90°,BD=AD,∠ABC=∠DAC= 45°,所以易得∠BDE=∠ADF,∠EBD=∠FAD= 180°-45°=135°.在△BDE 和△ADF 中,因为∠EBD= ∠FAD,BD=AD,∠BDE=∠ADF,所以△BDE≌ △ADF.所以BE=AF. 第20题 21. (1) 因为AB=BC,AC=2,∠ABC=90°,D 是AC的 中点,所以CD=12AC=1 ,∠A=∠BCD=12 (180°- ∠ABC)=45°,BD⊥AC.所以∠CBD=90°-∠BCD= 45°.所以∠CBD=∠BCD.所以易得BD=CD=1.所 以S△BCD= 1 2CD ·BD=12×1×1= 1 2. (2) ① 连接 BD.由(1),可知∠BDC=∠EDF=90°,CD=BD,∠C= ∠CBD=45°,所 以 ∠C = ∠NBD =45°,∠BDC - ∠BDM=∠EDF-∠BDM,即∠CDM =∠BDN.在 △CDM 和△BDN 中,因为∠C=∠NBD,CD=BD, ∠CDM=∠BDN,所以△CDM≌△BDN.所以DM= DN.② 不发生变化.理由:由①,知△CDM≌△BDN, 所以S四边形BNDM =S△BDN +S△BDM =S△CDM +S△BDM = S△BCD= 1 2 ,即在此条件下,重叠部分的面积不变,为 1 2. (3) DM=DN 的结论仍成立,重叠部分的面积不 会变. 3 预学储备 一　勾股定理 1 探索勾股定理 知识梳理 平方和 平方 a2+b2=c2 典例演练 典例1 B 典例2 (1) ab+b2.(2) 根据题意,得ab+b2=ab+ 1 2b 2-12a 2+12c 2,所以a2+b2=c2.(3) 因为a2+b2= c2,且c=10,a=6,所以62+b2=102.所以b=8.所以 S=ab+b2=6×8+82=112. 典例3 设BC=xm.根据题意,可知AB=50m,AC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 (x+10)m,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,即(x+ 10)2=502+x2,解得x=120.所以BC=120m.所以河宽 BC为120m. 预学训练 1. A 2. C 3. B 4. A 5. 8 6. 8π 7. 7 8. 20 9. (1) 因为在△ABC 中,∠ACB=90°,所以 AC2+ BC2=AB2.因为AC=5,BC=12,所以AB2=52+122= 169.所以AB=13.(2) 因为∠ACB=90°,CO⊥AB,所 以S△ABC= 1 2AC ·BC=12AB ·CO,即AC·BC= AB·CO.所以5×12=13CO.所以CO=6013. 因为在 Rt△AOC 中,AO2+CO2=AC2,所以 AO2=AC2- CO2=52- 6013 2 =625169. 所以AO=2513. 10. 因为在Rt△ABC 中,∠A=90°,所以AB2+AC2= BC2.因为AB=8,AC=15,所以易得BC=17.如图,过点 D 作DH⊥BC 于点H,则∠BHD=∠A=90°.根据题 意,易得BD 平分∠ABC,所以∠ABD=∠HBD.又因 为BD=BD,所以△ABD≌△HBD.所以HB=AB=8, AD=HD.所以CH=BC-HB=9.因为在Rt△DHC 中,CH2+ DH2=CD2,所以92+AD2=(15-AD)2. 所以AD=245. 第10题 11. B 12. 9 13. 这辆卡车能通过厂门.理由:如图,MN 为卡车的宽 度,分别过点M,N 作AB 的垂线交半圆于点C,D,连接 CD,过点O 作OE⊥CD,垂足为E,连接OC,则易得 CD=MN=1.6m,AB=2m,所以易得CE=DE= 0.8m,OC=OA=12AB=1m. 在Rt△OCE 中,OE2= OC2-CE2=12-0.82=0.36(m2),所以OE=0.6m. 所以CM=2.3+0.6=2.9(m).因为2.9m>2.5m,所 以这辆卡车能通过厂门. 第13题 2 一定是直角三角形吗 知识梳理 1. a2+b2=c2 2. 正整 典例演练 典例1 B 典例2 D 典例3 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得BD2=AD2- AB2=92-62=45(dm2).在△BCD 中,BC2+CD2= 32+62=45(dm2).所 以 BC2+CD2=BD2.所 以 ∠BCD=90°,即BC⊥CD.所以该车符合安全标准. 预学训练 1. B 2. B 3. D 4. A 5. 12 6. 合格 7. 100或 28 8. 北偏东50° 9. 24 解析:在Rt△ADC 中,CD=3,AD=4,由勾股定 理,得 AC=5.因为 AC=5,AB=13,BC=12,所以 AC2+BC2=AB2.所以△ABC 是直角三角形,∠ACB= 90°.所以涂色部分的面积=S△ACB-S△ADC= 1 2AC · BC-12AD ·CD=12×5×12- 1 2×4×3=24. 10. 因为AD 为△ABC 的中线,BC=10,所以BD= CD=5.因为AC=13,AD=12,所以AD2+CD2=122+ 52=169,AC2=132=169.所以AD2+CD2=AC2.所 以∠ADC=90°.所以∠ADB=180°-∠ADC=90°.所 以在 Rt△ADB 中,AD2+BD2=AB2,即122+52= AB2.所以AB2=169.所以AB=13.所以△ABD 的周长 为5+12+13=30. 11. (1) 连接AC.因为∠B=90°,所以AC2=AB2+ BC2=400+225=625.因为AD2+CD2=242+72=625, 所以AC2=AD2+CD2.所以△ADC 是直角三角形,且 ∠D=90°.所以CD⊥AD. (2) 234 解析:S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC= 1 2AB · BC+12AD ·CD=12×20×15+ 1 2×24×7=234. 12. (1) △ABE 是直角三角形.理由:因为BC=13,BE= 12,CE=5,所以BE2+CE2=122+52=169=BC2.所 以△BCE 是直角三角形,且∠BEC=90°.所以∠AEB= 90°.所以△ABE 是直角三角形.(2) 设AB=AC=x,则 AE=x-5.由(1),得△ABE 是直角三角形,所以由勾股 定理,得BE2+AE2=AB2,即122+(x-5)2=x2,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈